北大附中高考数学专题复习数列、极限、数学归纳法练习
学科：数学
教学内容：数列、极限、数学归纳法综合能力训练
【综合能力训练】
一、选择题
1.数列{an}是等比数列，下列结论中正确的是（ ）
A. an·an+1 >0 B. an·an+1·an+2>0
C. an·an+2>0 D. an·an+2·an+4>0
2.在等比数列{an}中，a1=secθ (θ为锐角)，且前n项和Sn满足 Sn=
，那么θ的取值范围是（ ）
A.（0， ） B.（0， ） C.（0， ）
D.（0， ）
3.已知数列{an}中，an= (n∈N)，则数列{an}的最大项是( )
A.第12项 B.第13项 C.第12项或13项
D.不存在
4.三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成
等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ）
A.8 B.8或－15 C.± 8
D.±15
5.已知数列{an}: , + , + + ,…, + +…+ ，…，那么数列{
}的所有项的和为（ ）
A.2 B.4 C.3
D.5
6.已知a、b∈R,|a|>|b|，又 > ，则a的取值范围是()
A.a>1 B.－1
1
D.a>1或－10，且|a10|<|a11|，Sn为其前n项之和，则( )
A. S1,S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B. S1,S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C. S1,S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
D. S1,S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
9.将自然数1，2，3，…，n，…按第k组含k个数的规则分组：（1），（2，3），（4
，5，6），…，那么1996所在的组是（ ）
A.第62组 B.第63组 C.第64组 D.第65组
10.在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为
（ ）
A.－ B.－ C.－ D. －
11.设数列{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，且 =2，则
等于()
A.1 B. C.
D.
12.a、b∈R，且|a|<1,|b|<1，则无穷数列：1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn－1)an－1
…的和为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13.设zn=( )n(n∈ N)，记Sn=|z2－z1|+|z3－z2|+…+|zn+1－zn|，则 Sn=。
14.在等比数列{an}中，a1=1,|q|≠1，若am=a1·a2·a3·…·a10，则m=。
15.数列{an}是公差为d≠0的等差数列，若a1,a2是方程x2－a3x+a4=0的二根，则通项公式
an=。
16.f(x－1)=x+x2+x3+…+xn(x≠0,1)，设f(x)中x的系数为Sn,x3的系数为Tn，
=。
三、解答题
17.一个含有7项的数列，它的奇数位置的项顺次成等差数列，偶数位置的项顺次成等
比数列，所有奇数位置的项之和减去第2项与第6项之积所得的差是42，又首项、末项、中
间项之和为27，求第4项。
24
11
mn
nm )(4 +
)(4 nm
mn
+ mn
nm )(2 +
)(2 nm
mn
+
∞→n
lim
n
n
b
a
∞→n
lim
n
n
na
bbb
3
221 +++
2
1
3
1
4
1
)1)(1(
1
ba −− ab−1
1
)1)(1(
2
aba −− )1)(1(
1
aba −−
2
1 i−
∞→n
lim
∞→n
lim 4
2
n
ST nn −
18.设fn(x)=f{[f…f(x)]…}（n个f），
（1）求f2(x),f3(x);
（2）猜想fn(x)，并证明你的结论。
19.已知a>0且a≠1，数列{an}是首项、公比都为a的等比数列，令bn=anlgan(n∈N)。
（1）当a=2时，求数列{bn}的前n项之和；
（2）当a= 时，数列{bn}中从第几项开始每一项总小于它后面的项。
20.已知函数f(x)= (n∈N)的最小值为an，最大值为bn，且cn= (1+3anbn)。
（1）求数列{cn}的通项公式；
（2）求证： － < <2－ (n≥2)。
21.曲线C：xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x轴于B1，作B1A2∥l交曲线C于
A2…依此类推。
（1）求点A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；
（2）猜想An的坐标，并加以证明；
（3） 。
21
)(
x
xxf −
=
7
6
12
2
++
+−
xx
nxx
4
n
2
3
1
1
+n
n
k 1=
Σ
kc
1
n
1
∞→n
lim
nn
nn
BB
BB
1
1 ||
−
+
22.设Tn为数列{an}前n项的和，Tn=
