2006高考理科数学试题及答案湖北卷

2006高考理科数学试题及答案湖北卷

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.共150分.考试用时120分钟.‎ ‎★祝考试顺利★‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。‎ ‎3.考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则=‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则=‎ ‎ A.4 B‎.2 ‎‎ C.-2 D.-4‎ ‎3.若△的内角满足，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设，则的定义域为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 ‎6.关于直线、与平面、，有下列四个命题：‎ ‎①且，则； ②且，则；‎ ‎③且，则； ④且，则.‎ 其中真命题的序号是：‎ ‎ A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③‎ ‎7.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8.有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：‎ ‎ ①的充要条件是card= card+ card；‎ ‎ ②的必要条件是cardcard；‎ ‎ ③的充分条件是cardcard；‎ ‎ ④的充要条件是cardcard.‎ 其中真命题的序号是 ‎ A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③‎ ‎9.已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 ‎ A. B. C. D. 4‎ ‎10.关于的方程，给出下列四个命题：‎ ‎ ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；‎ ‎ ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；‎ ‎ ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；‎ ‎ ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.‎ 其中假命题的个数是 A. 0 B. ‎1 C. 2 D. 3‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 注意事项：‎ 第Ⅱ卷用‎0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.‎ ‎11.设、为实数，且，则+=___________.‎ ‎12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为___________.（精确到0.01）‎ ‎13.已知直线与圆相切，则的值为___________.‎ ‎14.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是___________.（用数字作答）‎ ‎15.将杨辉三角中的每一个数都换成分数，‎ 就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出 ‎ ‎，其中=_______.‎ 令，‎ 则=_______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数，其中向量 ‎ .‎ ‎ （Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ ‎ 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为.数列的前项和为，点均在函数的图像上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在棱长为1的正方体中，‎ 是侧棱上的一点，.‎ ‎（Ⅰ）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.‎ 并证明你的结论.‎ ‎19.（本小题满分10分）‎ 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.‎ ‎（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？‎ ‎（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？‎ 可供查阅的（部分）标准正态分布表 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎1.2‎ ‎1.3‎ ‎1.4‎ ‎1.9‎ ‎2.0‎ ‎2.1‎ ‎0.8849‎ ‎0.9032‎ ‎0.9192‎ ‎0.9713‎ ‎0.9772‎ ‎0.9821‎ ‎0.8869‎ ‎0.9049‎ ‎0.9207‎ ‎0.9719‎ ‎0.9778‎ ‎0.9826‎ ‎0.8888‎ ‎0.9066‎ ‎0.9222‎ ‎0.9726‎ ‎0.9783‎ ‎0.9830‎ ‎0.8907‎ ‎0.9082‎ ‎0.9236‎ ‎0.9732‎ ‎0.9788‎ ‎0.9834‎ ‎0.8925‎ ‎0.9099‎ ‎0.9251‎ ‎0.9738‎ ‎0.9793‎ ‎0.9838‎ ‎0.8944‎ ‎0.9115‎ ‎0.9265‎ ‎0.9744‎ ‎0.9798‎ ‎0.9842‎ ‎0.8962‎ ‎0.9131‎ ‎0.9278‎ ‎0.9750‎ ‎0.9803‎ ‎0.9846‎ ‎0.8980‎ ‎0.9147‎ ‎0.9292‎ ‎0.9756‎ ‎0.9808‎ ‎0.9850‎ ‎0.8997‎ ‎0.9162‎ ‎0.9306‎ ‎0.9762‎ ‎0.9812‎ ‎0.9854‎ ‎0.9015‎ ‎0.9177‎ ‎0.9319‎ ‎0.9767‎ ‎0.9817‎ ‎0.9857‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.‎ ‎（此题不要求在答题卡上画图）‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 设是函数的一个极值点.‎ ‎（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.‎ 湖北省2006高考试题理科答案及解析 一、选择题:‎ ‎1--5、BDABC；6--10、DDBCB；‎ 二、填空题：‎ ‎11、4； 12、0.94; 13、8或－18； 14、20； 15、r＋1，1/2。‎ 部分试题解析：‎ ‎10、解：本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当00，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，‎ 故点B在以MN为直径的圆内。‎ 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则－23＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。‎ 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，‎ 而f (0)＝－（‎2a＋3）e3<0，f (4)＝（‎2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，‎ 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（‎2a＋3）e3，a＋6].