【数学】江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版）

【数学】江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版）

www.ks5u.com 江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年 高一上学期期中考试试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵集合,,∴.‎ 故选:B.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,,解得.‎ 即函数的定义域为.‎ 故选:C.‎ ‎3.若是偶函数，则的增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数是定义在R的偶函数,∴恒成立,‎ 即,‎ 则,对任意R恒成立,故.‎ 则,由二次函数的性质可知,的单调递增区间是.‎ 故选:B.‎ ‎4.函数是定义在R上的奇函数，若时，，则（ ）‎ A. 3 B. -1 C. 1 D. -3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,,‎ ‎∵函数是定义在R上的奇函数,∴.‎ 故选:D.‎ ‎5.已知函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是 ‎（ ）‎ A. 2 B. -1 C. -1或2 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数是幂函数,‎ ‎∴,解得或.‎ 若,则,函数在上为增函数,符合题意;‎ 若,则,函数在上为减函数,不符合题意,舍去.‎ 故实数的值是2.‎ 故选:A.‎ ‎6.设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,,即,‎ ‎,即,‎ ‎,即.‎ 故.‎ 故选:C.‎ ‎7.不等式的解集为A，集合，若，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵,∴,解得,‎ 故集合.‎ 若,显然不成立,即集合为空集,符合;‎ 若,则,‎ ‎∵,∴,∴,解得.‎ 综上,的取值范围是.‎ 故选:D.‎ ‎8.函数的图象必经过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令,得,则,‎ 即函数的图象必经过定点.‎ 故选:B.‎ ‎9.函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令,‎ 函数在上单调递增,‎ 由复合函数的单调性可知,在上单调递增,且的最小值大于0.‎ 故,解得.‎ 故选:A.‎ ‎10.已知函数是上的减函数，那么的取值范围是 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,函数是上的减函数,则,解得.‎ 故选:D.‎ ‎11.设一元二次方程的两个实根为，，则的最小值为 ‎（ ）‎ A. B. C. 1 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵一元二次方程有两个实根,‎ ‎∴,解得且.‎ 又,,‎ 则 令,因为且,所以或,‎ 则,‎ 当时,取得最小值.‎ 故选:C.‎ ‎12.已知函数，若存在实数，，，当时，‎ ‎，设，则取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出函数的图象,如下图,‎ 当时,的图象关于对称,‎ 当时,单调递减,.‎ 令,解得,令,解得.‎ 若存在实数,,,当时,,则且,,即,‎ 因为,所以,即.‎ 故选:A.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知幂函数的图象过点，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设，由于图象过点,得，‎ ‎，，故答案为3.‎ ‎14.设方程的解（其中），则_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】令函数,显然函数是R上的增函数,‎ 因为,,且,‎ 所以函数的零点在区间上.‎ 故,.‎ 故答案为:1.‎ ‎15.设是上的偶函数，且满足，当时，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,∴,‎ 故是周期为4的函数，则,‎ 因为,所以,‎ 当时,,‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎16.已知函数，若方程有两个不同的解，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意,可知函数的图象与直线有两个交点,‎ 作出函数的图象,如下图,‎ 当时,函数单调递减,值域为R;‎ 当时,函数单调递减,值域为.‎ 由图象可知,当时,的图象与直线有两个交点.‎ 故答案为:.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（1）化简：；‎ ‎（2）已知集合，，若，求，的值.‎ ‎【解】（1）‎ ‎.‎ ‎（2）集合,则或,‎ ‎①若,解得或,‎ 当时,显然不符合集合的互异性,舍去;‎ 当时,集合,符合题意.‎ ‎②若,解得或,‎ 当时,不符合题意,舍去;‎ 当,时,,符合题意.‎ 综上,或,.‎ ‎18.已知集合，，.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，求实数的取值集合.‎ ‎【解】（1）由题意,,‎ 或.‎ 则.‎ ‎（2）,,,‎ 若,则,即,符合题意,‎ 若,则,解得.‎ 综上,实数的取值范围是.‎ 故实数的取值集合是.‎ ‎19.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足 ‎，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：‎ ‎（1）写出利润函数的解析式（利润销售收入总成本）；‎ ‎（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？‎ ‎【解】（1）由题意得．‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎（2）当时，函数递减， （万元）．‎ 当时，函数，‎ 当时，有最大值为（万元）．‎ 所以当工厂生产百台时，可使赢利最大为万元．‎ ‎20.（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，求函数的最大值与最小值.‎ ‎【解】（1）因为函数的定义域为R,∴恒成立.‎ 当时,显然成立.‎ 当时,应有且,解得.‎ 故的取值范围为.‎ ‎（2）令,,则,‎ 函数可化为,对称轴为,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎,.‎ 即有,时,函数取得最小值；‎ 当,时,函数取得最大值.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若方程的两个实根，满足，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上的最小值为1，求a的值；‎ ‎（3）若存在，使得，求a的取值范围.‎ ‎【解】（1）因为的图象是开口向上的抛物线,且方程有两个实根,满足,‎ 所以,即,解得.‎ ‎（2）令,时,,‎ 则函数在上的最小值为1,‎ 二次函数开口向上,对称轴为,‎ 若,即,在上单调递增,‎ 最小值为,解得,成立;‎ 若,即,在上单调递减,‎ 最小值为,显然无解,不成立;‎ 当,即,的最小值为，‎ 解得或,都不满足,舍去.‎ 综上,.‎ ‎（3）因为存在,使得,所以函数在的最大值大于0,‎ 根据二次函数的性质,在的最大值为或,‎ 故或,即或,解得.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的单调性并用定义法证明；‎ ‎（2）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）由题意,,且的定义域为R,‎ 任取,且,‎ 则,‎ ‎∵,且,∴,,,‎ 故,‎ 所以函数是R上的增函数.‎ ‎（2）由题意,,‎ 又的定义域为R,所以函数是R上的奇函数.‎ ‎∴不等式可化为,‎ 即恒成立,‎ ‎∵函数是R上的增函数,∴,‎ 即对于任意的实数,恒成立,‎ 则,解得.‎ ‎（3）函数有零点,则有解,‎ ‎∵函数是R上的奇函数,‎ ‎∴有解,‎ ‎∵函数是R上的增函数,‎ ‎∴,即有解,‎ 令,则,,‎ 令,则在上单调递增,在上单调递减,‎ 故的最大值为,的值域为.‎ 所以,当时,方程有解,‎ 即函数有零点.‎