河南省南阳市第一中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

河南省南阳市第一中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

南阳一中2019年秋期高三第二次开学考试 理数试题 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上，‎ ‎3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大通共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，求对数型函数定义域求得集合，进而求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】因为，，所以.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.设复数在复平面内对应的点为，，若复数z的实部为1，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入，用复数乘法运算进行化简，根据复数的实部为求得正确选项.‎ ‎【详解】因为，，所以 ‎.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算及实部的概念，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用“”分段法，找到小于、在之间和大于的数，由此判断出三者的大小关系.‎ ‎【详解】因为，，，所以.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的定义域，然后判断出函数为奇函数，再用特殊值确定正确选项.‎ ‎【详解】首先函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，，故A正确 ‎【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，属于基础题.‎ ‎5.如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，F为线段的中点，设向量，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作，垂足为G，利用平面向量的线性运算用表示出，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】作，垂足为G，如下图所示，则，又，，所以.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的线性表示，考查化归与转化的数学思想，属于基础题.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）‎ A. 167 B. 168 C. 104 D. 105‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分析得出程序框图所计算数值为数列的前6项和，利用分组求和法求得输出的值.‎ ‎【详解】这个程序框图表示计算数列的前6项和，所以 ‎.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查算法与程序框图，考查运算求解能力，考查分组求和法，属于中档题.‎ ‎7.在长方体中，，，，点O为长方形 对角线交点，E为棱的中点，则异面直线与所成的角为（）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过三角形中位线平移直线，作出线线角，解直角三角形求得线线角的正切值，由此求得线线角的大小.‎ ‎【详解】连接，如下图所示，因为OE为的中位线，所以，所以为异面直线与OE所成的角在中，，CD=3，所以，.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查几何体中点、线、面的位置关系以及夹角问题，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数，由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率．‎ ‎【详解】解：现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，‎ 甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，‎ 基本事件总数，‎ 这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数，‎ 这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎9.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点坐标，根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率，令的导数等于这个斜率建立方程，分离常数后利用函数的值域求得的取值范围.‎ ‎【详解】设切点为，切线的斜率为，由，得，所以，而，所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查推理论证能力，属于中档题.‎ ‎10.从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线.小王想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说:“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说:“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说:“1号路线堵车，2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（）‎ A. 1号路线 B. 2号路线 C. 3号路线 D. 2号路线或3号路线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲、乙、丙说得对，分析出有矛盾的说法，由此得出正确结论.‎ ‎【详解】①若甲说得对，则2号路线，3号路线都不堵，由于乙是错误的，所以1号路线堵车，这样丙也说得对，这与只有一人说法正确矛盾；‎ ‎②若乙说得对，则1号路线，2号路线都不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时丙也是错误的，符合条件；‎ ‎③若丙说得对，则1号路线堵车，2号路线不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时乙也是错误的，符合条件综上所述，由于②③中都有2号路线不堵，所以小王最应该选择2号路线.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查逻辑与推理，考查推理论证能力和创新意识，属于基础题.‎ ‎11.已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则的最小值为（）‎ A. 2 B. 1 C. 5 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得抛物线焦点坐标，设出的坐标和直线的方程，将直线方程代入抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用抛物线的定义化简，然后用基本不等式求出最小值.‎ ‎【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标为，设，，，代入抛物线方程可得，所以，，所以 ‎，又因为，由抛物线的性质可得，，故 ‎，‎ 由可得，从而有，所以 ‎，‎ 当且仅当时取等号 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力和推理论证能力，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.‎ ‎12.设数列的前n项和为，且满足，，用表示不超过x的最大整数，设，数列的前2n项和为，则使成立的最小正整数n是（）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求得数列的通项公式以及前项和，利用二项式展开式化简，求得，利用分组求和法求得数列的前2n项和，由此求得使成立的最小正整数的值.‎ ‎【详解】令，得，又，解得，，又，，所以，又，可求得，.所以 ‎，‎ 即，所以，即 ‎，所以，因此，当时，；当时，.使成立的最小正整数n是6.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式及前项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.已知函数，将的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象，则函数的最小正周期是______，最大值是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用用降次公式化简解析式，左移个单位得到的解析式，化简的表达式为的形式，由此求得其最小正周期和最大值.‎ ‎【详解】因为，左移个单位得到，所以，所以，最大值为.‎ 故填：（1）；（2）.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数降次公式，三角函数图像变换，辅助角公式，三角函数周期性和最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎14.设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知已知转化为形式，化简后求得，利用等差数列前公式化简，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目，他们各自独立的解决项目的概率都是0.5．现在李某单独研究项目，且这个人组成的团队也同时研究项目，且这个人研究项目的结果相互独立．设这个人团队解决项目的概率为，若，则的最小值是_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这个人组成的团队不能解决项目的概率为，所以，所以，解不等式即可．