2021新高考物理二轮总复习课件：专题一 第三讲　力与曲线运动

2021新高考物理二轮总复习课件：专题一 第三讲　力与曲线运动

第三讲　力与曲线运动 专题一 内容索引 01 02 03 体系构建 真题感悟 高频 考点 能力 突破 素养提升 微课堂 体系构建 真题感悟 【 网络构建 】 【 高考真题 】 1 . ( 2020 全国 Ⅰ 卷 ) 如图所示 , 一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为 10 m, 该同学和秋千踏板的总质量约为 50 kg 。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时 , 速度大小为 8 m/s, 此时每根绳子平均承受的拉力约为 ( 　　 ) A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N 答案 B 解析 本题以该同学和秋千踏板整体为研究对象 , 在最低点根据牛顿第二定律求解。在最低点由 2 F T -mg = 得 , 绳子的拉力 F T = 410 N, 选项 B 正确。 情境剖析 本题属于基础性题目 , 以 “ 荡秋千 ” 为素材创设体育运动类情境。 素养能力 本题考查 “ 相互作用与圆周运动 ” 这一物理观念 , 对考生的理解能力有一定要求。 2 . ( 2020 全国 Ⅱ 卷 ) 如图所示 , 在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑 , 该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为 3 h , 其左边缘 a 点比右边缘 b 点高 0 . 5 h 。若摩托车经过 a 点时的动能为 E 1 , 它会落到坑内 c 点 , c 与 a 的水平距离和高度差均为 h ; 若经过 a 点时的动能为 E 2 , 该摩托车恰能越过坑到达 b 点 。 等于 ( 　　 ) A.20 B.18 C.9 . 0 D.3 . 0 答案 B 情境剖析 本题属于应用性题目 , 以 “ 摩托车越野赛过坑 ” 为素材创设体育运动类情境。 素养能力 本题通过动能、平抛运动的规律应用考查 “ 运动 ” 这一物理观念 , 对考生的理解能力、模型建构能力和逻辑推理能力有一定要求。 3 . ( 多选 )(2019 全国 Ⅱ 卷 ) 如图 (a), 在跳台滑雪比赛中 , 运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳 , 每次都从离开跳台开始计时 , 用 v 表示他在竖直方向的速度 , 其 v - t 图像如图 (b) 所示 , t 1 和 t 2 是他落在倾斜雪道上的时刻。则 ( 　　 ) A. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B. 第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D. 竖直方向速度大小为 v 1 时 , 第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 图 (a ) 图 (b ) 答案 BD 解析 本题考查 v - t 图像及运动的合成和分解。从 v - t 图像中图线与坐标轴所围面积可知第二次面积大于第一次面积 , 故第二次在竖直方向上的位移比第一次的大 ,A 错误 ; 因为沿斜面位移方向不变 , 而第二次竖直位移大 , 所以第二次水平位移也大 ,B 正确 ; 第一次竖直方向速度变化量大 , 经历时间短 , 由 , 因此 C 错误 ; 在竖直方向上根据牛顿第二定律 mg-F f =ma , 加速度大的阻力小 ,D 正确。 情境剖析 本题属于创新性题目 , 以 “ 跳台滑雪 ” 为素材创设体育运动类情境。 素养能力 本题利用 v - t 图线考查 “ 运动和相互作用 ” 观念 , 对考生的信息加工能力、逻辑推理能力和分析综合能力有较高要求。解答时应注意不要当成平抛运动来处理。 4 . (2017 全国 Ⅱ 卷 ) 如图 , 半圆形光滑轨道固定在水平地面上 , 半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度 v 从轨道下端滑入轨道 , 并从轨道上端水平飞出 , 小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关 , 此距离最大时对应的轨道半径为 ( 重力加速度大小为 g )( 　　 ) 答案 B 情境剖析 本题属于综合性、创新性题目 , 以 “ 小物块圆周运动和平抛运动 ” 为素材创设学习探索类情境。 素养能力 本题通过求平抛运动的水平位移的极值条件考查 “ 运动、能量 ” 观念 , 对考生的逻辑推理能力和分析综合能力有较高要求。 高频 考点 能力 突破 考点一 曲线运动及运动的合成与分解 (M) 方法技巧 　 涉及绳 ( 杆 ) 牵连物体运动问题的分析技巧 1 . 解题关键 : 找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。 2 . 