2014北京中考数学试题及答案

2014北京中考数学试题及答案

‎2014年北京中考题数学题 一、 选择题（本题共32分，每题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 ‎1．的相反数是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水吨，将用科学计数法表示应为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，有张扑克牌，从中随机抽取张，点数为偶数的概率（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．‎ A．圆锥 B．圆柱 ‎ C．正三棱柱 D．正三棱锥 ‎5．某篮球队名队员的年龄如下表所示：‎ 年龄（岁）‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 人数 ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ 则这名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）．‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎6．园林队公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系的图像如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）．‎ A．平方米 B．平方米 ‎ C．平方米 D．平方米 ‎ ‎7．如图，⊙的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）．‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎8．已知点为某封闭图形边界的一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点的时间为，线段的长为，表示与的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）．‎ 二．填空题（本体共16分，每题4分）‎ ‎9．分解因式：=___________________．‎ ‎10．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为_________________．‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为．写出一个函数使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为______________．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点，一直点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，，…，…，若点的坐标为，则点的坐标为__________，点的坐标为__________；若点的坐标为，对于任意正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为_____________．‎ 三．解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．如图，点在线段上，，，．‎ 求证：．‎ ‎14．计算：．‎ ‎15．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．（添加图）‎ 16、 已知x-y=,求代数式（x+1 )2 - 2x + y(y-2x) 的值．‎ 17、 已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0（m≠0)．‎ ‎(1) 求证：方程总有两个实数根；‎ ‎(2) 若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．‎ ‎18．列方程或方程组解应用题 小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0．54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．‎ ‎19． 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF．PD．‎ ‎（1）求证：四边形ABEF是菱形；‎ ‎（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值． ‎ ‎20．根据某研究院公布的2009-2013年我国成年国民阅读调查报告的部分数据，绘制的统计图表如下：‎ ‎2013年成年国民 2009~2013年成年国民 ‎ 倾向的阅读方式人数分布统计图 年人均阅读图书数量统计表 ‎ ‎ ‎ 年份 年人均阅读图书数量（本）‎ ‎2009‎ ‎3.88‎ ‎2010‎ ‎4.12‎ ‎2011‎ ‎4.35‎ ‎2012‎ ‎4.56‎ ‎2013‎ ‎4.78‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ （1） 直接写出扇形统计图中m的值；‎ （2） 从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为_______本；‎ （3） ‎2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 _____本．‎ ‎21． 如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH．‎ ‎（1）求证：AC=CD；‎ ‎（2）若OB=2，求BH的长．‎ ‎22． 阅读下面材料：‎ 小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ 图1 图2‎ 小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．‎ 请回答：∠ACE的度数为___________，AC的长为_____________．‎ 参考小腾思考问题的方法，解决问题：‎ 如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，‎ AE=2，BE=2ED，求BC的长． ‎ 五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式及对称轴；‎ ‎（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之 间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点 D纵坐标t的取值范围．