山东省济宁市2019-2020学年高一下学期期末考试质量检测数学试题 Word版含解析

山东省济宁市2019-2020学年高一下学期期末考试质量检测数学试题 Word版含解析

‎2019-2020学年度第二学期质量检测 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1. 已知向量，，且与共线，则实数x值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出，然后根据与共线建立方程求解即可.‎ ‎【详解】因为，，所以 因为与共线，所以，解得 故选：A ‎【点睛】本题考查的是向量共线在坐标形式下的表示，属于基础题.‎ ‎2. 一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角梯形，从而可求出其面积 - 24 -‎ ‎【详解】解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示，‎ 设原来梯形的上底为，下底为，高为，‎ 则直观图中等腰梯形的高为，‎ 因为直观图的面积为，‎ 所以，‎ 所以原梯形的面积为，‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，掌握斜二测画法的作图规则是解题的关键，属于基础题 ‎3. 设m，n是不同的直线，，，是不同的平面，下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ A. 由或异面判断；B.由或相交判断；C.由则或判断；D. 由面面垂直的性质判断.‎ 详解】A. 若，，则或异面，故错误；‎ - 24 -‎ B.若，，，，则或相交，故错误；‎ C.若，，则或，故错误；‎ D. 若，，，则，又，所以，故正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.‎ ‎4. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组随机数；‎ 据此估计，其中3次射击至少2次击中目标的概率约为（ ）‎ A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这是一个古典概型，已知基本事件的总数为20种，然后从中找出3次射击至少2次击的基本事件的种数，代入公式求解.‎ ‎【详解】基本事件的总数为20种，‎ 其中3次射击至少2次击的基本事件有162 151 271 932 408 471 333 027 730 163 039共11种，‎ 所以3次射击至少2次击中目标的概率约为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题.‎ ‎5. 将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，球体最大体积的直径为棱长，利用球的体积公式即可求解.‎ ‎【详解】正方体的棱长为3cm，‎ 所以球体最大体积的半径，‎ 所以球的体积：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了正方体的内切球、球的体积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6. 已知正四棱柱中，，，则直线和所成的角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可.‎ ‎【详解】‎ - 24 -‎ 如图，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 因为正四棱柱中，，，‎ 所以 所以 所以，所以直线和所成的角的余弦值为 故选：A ‎【点睛】本题考查的是异面直线所成角的求法，考查了学生的基础水平，属于基础题.‎ ‎7. 在平行四边形中，，若交于点M.且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知找到相似三角形，用向量、线性 表示向量.‎ ‎【详解】如图，平行四边形中，，，‎ ‎，.‎ 故选：B - 24 -‎ ‎【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.‎ ‎8. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（ ）‎ A. 1.75 B. 1.85 C. 1.95 D. 2.05‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设乙得到十位市民的幸福感指数分别为，根据这10个数据的平均数为8、方差为2.2可得，再根据方差的公式可求20个数据的方差.‎ ‎【详解】设甲得到的十位市民的幸福感指数分别为，‎ 乙得到十位市民的幸福感指数分别为，‎ 故这20位市民的幸福感指数的方差为，‎ 因为乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，‎ ‎，‎ 故，‎ 而，故，‎ 而，‎ 故所求的方差为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查方差的计算，注意样本数据的方差为，也可以是，本题属于中档题.‎ - 24 -‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9. 若复数z满足，则（ ）‎ A. B. z的实部为1‎ C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可 ‎【详解】解：由，得，‎ 所以z的实部为1，，，‎ 故选：BC ‎【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题 ‎10. 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 是单位向量 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断.‎ - 24 -‎ ‎【详解】A. 因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以 是单位向量，故正确；‎ B. 因为，，所以，所以，故正确；‎ C. 因为，所以，故错误；‎ D. 因为， ，所以，所以，故正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）‎ A. M与N互斥 B. M与N不对立 C. M与N相互独立 D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误.‎ ‎【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确；‎ 对于选项：事件与不互斥，不是对立事件，选项正确；‎ 对于选项：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立.‎ 对于选项：事件发生概率为 ，事件发生的概率，，选项正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题.‎ ‎12. 已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，‎ - 24 -‎ 为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 平面 B. 平面 C. 与平面所成的角的大小为45°‎ D. 平面将正方体分成两部分的体积的比为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，计算可得分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B的正确与否，计算出直线与平面所成的角为后可得C正确，而几何体为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D正确与否.‎ ‎【详解】‎ 如图，连接，则，故棱与球面没有交点.‎ 同理，棱与球面没有交点.‎ 因为棱与棱之间的距离为，故棱与球面没有交点.‎ 因为正方体的棱长为2，而，‎ 球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，‎ 所以棱与球面各有一个交点， 如图各记为.‎ - 24 -‎ 因为为直角三角形，故，故为棱的中点.‎ 同理分别为棱的中点.‎ 由正方形、为所在棱的中点可得，‎ 同理，故，故共面.‎ 由正方体可得，故 因为平面，平面，故平面，故A正确.‎ 因为在直角三角中，， ，，‎ 与不垂直，故与不垂直，故平面不成立，故B错误.‎ 由正方体可得平面，而平面，‎ 所以，所以 在正方形中，因为分别为的中点，故，‎ 因为，故平面，‎ 所以为直线与平面所成的角，而，‎ 故直线与平面所成的角为，‎ 因为，故与平面所成的角的大小为45°.故C正确.‎ 因为分别为所在棱的中点，故几何体为三棱柱，‎ 其体积为，而正方体的体积为8，‎ 故平面将正方体分成两部分的体积的比为，故D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，‎ - 24 -‎ 对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的几何意义，由求解.‎ ‎【详解】因为向量，对应的复数分别是，，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.‎ ‎14. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由面积为半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.