上海市闵行区高考二模数学文科试题

上海市闵行区高考二模数学文科试题

闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷（文科）‎ 本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．‎ 一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．不等式的解是 ．‎ ‎2．计算 ．‎ ‎3．在等差数列中，，，则 ．‎ ‎4．已知复数（为虚数单位），则 ．‎ ‎5．已知两条直线：，：．若的一个法向量恰为 的一个方向向量，则 ．‎ 开始 输入a，b，c 是 否 结束 b¬c 输出a 是 否 a¬b b¬c a¬b ‎6．函数的最小值为 ．‎ ‎7．二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，则的值为 ．‎ ‎8．如右图，若输入的，则执行该程序框图所得的结果是 ．‎ ‎9．已知大小、形状、颜色完全相同的（）个乒乓球中有个是次品，从中随机抽取个加以检验，若至少抽到个次品的概率是，则至多抽到个次品的概率是(用含的式子表示) ．‎ ‎10．已知实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎11．设为双曲线虚轴的一个端点，为双曲线上的一个动点，则的最小值为 ．‎ ‎12．已知曲线：与直线相交于点，则的值为 ．‎ ‎13．问题“求不等式的解”有如下的思路：不等式可变为，考察函数可知，函数在上单调递减，且 ‎，∴原不等式的解是. ‎ 仿照此解法可得到不等式：的解是 ．‎ ‎14．若，，,则… = ．‎ 二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．已知向量都是非零向量，“”是“”的 [答]（ ）‎ ‎（A）充分非必要条件． (B) 必要非充分条件．‎ ‎（C）充要条件． （D）既非充分也非必要条件．‎ ‎16．将的图像向右平移个单位，即得到的图像,则[答]（ ）‎ ‎(A) ． (B) ．‎ E F G H ‎(C) ． (D) ．‎ ‎17．如图几何体由前向后方向的正投影面是平面EFGH，‎ 则该几何体的主视图是 [答]（ ）‎ ‎（C）‎ ‎（B）‎ ‎（A）‎ ‎（D）‎ ‎18．方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④若函数和的图像关于原点对称，则由方程确定．其中所有正确的命题序号是 [答]（ ）‎ ‎(A) ①③． (B) ①④． (C) ①③④． (D) ①②③．‎ 三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知 (其中，是虚数单位)的模不大于，和，若利用构造一个命题“若，则”，试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由.‎ ‎20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．‎ E D B C A P 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点.‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线和所成的角(结果 用反三角函数值表示).‎ ‎21.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．‎ 如图，两铁路线垂直相交于站A，若已知AB=‎100千米，甲火车从A站出发，沿AC方向以‎50千米/小时的速度行驶，同时乙火车从B站出发，沿BA方向以千米/小时的速度行驶，至A站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）.‎ A B C ‎（1）求甲、乙两车的最近距离（用含的式子表示）；‎ ‎（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为 小时，问为何值时最大？‎ ‎22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．‎ 已知椭圆的两焦点分别为，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点. （1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；(3)求证直线的斜率为定值.‎ ‎23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ Bn+1‎ Bn B2‎ B1‎ An+1‎ An A2‎ A1‎ O y x 如图，在轴的正半轴上依次有点，其中点、，且，在射线上依次有点,点的坐标为（3，3），且.