‎ ‎【详解】解：依题意，这个人组成的团队不能解决项目的概率为，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 解得，‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，指数不等式的解法，属于基础题．‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A是双曲线右支上的一点，若直线与直线平行且的周长为9a，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义和三角形的周长列方程，用表示出，，结合求得并化简，由此解出离心率.‎ ‎【详解】如图，设，，则，解得，因为直线与直线平行，所以，所以，所以，把，代入上式得，所以，得.‎ 故填：2.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想与运算求解能力，属于中档题..‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若，求当的面积最大时a，b的长，并求出最大面积.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，的面积的最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得角的大小.（2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，所以，所以.‎ ‎（2）由，得，所以，当且仅当时取等号，所以的面积，当且仅当 时取等号，即当时，的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用基本不等式求最大值，属于中档题.‎ ‎18.如图，已知四棱锥的底面是梯形，，，且，.‎ ‎(1)若O为的中点，证明：平面.‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证得,连接，通过勾股定理计算证明证得，由此证得平面.（2）以D为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，，所以，，又，O为AC的中点，所以，，连接OD，在中，O为AC的中点所以，因为，所以，又，所以平面ABCD.‎ ‎（2）解：如图，以D为原点，别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面BCP的一个法向量为，由，得，令，可得 ‎，又平面BCD的一个法向量为，易知二面角为锐角，设其为，则.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19.设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为B，右焦点为F，已知直线的倾斜角为120°，.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P为椭圆C上不同于，的一点，O为坐标原点，线段的垂直平分线交于M点，过M且垂直于的直线交y轴于Q点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用直线的倾斜角、的值列方程，结合，求得的值，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程，由此求得点坐标，由此求得直线的方程，进而求得点坐标，联立直线的方程和椭圆方程，求得点坐标，将转化为两条直线斜率乘积等于列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】解：（1）设焦距为2c，因为直线BF的倾斜角为120°，所以，即，又因为，所以，即，代入，并化简得，解得，所以，，椭圆C的方程为.‎ ‎（2）设，直线的方程为，令，得，即，则，直线，令，得，联立方程组，并消去y得，由，得，把代入，得，得.又，则，同理，，所以，解得，所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的交点坐标的求法，考查直线垂直时斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：‎ 组别(单位：百元）‎ 频数 ‎3‎ ‎11‎ ‎20‎ ‎27‎ ‎26‎ ‎13‎ ‎(1)由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价，μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求；‎ ‎(2)在(1)的条件下，该公司为增加销售额，特别为这100家超市制定如下抽奖方案：‎ ‎①令m表示“超市3天内进货总价超过μ的百分点”，其中.若，则该超市获得1次抽奖机会；，则该超市获得2次抽奖机会；，则该超市获得3次抽奖机会；，则该超市获得4次抽奖机会；，则该超市获得5次抽奖机会；，则该超市获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会；‎ ‎②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为.‎ 设超市A参加了抽查，且超市A在3天内进货总价百元.记X（单位：元)表示超市A获得的奖金总额，求X的分布列与数学期望.‎ 附参考数据与公式：，若，则，，.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频数分布表，计算出平均数，根据题目所给参考数据求得，根据正态分布的对称性以及题目所给参考数据，求得指定区间的概率.（2）先计算出的值，由此确定抽奖次数，根据二项分布概率计算公式，计算出概率，结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和数学期望.‎ ‎【详解】解：（1）由题意得 ‎，因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以，，‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以，超市A获得4次抽奖机会，‎ 从而，X的可能取值为0，1000，2000，3000，4000，‎ 又因为每次抽奖不中的概率为，所以 ‎，，，‎ ‎，.‎ 所以，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎4000‎ P 所以，X的数学期望为元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用样本均值估计正态分布均值，考查正态分布对称性的应用，考查二项分布概率计算公式，考查实际问题的期望计算.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)证明：当时，有且仅有一个零点.‎ ‎(2)当，函数的最小值为，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求得函数的单调区间和最小值，结合零点存在性定理，证得结论成立.（2）先求得得到解析式和导函数.根据（1）的结论，求得导函数的零点，根据将转化为的形式，进而求得最小值的表达式，利用构造函数法和导数作为工具，求得最小值的取值范围，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，所以.‎ 令，解得；令，解得，则在区间上单调递减，在上单调递增，故，因为，所以，所以当时，，故在上没有零点，因为，所以当时，，因为在上单调递增，所以有且仅有一个零点综上，当时，有且仅有一个零点.‎ ‎（2）解：因为，所以.‎ 由（1）知当时，有且仅有一个零点，因为，，所以存在唯一，使得，且当时，；当时，.‎ 故在区间上单调递减，在上单调递增，所以 ‎，又，即，代入上式得，‎ ‎，，设函数，，则在上单调递减，故 ‎，因为函数在上单调递减，故对任意，存在唯一的，，使得，所以的值域是，综上，当时，函数的最小值的值域为 ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关函数零点个数问题，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，为直线l上一点，求.‎ ‎【答案】（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用加减消元法消去参数，求得直线的普通方程，利用两角和的余弦公式以及极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）写出直线标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数方程中参数的几何意义求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】解：（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线l的参数方程化为（t为参数），代入曲线C的方程，得，所以，，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程的方法，考查直线参数方程中参数的几何意义的运用，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式对成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1），或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法去绝对值符号，由此解出不等式的解集.（2）将不等式等价变形为，利用绝对值不等式求得的最小值，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，不等式可化为，解得，故；当时，不等式可化为，解得，故，当时，不等式可化为，解得，故，综上可得，原不等式的解集为，或.‎ ‎（2），即，‎ 因为，所以，即实数a的取值范围是 ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法求解含有绝对值的不等式，考查绝对值三角不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