黑龙江省牡丹江市第三中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

黑龙江省牡丹江市第三中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

‎2019—2020学年度高三学年第二次月考 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每题5分，每题只有一个选项正确 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集定义直接求解可得结果.‎ ‎【详解】由交集定义可得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据复数的除法求出复数的代数形式，然后再求出即可．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是求出复数的代数形式，属于基础题．‎ ‎3.下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )‎ A. y＝ex＋e－x B. y＝ln(|x|＋1)‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，根据函数单调性的定义判断单调性即可.‎ 详解：‎ 选项 A，B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项 D 中，是奇函数，且 y＝x 和 在(0，＋∞)上均为增函数，故在(0，＋∞)上为增函数，所以选项 D 正确．‎ 点睛：这个题目考查了具体函数的奇偶性和单调性，一般判断函数奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，之后再按照定义判断，即判断与的等量关系.‎ ‎4.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三视图确定组合体为球和正四棱柱拼接而成，然后利用球体和正四棱柱的表面积公式可计算出组合体的表面积.‎ ‎【详解】由三视图可知，该组合体是由球和正四棱柱拼接而成，且球体半径为，正四棱柱底面边长为，高为，因此该组合体的表面积为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查组合体表面积的计算，解题时要从三视图中判断出组合体的构成，利用简单几何体的表面积进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎5.给出下列两个命题：命题：“，”是“函数为偶函数”的必要不充分条件；命题：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出简单命题、的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假.‎ ‎【详解】对于命题，若函数为偶函数，则其对称轴为，得，‎ 则“，”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，命题为假命题；‎ 对于命题，令，即，得，则函数的定义域为，‎ 关于原点对称，且，‎ 所以，函数为奇函数，命题为真命题，‎ 因此，、、均为假命题，为真命题，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎6.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．‎ ‎【详解】由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，‎ 则，解得，‎ 由等比数列的性质可得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列的求和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎7.函数是上的单调函数，则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，令导函数大于等于0在上恒成立即可．‎ ‎【详解】若函数是上的单调函数，只需 恒成立，即． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0‎ 是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．‎ ‎8.在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据等比数列下标和性质和对数运算法则可知所求式子等于，代入可求得结果.‎ ‎【详解】由等比数列性质可得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列性质的应用，涉及到对数运算法则的应用，属于基础题.‎ ‎9.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性以及特殊值即可排除。‎ ‎【详解】因为 ‎=，所以 为奇函数图像关于原点对称，排除BD,因为，所以排除A答案，选择D ‎【点睛】本题主要考查了函数图像的判断方法，常利用函数的奇偶性质，特殊值法进行排除，属于中等题。‎ ‎10.已知△中，为边BC的中点，则等于（ ）‎ A. 6 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为,所以,所以,而,,则,选B．‎ 考点：1．向量数量积的运算；2．向量模的求法．‎ ‎11.若函数，对任意实数都有，则实数的值为（ ）‎ A. 和 B. 和 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得函数一条对称轴 ,因此 ,由得 ,选A.‎ 点睛：求函数解析式方法：‎ ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ ‎（4）由 求对称轴 ‎12.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．‎ ‎【详解】画出函数的图象如图所示．‎ 不妨令，则，则．‎ 结合图象可得，故．‎ ‎∴．选B．‎ ‎【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13.设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：的根为函数与函数的交点横坐标，根据函数图像可知要满足有三个交点，需，此时 考点：1.函数与方程的转化；2.三角函数图像及性质 ‎14.已知实数满足，则的最大值为_____．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上的截距取得最大时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出的最大值.‎ ‎【详解】设，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 联立，解得，得点，‎ 平移直线，当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，‎ 此时，取最大值，即，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线，利用直线在坐标轴的截距取最值来寻找最优解，考查数形结合思想，属于中等题.‎ ‎15.、已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由球的体积可得求半径，而对于正方体而言外接球直径即为体对角线的长度，从而得解.‎ ‎【详解】设正方体的棱长为，‎ 则外接球的半径为，‎ 外接球的体积，‎ 解得，‎ 即正方体的棱长等于．