‎ ‎（1）求（用含的式子表示）；‎ ‎（2）求点、的坐标（用含的式子表示）；‎ ‎（3）设四边形面积为，问中是否存在两项，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有这样的两项，若不存在，请说明理由.‎ 闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷 参考答案与评分标准 一、（第1题至第14题） 1．； 2．； 3．23； 4．；‎ ‎5．； 6．； 7．文16，理4； 8．（或）；‎ ‎9．文，理；10．文，理；11．文，理；12．9；‎ ‎13．文，理或； 14．．‎ 二、（第15题至第18题） 15．A； 16．C； 17．D； 18．D．‎ 三、（第19题至第23题） 19.解：由得， （4分）‎ 由得， （8分）‎ 由，即，但，∴命题“若则”是假命题（10分）‎ E D B C A P 而其逆命题“若则”是真命题. （12分）‎ ‎20. [解]（文） (1) 依题意，平面，底面是矩形，高，, （2分）‎ ‎∴ （4分）‎ 故. （7分）‎ ‎(2)∵,所以或其补角为异面直线和所成的角，（2分）‎ 又∵平面，∴，又，∴，∴,‎ 于是在中，，， （4分）‎ ‎， （6分）[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎∴异面直线和所成的角是（或）. （7分）‎ F E D B C A P x y z ‎（理）(1) 解法一：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意，，则各点坐标分别是 ‎，，，，‎ ‎，∴，，,‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面的法向量为， （2分）‎ 设直线与平面所成的角为，则[来源:学#科#网]‎ ‎, （6分）‎ ‎∴直线与平面所成的角为. （7分）‎ F E D B C A P H G 解法二：∵平面，∴，又,∴平面，取中点，中点，联结，则且，是平行四边形，∴即为直线与平面所成的角. （2分）‎ 在中，，‎ 在中，，（6分）‎ ‎∴直线与平面所成的角为. （7分）‎ ‎(2)解法一：由（1）解法一的建系得，,，设平面的法向量为，点到平面的距离为，由，得且，取得，∴，（2分）‎ 又，∴, （4分）[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎∴. （7分）‎ 解法二：易证即为三棱锥底面上的高，且， （2分）‎ 底面边上的高等于，且，∴ （4分）‎ ‎. （7分）‎ 解法三：依题意，平面，∴（4分）‎ ‎. （7分）‎ ‎21. [解]（1）设两车距离为，则 ‎ （3分）‎ ‎，∴当时，‎ 即两车的最近距离是千米； （7分）‎ ‎（2）当两车相距最近时，， （3分）‎ 此时千米/小时. （5分）‎ 即当车速千米/小时，两车相距最近所用时间最大，最大值是小时.（7分）[来源:学科网ZXXK]‎ ‎22. [解]（1）由题可得，，设则，，∴，（1分）∵点在曲线上，则，（2分）解得点的坐标为. （4分）‎ ‎（2）当直线经过点时，则的斜率为，因两条直线的倾斜角互补，故的斜率为，‎ 由得，[来源:学.科.网]‎ 即，故，（2分）同理得，（4分）‎ ‎∴直线的方程为 （6分）‎ ‎(3) 依题意，直线的斜率必存在，不妨设的方程为：‎ ‎.由 得 ‎，（2分）设，则 ‎，，同理，‎ 则，同理.（4分）‎ 所以：的斜率为定值. （6分）‎ ‎23. [解]（1）， （2分）‎ ‎ （4分）‎ ‎（2）由（1）的结论可得 ‎ （2分）‎ 的坐标， （3分）‎ ‎（）且 是以为首项，为公差的等差数列 （5分）‎ 的坐标为.（6分）‎ ‎（3）（文）连接，设四边形的面积为，‎ 则 ‎ （2分）‎ 由，，成等差数列，‎ 即，①（4分）‎ ‎ ∵，∴是单调递减数列.‎ 当时，，①式右边小于0，矛盾， （6分）‎ 当时，得，易知是唯一解，∴，，成等差数列.‎ 即当时，中不存在，，三项成等差数列.‎ 综上所述，在数列中，有且仅有，，成等差数列. （8分）‎ ‎（理）连接，设四边形的面积为，则 ‎ （2分）‎ 不妨设成等差数列，‎ 又是单调递减数列.是等差中项，即，∴，即 ‎1）当,时，得,是唯一解，∴，，成等差数列（4分）‎ ‎2）当，时，即，① ∵，∴是单调递减数列.当时，，①式右边小于0，矛盾， （6分）‎ ‎3）当时，不可能成立.‎ ‎∵，∴数列是递减数列，‎ 当时，，由（）知，‎ ‎∴（当且仅当时等号成立）‎ ‎∴对任意（）恒成立，‎ 即当时，中不存在不同的三项恰好成等差数列. ‎ 综上所述，在数列中，有且仅有成等差数列. （8分）‎