‎ 又在区间[0，4]上是增函数，‎ 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，‎ 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 ‎（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得00,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2.C1和C2的一个交点为M，则等于 A.-1 B‎.1 C. D.‎ ‎8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ ‎9.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ，则的概率是 A. B. C. D ‎10.已知直线（a,b是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 A.60条 B.66条 C.72条 D.78条 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11.已知函数y=2x-a 的反函数是y=bx+3,则 a= ;b= .‎ ‎12.复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若z2-4bz是实数，则有序实数对（a,b）可以是 .(写出一个有序实数对即可)‎ ‎13.设变量x，y满足约束条件则目标函数2x+y的最小值为 .‎ ‎14.某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 .（用数值作答）‎ ‎15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .‎ ‎（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ.‎ ‎（Ⅰ）求θ的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求函数f(θ)=2sin2的最大值与最小值.‎ 分 组 频 数 ‎4‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎29‎ ‎10‎ ‎2‎ 合 计 ‎100‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：‎ ‎（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；‎ ‎（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是1.32）作为代表. 据此，估计纤度的期望.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，‎ D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；‎ ‎（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取 值范围.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2px(p>0)相交于A、B两点.‎ ‎（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，‎ 求△ANB面积的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax，g(x)=‎3a2lnx+b，其中a>0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.‎ ‎（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；‎ ‎（Ⅱ）求证：f(x) ≥g(x) (x>0).‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知m，n为正整数.‎ ‎（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；‎ ‎（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；‎ ‎（Ⅲ）求出满足等式3n+‎4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n. ‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（理工农医类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ ‎6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．‎ ‎11． 12．（或满足的任一组非零实数对）‎ ‎13． 14． 15．；0.6‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．‎ ‎16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．‎ 解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，‎ 则由，，可得，．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎．‎ ‎，，．‎ 即当时，；当时，．‎ ‎17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．‎ 解：（Ⅰ）‎ 分组 频数 频率 ‎4‎ ‎0.04‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎30‎ ‎0.30‎ ‎29‎ ‎0.29‎ ‎10‎ ‎0.10‎ ‎2‎ ‎0.02‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ 样本数据 频率/组距 ‎1.30‎ ‎1.34‎ ‎1.38‎ ‎1.42‎ ‎1.46‎ ‎1.50‎ ‎1.54‎ ‎（Ⅱ）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为．‎ ‎（Ⅲ）总体数据的期望约为 ‎．‎ ‎18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．‎ 解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，‎ ‎，又底面．．于是平面．‎ 又平面，平面平面．‎ ‎（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．‎ 连接，于是就是直线与平面所成的角．‎ 在中，；‎ 设，在中，，．‎ ‎，‎ A D B C H V ‎，．‎ 又，．‎ 即直线与平面所成角的取值范围为．‎ 解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ 于是，，，．‎ 从而，即．‎ 同理，‎ 即．又，平面．‎ 又平面．‎ 平面平面．‎ A D B C V x y z ‎（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，‎ 则由．‎ 得 可取，又，‎ 于是，‎ ‎，，．‎ 又，．‎ 即直线与平面所成角的取值范围为．‎ 解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、‎ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．‎ 从而，即．‎ 同理，即．‎ 又，平面．‎ 又平面，‎ 平面平面．‎ ‎（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，‎ 则由，得 A D B C V x y 可取，又，‎ 于是，‎ ‎，，．