‎ ‎15. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 在中，根据，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解.‎ ‎【详解】在中，因为，，，‎ 由余弦定理得，‎ 整理得，‎ 解得或（舍去），‎ 在中，因为，，‎ 所以，‎ 由正弦定理得： ，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎16. 在中，，E，F是边的三等分点，若，则_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，根据，得到， 再根据，得到平行四边形ABCD是菱形，则，设，利用勾股定理分别求得，的长度，在中利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】如图所示：‎ - 24 -‎ 以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，则，‎ 因，‎ 所以，设，则，‎ 因为，所以平行四边形ABCD是菱形，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）9.‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式，再结合，即可得的值.‎ ‎（2）利用向量数量积的定义知，可得，‎ 再利用余弦定理，可求，即可得周长.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理，得.‎ ‎∴，即 又，∴.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 由余弦定理，得 即 解得.‎ ‎∴的周长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，两角和的正弦公式，向量数量积的定义，属于中档题.‎ ‎18. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.‎ - 24 -‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；‎ ‎（2）若按照分层随机抽样从成绩在，的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率.‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据小矩形的面积代表概率，所以所有小矩形面积之和等于 ，即可得a的值，‎ 成绩在以下的频率为，成绩在分以下的频率为，第80百分位数，‎ ‎.‎ ‎（2）先利用频率之比求出，的两组中应抽的人数，然后列出从这6人中随机抽取2人包括的基本事件，至少有1人的成绩在内包括的基本事件，利用概率公式即可求概率.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，‎ 解得.‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴成绩在分以下的频率为，‎ 成绩在分以下的频率为，‎ ‎∴第80百分位数，.‎ - 24 -‎ ‎.‎ ‎（2）∵，的频率之比为 ‎∴从中随机抽取人.‎ 从中随机抽取人.‎ 从中随机抽取的4人记为1，2，3，4，从中随凯抽取的2人记为a，b，‎ 从这6人中随机抽取2人的样木空间为 ‎，共有15个样本点，.‎ 设事件“至少有1人的成绩在内”，则，共有9个样本点.‎ ‎∴.‎ ‎∴至少有1人的成绩在内的概率.‎ ‎【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，以及古典概率的计算，属于中档题.‎ ‎19. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面之间的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（1）由平面，AE∥平面，且，即可证得平面平面；‎ ‎（2）先将平面与平面之间的距离转化为点B到面的距离，然后把当作顶点求出总体积，再把当作顶点利用等体积法建立方程，即可求出点到平面的距离 ‎【详解】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，‎ ‎∴∥，=‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴.‎ 又平面，平，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵∥，=‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴.‎ 又平向，平面，‎ ‎∴AE∥平面.‎ 又∵，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，‎ ‎∵正方体的棱长为2，‎ ‎∴，，‎ ‎∴的面积 - 24 -‎ ‎∴三棱锥的体积，.‎ 又三棱锥的体积.‎ 由可得，‎ 解得.‎ ‎∴平面与平面之间的距离为.‎ ‎【点睛】此题考查空间位置关系、面面距离的计算、面面平行的判定、等体积求距离，考查推理能力和计算能力，属于中档题 ‎20. 如图所示，在中，点D为边上一点，且，，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，首先利用两角差的正弦公式求出，再利用正弦定理即可求解. ‎ - 24 -‎ ‎（2）的面积，设，，由为锐角角形，即，即求.‎ ‎【详解】解：（1）在中，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 在中，由正弦定理，得，‎ 即.‎ ‎（2）由题设知的面积.‎ 在中，由正弦定理，得 设，‎ 则.‎ ‎∴为锐角角形，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，从而.‎ - 24 -‎ ‎∴的面积的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q.且在M，N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.‎ ‎（1）求p，q的值；‎ ‎（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，，分别表示在一次比赛中甲得分的事件，，，，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，由题意结合在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，由求解. ‎ ‎（2）由题意知：，，，，设“星队”在一次比赛屮的总得分为5分”，则，然后利用独立事件和互斥事件的概率公式求解.‎ ‎【详解】（1）设，，，分别表示在一次比赛中甲得分的事件，，，，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.‎ 因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，‎ - 24 -‎ 所以.‎ 解得，.‎ ‎（2）由已知得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设““星队”在一次比赛屮的总得分为5分”，‎ 则，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立事件和互斥事件的概率，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎22. 如图1所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示.‎ - 24 -‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，连接交于点O，证明平面即可；‎ ‎（2）延长，，设，连接，可得是平面与平面的交线，作，垂足为H，连接，然后证明为平面与平面所成锐二面角的平面角，然后求出即可.‎ ‎【详解】（1）证明：在图1中，连接，易求.‎ ‎∴四边形为菱形.‎ 连接交于点O，则.‎ ‎∴在图2中，，.‎ 又，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，‎ ‎∴.‎ - 24 -‎ ‎（2）解：在图2中延长，，设，连接.‎ ‎∵平面，平面.‎ 又平面，平面.‎ ‎∴是平面与平面的交线.‎ ‎∵平面平面，，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，∴.‎ 作，垂足为H，连接.‎ 又，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴.‎ ‎∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角.‎ 由（1）知，，为等边三角形，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，‎ 解得 - 24 -‎ 在中，.‎ ‎∴‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【点睛】本题考查的是线面垂直的证明和面面垂直的性质、二面角的求法，考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于较难题.‎ - 24 -‎