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正方体的外接球问题，对于长方体而言，体对角线即为外接球的直径，属于基础题.‎ ‎16.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】（-4，2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为当且仅当时取等号，所以 考点：基本不等式求最值 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在等差数列中，，．‎ ‎（1）该数列第几项开始为负？‎ ‎（2）前多少项和最大？‎ ‎（3）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) 第项；(2) 前项和最大；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列通项公式可得关于和的方程组，从而求得和，得到通项公式；利用解得的范围，结合求得结果；‎ ‎（2）利用等差数列前项和公式求得，利用的二次函数性质，根据对称轴位置可求得的取值；‎ ‎（3）由（1）可得的通项公式，可知时，；当时，，结合等差数列前项和公式可求得结果.‎ ‎【详解】（1）设等差数列公差为 ‎，解得：‎ 设从第项开始为负，即，解得：‎ ‎ 从第项开始为负 ‎（2）设前项和为，则 对称轴为：，又 当时，取得最大值，即前项和最大 ‎（3）由（1）可得：‎ 设的前项和为 当时，‎ 当时，‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的求解、等差数列前项和最值的求解、带绝对值的数列的前项和的求解问题；求解带绝对值的数列前项和的基本步骤为：‎ ‎（1）确定自第项开始项的符号发生改变 ‎（2）分别在和两种情况下，利用等差数列求和公式求得结果.‎ ‎18.张三同学从每年生日时对自己的身高测量后记录如表：‎ ‎ ‎ ‎（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:，）‎ ‎（1）求身高关于年龄的线性回归方程；(可能会用到的数据：（cm）) ‎ ‎（2）利用（1）中的线性回归方程，分析张三同学岁起到岁身高的变化情况，如 岁之前都符合这一变化，请预测张三同学 岁时的身高。‎ ‎【答案】（1）；（2）173.5‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得，由此求得线性回归方程；‎ ‎(2)将x=15代入(1)中的回归方程，即可求得张三同学15岁时的身高.‎ 详解：（1） 由题意得， ，‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 所以，，‎ 所求回归方程为． ‎ ‎（2） 由（1）知，，故张三同学 岁至 岁的身高每年都在增高，平均每年增高 ．将 代入（1）中的回归方程，得 ，故预测张三同学 岁的身高为 ．‎ 点睛：该题考查的是有关回归直线方程的求解问题，在解题的过程中，需要根据题中的条件，求得相关的数据，利用公式求得回归直线方程的系数，求得结果，对于预测张三同学 岁时的身高，只要把向5代入即可求得结果.‎ ‎19.在中，角、、所对的边分别为、、．且满足，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由辅助角公式得出，结合角的取值范围可得出角的值；‎ ‎（2）由余弦定理结合条件，可得出，由此可知为等边三角形，再利用三角形的面积公式可求出的面积.‎ ‎【详解】（1）由，得，，‎ 由得，故，；‎ ‎（2）由，‎ 由余弦定理得，‎ 故，得，故为正三角形，，‎ 因此，的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求角、以及余弦定理和三角形面积公式解三角形，解题时要根据三角形已知元素类型选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式、二倍角和辅助角公式可整理得到；‎ ‎（1）根据可求得；‎ ‎（2）利用的范围求得的范围，对应正弦函数图象可求得的范围，代入可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）最小正周期 ，解得：‎ ‎（2）由（1）知：‎ 当时， ‎ 即在上的取值范围为 ‎【点睛】本题考查根据正弦型函数的性质求解参数值、正弦型函数值域的求解问题；求解正弦型函数值域问题的常用方法为：‎ ‎（1）利用的范围求得的范围；‎ ‎（2）利用整体对应法，结合正弦函数图象求得的值域.‎ ‎21.已知函数在与时都取得极值．‎ ‎（1）求的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1），递增区间是（﹣∞，‎ ‎）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；‎ ‎（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．‎ ‎【详解】（1），f（x）＝3x2+2ax+b 由解得，‎ f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：‎ x ‎（﹣∞,）‎ ‎ ‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 极大值 极小值 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．‎ ‎（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，‎ 得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，‎ 所以当x时，f（x）为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．‎ 要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．‎ 解得c＜﹣1或c＞2．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．‎ 选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，，求的值．‎ ‎【答案】(1) 曲线直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 即， 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，‎ 得. 因为直线与曲线交于，两点。‎ 所以，解得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 因为点的直角坐标为，在直线上.所以， ‎ 解得，此时满足.且，故.．‎ ‎【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在、和三种情况下去掉绝对值符号，解不等式求得结果；‎ ‎（2）将问题转化为最小值大于；利用绝对值三角不等式可求得，根据求得结果.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ 当时，，解得：,‎ 当时，，解得：,‎ 当时，，解得：,解集为 综上所述，不等式的解集为 ‎（2）令，要使函数的定义域为，只要的最小值大于即可，‎ 又（当且仅当时取等号），‎ ‎，解得：‎ 实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用；涉及到根据对数型复合函数的定义域求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为函数最值的求解，利用绝对值三角不等式求得最值.‎ ‎ ‎