‎ 又，，‎ 即直线与平面所成角的取值范围为．‎ 解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．‎ 设．‎ A D B C V x y z ‎（Ⅰ），‎ ‎，‎ 即．‎ ‎，‎ 即．‎ 又，平面．‎ 又平面，‎ 平面平面．‎ ‎（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，‎ 设是平面的一个非零法向量，‎ 则取，得．‎ 可取，又，‎ 于是，‎ ‎，关于递增．‎ ‎，．‎ 即直线与平面所成角的取值范围为．‎ ‎19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．‎ 解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，‎ N O A C B y x 直线的方程为，与联立得消去得．‎ 由韦达定理得，．‎ 于是．‎ ‎，‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，‎ 的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，‎ N O A C B y x l 则，点的坐标为．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ‎，‎ 又由点到直线的距离公式得．‎ 从而，‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，‎ 将直线方程代入得，‎ 则．‎ 设直线与以为直径的圆的交点为，‎ 则有．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ ‎20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．‎ 解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．‎ ‎，，由题意，．‎ 即由得：，或（舍去）．‎ 即有．‎ 令，则．于是 当，即时，；‎ 当，即时，．‎ 故在为增函数，在为减函数，‎ 于是在的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则．‎ 故在为减函数，在为增函数，‎ 于是函数在上的最小值是．‎ 故当时，有，即当时，．‎ ‎21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．‎ 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：‎ ‎（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，‎ 因为，所以左边右边，原不等式成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，‎ ‎，，于是在不等式两边同乘以得 ‎，‎ 所以．即当时，不等式也成立．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．‎ ‎（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，‎ 于是，．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，‎ ‎，‎ ‎．‎ 即．即当时，不存在满足该等式的正整数．‎ 故只需要讨论的情形：‎ 当时，，等式不成立；‎ 当时，，等式成立；‎ 当时，，等式成立；‎ 当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；‎ 当时，同的情形可分析出，等式不成立．‎ 综上，所求的只有．‎ 解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：‎ 当，且时，，．　　①‎ ‎（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，‎ 因为，所以．又因为，所以．‎ 于是在不等式两边同乘以得 ‎，‎ 所以．即当时，不等式①也成立．‎ 综上所述，所证不等式成立．‎ ‎（Ⅱ）证：当，时，，，‎ 而由（Ⅰ），，‎ ‎．‎ ‎（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，‎ 即有．　　　　　②‎ 又由（Ⅱ）可得 ‎，与②式矛盾．‎ 故当时，不存在满足该等式的正整数．‎ 下同解法1．‎ ‎ 2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数 学（理科）‎ 一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设,,则 A.　　　　B. C. D.‎ 解：，，选C ‎2. 若非空集合满足，且不是的子集，则 A. “”是“”的充分条件但不是必要条件 B. “”是“”的必要条件但不是充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件 解：,但是, 所以B正确。‎ 另外画出韦恩图，也能判断B选项正确 ‎3. 用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 A. B. C. D. ‎ 解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，‎ 所以根据球的体积公式知，故B为正确答案． ‎ ‎4. 函数的定义域为 A. B. ‎ C. 　　　　　 　　 D. ‎ 解：函数的定义域必须满足条件：‎ ‎5. 将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是 A. B. C. D. ‎ 解： 平移得到图象的解析式为,‎ 对称轴方程，‎ 把带入得，令，‎ ‎6. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A. 540 B. ‎300 C. 180 D. 150‎ 解：将５分成满足题意的３份有１，１，３与２，２，１两种，‎ 所以共有 种方案，故Ｄ正确．‎ ‎7. 若上是减函数，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：由题意可知，在上恒成立，‎ 即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．‎ ‎8 .已知,，若,则 A． B． C． D．‎ 解：‎ 另外易知由洛必达法则，所以 ‎9. 过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 解：圆的标准方程是：，圆心，半径 过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条）‎ 还有长度为的各2条，所以共有弦长为整数的条。‎ ‎10. 如图所示，“嫦娥一号”‎ 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：‎ ‎①; ②; ③; ④＜.‎ 其中正确式子的序号是 A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　 　C. ①④　　 　 　D. ②④‎ 解：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.‎ ‎11.设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为 .‎ 解：设，由复数相等 ‎12．在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为 .‎ 解：由余弦定理，原式 ‎13.已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为 .‎ 解：由题意知所以 ‎，所以解集为。‎ ‎14.已知函数,等差数列的公差为.