‎ ‎24． 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F． （1）依题意补全图1；‎ ‎（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；‎ ‎（3）如图2，若45°<∠PAB < 90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．‎ ‎25． 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．‎ （1） 分别判断函数y=（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；‎ （2） 若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b，b > a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；‎ （3） 将函数的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足 ？‎ ‎2014年北京高级中等学校招生考试 数学答案 一. 选择题（本题共32分，每小题4分）：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 B B D C A B C A 二. 填空题（本题共16分，每小题4分）：‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎15‎ ‎（-3,1）； （0,4）；‎ ‎－1＜a＜1且 0＜b＜2‎ 三. 解答题（本题共30分，每小题 5分）：‎ ‎13．（本小题满分5分）‎ 证明：∵ BC∥DE ‎ ∴ ∠ABC = ∠EDB；‎ ‎ 在△ABC和△EDB中：‎ ‎ AB = ED；‎ ‎ ∠ABC = ∠ EDB； ‎ ‎ BC = DB；‎ ‎ ∴ △ABC ≌ △EDB；‎ ‎ ∴ ∠A = ∠E ‎14.（本小题满分5分）‎ ‎ 解：原式 = ‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ ‎15.（本小题满分5分）‎ ‎ 解： 移项得： ；‎ ‎ 合并同类项得： ‎ ‎ 系数化为1： x ≥ ‎ ‎ 在数轴上表示出来：‎ ‎16.（本小题满分5分）‎ ‎ 解：化简代数可得：‎ ‎ 原式 = ‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ 原式 = = 4‎ ‎17.（本小题满分5分）‎ ‎ （1）证明：可知 △ = ‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ ‎= ≥0 ‎ ‎ ∴ 方程总有两个实数根。‎ ‎ （2）解：由公式法解方程可得：‎ ‎ ‎ ‎ ∴ x1 =x2 =‎ ‎ 由题意：方程的两个实数根均为整数 ‎ ∴ x2必为整数；‎ ‎ 又∵ m为正整数；‎ ‎ ∴ m = 1或者2。‎ ‎18.（本小题满分5分）‎ ‎ 解：（方法不唯一）设A、B两地距离为x千米 ‎ 由题意可知：‎ ‎ 解得： x = 150‎ ‎ ∴ 纯电动汽车每行驶一千米所需电费为：‎ 四. 解答题（本题共20分，每小题满分5分）：‎ ‎19.（本小题满分5分）‎ ‎ （1）证明：∵因为ABCD是平行四边形 ‎ ∴ AB∥CD；AD∥CB ‎ ∵ AE平分∠BAD；BF平分∠ABC；‎ ‎ ∴ ∠BAE = ∠DAE；∠ABF = ∠CBF；‎ ‎ 可知：∠DAE = ∠BEA；∠EBF = ∠AFB；‎ ‎ ∴ ∠ABF = ∠AFB ；∠BAE = ∠AEB ‎ ∴ AB = BE；AB = AF；‎ ‎ ∵ AF ∥ BE ‎ ∴ 四边形ABEF为菱形 H ‎ （2）解：作PH⊥AD ‎ ∵ ∠ABC = 60°，AB = BE；‎ ‎ ∴ △ABE为等边三角形；‎ ‎ ∴ AE = AB = 4；∠DAE = 60°；‎ ‎ ∵ ABEF为菱形；‎ ‎ ∴ P点为AE中点；‎ ‎ ∴ AP = 2；‎ ‎ 可知：AH = 1；PH = ；‎ ‎ ∵ AD = 6；‎ ‎ ∴ DH = 5；PH = ‎ ‎ ∴ tan∠ADP = ‎ ‎20.（本小题满分5分）‎ ‎ （1）66；‎ ‎ （2）5.01；‎ ‎ （3）7575.‎ ‎21.（本小题满分5分）‎ ‎ （1）证明：连接CO ‎ ∵ BD为⊙O的切线，AB为直径；‎ ‎ ∴ ∠ABD = 90°；‎ ‎ ∵ C点为弧AB中点；‎ ‎ ∴ ∠COA = 90°‎ ‎ ∴ CO∥BD；‎ ‎ ∵ O点为AB中点；‎ ‎ ∴ 点C为AD中点；即：AC = CD ‎ （2）解：∵ CO⊥AB；E为OB中点；OB =2；‎ ‎ ∴ OE = 1 = BE；‎ ‎ ∵ CO ∥ FD ‎ ∴ △COE ≌ △FBE ‎ ∴ BF = CO = 2；‎ ‎ ∵ AB为直径；‎ ‎ ∴ ∠AHB = 90°=∠ABF；‎ ‎ ∵ ∠BFH = ∠AFB ‎ ∴ △ABF ∽ △BHF ‎ ∴ ；‎ ‎ ∴ BH：FH：BF = 1：2：；‎ ‎ ∵ BF = 2；‎ ‎ ∴ BH = = ‎ ‎22.（本小题满分5分）‎ ‎ （1） 75°，3‎ ‎ （2）解：过点D作DF⊥AC；‎ ‎ ∵ ∠BAC = 90°；‎ ‎ ∴ AB∥DF ‎ ∵ BE = 2ED；‎ ‎ ∴ ；‎ ‎ ∵ AE = 2；‎ F ‎ ∴ EF = 1；‎ ‎ ∴ AF = 3；‎ ‎ ∵ ∠CAD = 30°；∠AFD = 90°；‎ ‎ ∴ DF = ；AD = 2；‎ ‎ ∵ ∠CAD = 30°，∠ADC = 75°；‎ ‎ ∴ ∠ACD = 75°；即AC = AD ‎ 可知：AC = AD =2‎ ‎ ∵ DF =‎ ‎ ∴ AB = 2‎ ‎ ∴ △ABC 为等腰直角三角形；‎ ‎ ∴ BC = ·AB = 2‎ 五. 解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）：‎ ‎23.（本小题满分7分）‎ ‎ 解：（1）∵ y=2x2+ mx+ n经过点A（0，-2），B（3，4）‎ ‎ 代入，得：‎ ‎ n = -2‎ ‎ 18+3m+n =4 ‎ ‎ ∴ m = -4；n = -2‎ ‎ ∴ 抛物线的表达式为：y =‎ ‎ ∴ 对称轴为：x = -1‎ ‎ （2）由题意可知：C（-3，-4）‎ ‎ 二次函数 的最小值为－4； ‎ ‎ 由图像可以看出D点坐标最小值即为－4；‎ ‎ 最大值即BC的解析式：‎ ‎ 当x = 1时，y = ‎ ‎ ∴ －4 ≤ t ≤ ‎ ‎24.（本小题满分7分）‎ ‎ 解：（1）补全图形如图所示：‎ ‎ ‎ ‎25.（本小题满分8分）‎