（an－1）(n∈N)。数列{bn}的通项公式为bn=4n+3（n∈N）。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若c∈{a1,a2,a3,…,an,…}∩{b1,b2,b3,…,bn…},则c称为数列{an},{bn}的公共项，将数
列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{cn}。证明：数列{cn
}的通项公式为cn=32n+1(n∈N);
（3）设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项，Bm为数列{bn}前m项的和；Dn为数
列{cn}前n项的和，且An=Bm－Dn；求： 。
参考答案
【综合能力训练】
1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D 13.1+ 14.46 15.an=2n
16.－
17.解 设这7个数为：a1,a2,a3,…，a7，则a1,
a3,a5,a7，成等差数列，a2,a4,a6成等比数列，依题意有：
解①、②得： 或 。
2
3
∞→n
lim 4)( n
n
a
A
2
2
24
5
=++
=−+++
27
42
741
627531
aaa
aaaaaa
②
①
1314 −−=a 1314 +−=a
18.解 （1）f2(x)= ,f3(x)=
(2)fn(x)=
19.解 （1）依题有an=an,∴bn=nanlga。
∴Sn=(1+2a+3a2+…+nan－1)·alga,可求得Sn= [1－(1+n－na)·an]
当a=2时，Sn=2[1+(n－1)·2n]lg2。
（2）令bk+1>bk,（k∈N），则bk+1－bk=(k+1)·（ ）k－1·lg －k·( )k·lg =(
)k·( － k)·lg ,∵（ ）k>0,lg <0，而bk+1>bk,∴ －
k<0。∴k>6，故从第七项开始每一项总比它后面的项小。
20.解
（1）整理已知得：(y－1)x2+(y+1)x+(y－n)=0。∴x∈R,∴Δ≥0，即Δ=(y+1)2－4(y－1)(y
－n)≥0(y≠1)，∴3y2－(4n+6)y+4n－1≤0.
由此知：an,bn就是方程3y2－(4n+6)y+4n－1=0的两个根，由根与系数的关系得：an·bn
= （4n－1），∴cn=n2。
当y=1时，x= ,∵ ，其中
只是k的一个子集，即不是所有x∈R都满足y=1，∴舍去。
（2）先证： > － (n≥2)
= >1+
=1+ ( － )=1+ －
= － (n≥2)
再用同样方法证： <2－ (n≥2)。
21.解 （1）A1（1，1），A2（+1，－1），A3（+，－）
B1（2，0），B2（2，0），B3（2，0）。
（2）An(+ ,－ )，证明略。
（3）设An( ,an),Bn(bn,0)
221 x
x
− 231 x
x
−
21 nx
x
−
2)1(
lg
a
aa
−
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
1
7
6
7
6
7
6
7
6
7
1
3
1
2
1−n
2
1−= nx }2
1|{
−= nxx
n
k 1=
Σ
kC
1
2
3
1
1
+n
n
k 1=
Σ
kC
1 n
k 1=
Σ
2
1
k
n
k 2=
Σ
)1(
1
+kk
n
k 2=
Σ
k
1
1
1
+k 2
1
1
1
+n
2
3
1
1
+n
n
k 1=
Σ
kC
1
n
1
1−n 1−n
na
1
由图：A1（1，1），B1（2，0） ∵a1=1,b1=2且
∴ = = ，分子分母同乘以（ +）(+
)及 = =1
22.解 （1）a1= (a1－1)，∴a1=3。当n≥2时，an=Tn－Tn－1可求得：
=3。∴{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an=3n。
（2）设{an}中的第k项与{bn}中的第r项相同，则：3k=4r+3(k,r∈N)，又3k+1=3·3k=3·(
4r+3)=4(3r+2)+1,∴ak+1不是{bn}中的项，又∵ ∴ 是
中的项，且又∵
，故知：c1=a3,c2=a5,c3=a7,…,cn=a2n+1∴{cn}的通项公式为：cn=32n+1(n∈N)。
（3）由（2）知：32n+1=4m+3, m= (32n－1)。
而Bm= = ;Dn= = ;
∴An=Bm－Dn=
∴ = =
−=⋅−=
+=
−− )(1
1
11 上在直线 nnn
n
n
n
n
n
bxyAbaa
aab
∞→n
lim ||
||
1
1
nn
nn
BB
BB
−
+
∞→n
lim
n
n
a
a
2
2 1+
∞→n
lim
1
1
−−
−+
nn
nn 1+n
1−n ∞→n
lim
nn
nn
++
−+
1
1
∞→n
lim
111
111
++
−+
n
n
2
3
1−n
n
a
a
3)69(43.93 2 ++==+ rkκ
2+ka }{ nb
rba =3
4
3
2
)( 1 mbb m+
8
)73)(33( 1212 +− ++ nn
91
)91(27
−
− n
8
)13(27 2 −n
8
6353 1224 +⋅− ++ nn
∞→n
lim 4)( n
n
a
A
∞→n
lim n
nn
4
1224
38
6353
⋅
+⋅− ++
8
9