若,则 ‎ .‎ 解：依题意，所以 ‎15.观察下列等式：‎ ‎……………………………………‎ 可以推测，当≥2（）时， .‎ 解：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，‎ 第四项均为零，所以。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；‎ ‎（Ⅱ）求函数的值域.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ 　‎ ‎（Ⅱ）由得 在上为减函数，在上为增函数，‎ 又（当），‎ 即 故g(x)的值域为 ‎17.（本小题满分12分）‎ 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.‎ 解：（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; ‎ 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4. ‎ ‎∴或即为所求.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，平面侧面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角 的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.‎ 解：（Ⅰ）证明：如右图，过点在平面内作于，‎ 则由平面侧面,且平面侧面，‎ 得平面. 又平面,所以.‎ 因为三棱柱是直三棱柱,‎ 则底面，所以.‎ 又，从而侧面，又侧面，‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）解法1：连接，则由(Ⅰ)知就是直线与平面所成的角，‎ 就是二面角的平面角，即，.‎ 于是在中，, 在，‎ 由，得又所以 解法2：由(Ⅰ)知，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，，‎ 则 ，，‎ 于是 设平面的一个法向量为则 由得 可取于是与的夹角为锐角，则与互为余角.‎ 所以 于是由，得 ‎ 即又所以 ‎19.（本小题满分13分）‎ 如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，‎ ‎，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.‎ ‎（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.‎ 若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）解法1：以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，‎ 则，，依题意得 ‎∴曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线.‎ 设实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，‎ 则，，∴曲线的方程为.‎ 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得.‎ ‎∴曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线.‎ 设双曲线的方程为＞0，b＞0）.‎ 则由 解得, ∴曲线C的方程为 ‎(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为，代入双曲线C的方程并整理得 ‎.‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎ ②‎ 设，则由①式得，,于是 而原点O到直线l的距离，‎ ‎∴‎ 若面积不小于2,即，则有 ‎ ③‎ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为 ‎ 解法2：依题意，可设直线l的方程为，代入双曲线的方程并整理，得 ‎ ‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点 ‎∴.‎ ‎. ②‎ 设则由①式得 ‎ ③‎ 当E、F在同一支上时（如上左图所示），‎ 当E、F在不同支上时（如上右图所示）.‎ 综上得于是 由及③式，得 若△OEF面积不小于2‎ ‎ 　④‎ 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为 ‎20.(本小题满分12分)‎ 水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为 ‎（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？‎ ‎（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.‎ 解：（Ⅰ）①当时，，化简得,‎ 解得，或，又，故.‎ ‎②当时，，化简得,‎ 解得，又,故.‎ 综合得,或；‎ 故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：的最大值只能在（4，10）内达到.‎ 由 ‎ 令，解得(舍去).‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎(4,8)‎ ‎8‎ ‎(8,10)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 由上表，在t＝8时取得最大值(亿立方米).‎ 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 ‎?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即 ‎ 矛盾.‎ 所以｛an｝不是等比数列.‎ ‎(Ⅱ) 解：因为 又 所以 当，，此时不是等比数列；‎ 当时，，由上可知，∴(n∈N+).‎ 故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当，，，不满足题目要求；.‎ ‎∴，故知，于是可得 要使对任意正整数n成立， 即 ‎ 得 ①‎ 令，则 当n为正奇数时，，当n为正偶数时；‎ 的最大值为，的最小值为,‎ 于是，由①式得，(必须即)‎ 当时，由，不存在实数满足题目要求；‎ 当存在实数，使得对任意正整数,都有,且的取值范围是 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数学（理工农医类）‎ 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。‎ 祝考试顺利 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。‎ ‎3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。‎ ‎4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。‎ ‎1、已知是两个向量集合，则 A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝‎ ‎2.设a为非零实数，函数 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎4.函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于 ‎ ‎ ‎5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎6.设，则 ‎ ‎ ‎7.已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元 ‎9.设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为‎2C ‎ C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为‎2C ‎ ‎10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 B‎.1024 C.1225 D.1378‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.‎ ‎11.已知关于的不等式＜0的解集是.则 .‎ ‎12.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为 ，数据落在内的概率约为 .‎ ‎ ‎ ‎13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为‎36000km.已知地球半径约为‎6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号).‎ ‎14.已知函数则的值为 .‎ ‎15．已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量，求的分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知向量 ‎（Ⅰ）求向量的长度的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设，且，求的值。‎ ‎18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=‎2a，点E是SD上的点，且 ‎（Ⅰ）求证：对任意的，都有 ‎（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎19、（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知数列的前n项和（n为正整数）。‎ ‎（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。‎ ‎20、（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。‎ ‎21.(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令.‎ 如果函数在处有极什,试确定b、c的值；‎ 求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；‎ 记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对于应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。‎ ‎1. 若i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是 A． E B. F C. G D. H ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2. 设合集A={(x,y)| +=1}, B={(x,y)|y=},则 B={(x,y)|y=}， 的子集的个数是 ‎ A. 4 B. 3 C. 2 D.1‎ ‎3.在△ABC中,　a =15,　b=10 ,　A=60，则cosB=‎ ‎ A. － Ｂ．　　　Ｃ．－　　　　　　Ｄ．‎ ‎4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A. B. C. D.‎ ‎5.已知△ABC和点M满足++= 0。若存在实数m使得+= m成立，则m＝‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎6. 将参加夏令营的600名学生编号为：001,002…600。采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003。这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区。三个营区被抽中的人数依次为 A.. 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17,9‎ ‎7.如图，在半径为的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前个圆的面积之和，则 ‎ A.. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每个从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ‎ A.152 B.126 C.90 D.54‎ ‎9.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ‎ A.. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎10．记实数…中的最大数为max｛…｝，最小数为min｛…｝．已知△的三边边长为（），定义它的倾斜度为 ‎＝max｛｝·min｛｝，‎ 则“＝1”是“△为等边三角形“的 A．必要而不充分的条件　　　　　　　　　　B．充分而不必要的条件 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要的条件 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．在的展开式中，系数为有理数的项共有　　　项．‎ ‎12．已知，式中变量满足约束条件则的最大值为　　　　　．‎ ‎13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示）。则球的半径是 cm。‎ ‎14.某射手射击所得环数的分布列如下：‎ 已知的期望=8.9，则的值为 。‎ ‎15.设，则为的调和平均数。如图，为线段上的点，=，=,Ｏ为的中点，以ＡＢ为直径作半圆。过点做的垂线交半圆于Ｄ，连结，，。过点Ｃ做的垂线，垂足为。则图中线段的长度为的算术平均数，线段　　　　的长度是的几何平均数，线段　　　　的长度是的调和平均数。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f（x）=cos（）cos（），g（x）=sin2x.‎ ‎ （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）求函数h（x）=f（x）g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式；‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB.‎ ‎∠AOB=120,且OA=OB=OC=1‎ ‎(Ⅰ)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算的值。‎ ‎(Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程；‎ ‎(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎ 已知数列满足：；数列满足；‎ ‎(Ⅰ)求数列，的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)证明：数列中的任意三项不可能成等差数列。‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数f(x)=ax++c(a>0)的图像在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1‎ ‎(Ⅰ)用a表示出b,c；‎ ‎(Ⅱ) 若f(x)Inx在上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)证明：……‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