基本思路 : (1) 先确定合速度的方向 ( 物体实际运动方向 ) 。 (2) 分析合运动所产生的实际效果 : 一方面使绳或杆伸缩 ; 另一方面使绳或杆转动。 (3) 确定两个分速度的方向 : 沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度 , 而沿绳或杆方向的分速度大小相同。 【典例 1 】 (2020 陕西宝鸡高考模拟 ) 如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆 AB 、 OB 可绕图中 A 、 B 、 O 三处的转轴转动 , 连杆 OB 在竖直面内的圆周运动可通过连杆 AB 使滑块在水平横杆上左右滑动。已知 OB 杆长为 L , 绕 O 点沿逆时针方向做匀速转动的角速度为 ω , 当连杆 AB 与水平方向夹角为 α , AB 杆与 OB 杆的夹角为 β 时 , 滑块的水平速度大小为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　 答案 D 解析 设滑块的水平速度大小为 v , A 的速度的方向沿水平方向 , 如图将 A 的速度分解 , 根据运动的合成与分解可知 , 沿 AB 杆方向的分速度 : v A 分 =v cos α , B 做圆周运动 , 实际速度是圆周运动的线速度 , 可以分解为沿 AB 杆方向的分速度和垂直于 AB 杆方向的分速度 , 如图设 B 的线速度为 v' , 则 v B 分 =v' cos θ =v' cos[90° - (180° - β )] =v' cos( β - 90°) =v' cos(90° - β ) =v' sin β , v'= ω L , 又二者沿杆方向的分速度是相等的 , 即 v A 分 =v B 分 , 联立可 得 , 选项 D 正确。 解题指导 审题 读取题干 获取信息 连杆 AB 、 OB 可绕图中 A 、 B 、 O 三处的转轴转动 可知两杆的转动情况 连杆 OB 在竖直面内的圆周运动可通过连杆 AB 使滑块在水平横杆上左右滑动 B 点做圆周运动 , 合速度与圆弧相切 ; A 滑块沿水平横杆左右滑动 , 合速度沿杆 ; B 球沿 AB 杆的分速度与 A 滑块沿 AB 杆的分速度相等 OB 杆长为 L , 绕 O 点沿逆时针方向做匀速转动的角速度为 ω B 点做匀速圆周运动的线速度 ( 合速度 ) 为 v=L ω 破题 首先明确两物体实际运动的速度方向 , 即合速度的方向 , 然后把二者的速度沿关联杆和垂直关联杆分解 , 利用沿关联杆的分速度相等建立联系。 【 类题演练 】 1 . ( 2020 山东潍坊五校联考 ) 如图所示 , 绕过定滑轮的细线连着两个小球 , 小球 a 、 b 分别套在水平杆和竖直杆上 , 某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为 37 ° , 此时 a 、 b 两球的速度大小之 比 为 ( 已知 sin 37 ° = 0 . 6,cos 37 ° = 0 . 8)( 　　 ) 答案 A 解析 将 a 、 b 两小球的速度分解为沿细线方向的速度与垂直细线方向的速度 , 则 a 球沿细线方向的速度大小为 v 1 =v a sin 37°, b 球沿细线方向的速度大小为 v 2 =v b cos 37°, 又 v 1 =v 2 , 解 得 2 . 如 图所示 , 卡车通过定滑轮以恒定的功率 P 0 拉轻绳牵引河中的小船沿水面运动 , 已知小船的质量为 m , 沿水面运动时所受的阻力为 F f , 当绳 AO 段与水平面夹角为 θ 时 , 小船的速度为 v , 不计绳子与滑轮的摩擦 , 则此时小船的加速度等于 ( 　　 ) 答案 B 解析 小船的实际运动为合运动 , 沿着绳子方向和垂直绳子方向 的 运动 是分运动 , 如图 : 根据平行四边形定则 , 有 v 车 =v· cos θ , 故拉力 为 , 对船受力分析 , 受重力、拉力、浮力和阻力 , 如图所示 : 根据牛顿第二定律 , 有 F· cos θ -F f =ma , 联 立以上式子解 得 , 故 B 正确 , A 、 C 、 D 错误。 3 . ( 2020 山东泰安质检 ) 如图所示 , 甲、乙两船在一匀速的河水中同时开始渡河 , M 、 N 分别是甲、乙两船的出发点 , 两船船头与河岸均成 α 角 , 甲船船头恰好对准 N 点的正对岸 P 点 , 经过一段时间乙船恰好到达 P 点。如果甲、乙两船在静水中的速度大小相同 , 且甲、乙两船相遇不影响各自的航行 , 下列判断正确的是 ( 　　 ) A. 甲船也能到达 M 点正对岸 B. 甲船渡河时间一定比乙船短 C. 甲、乙两船相遇在 NP 直线上的某点 ( 非 P 点 ) D. 渡河过程中两船不会相遇 答案 C 解析 乙船垂直河岸到达正对岸 , 说明水流方向向右 , 甲船参与了两个分运动 , 沿着船头指向的匀速运动 , 随着水流方向的匀速运动 , 故不可能到达 M 点正对岸 , 选项 A 错误 ; 船本身的速度垂直河岸方向的分速度为 v y =v sin α , 船渡河的 时间 , 故甲、乙两船到达对岸的时间相同 , 选项 B 错误 ; 船沿垂直河岸方向的位移 y=v y t'=vt' sin α , 可知任意时刻两船沿垂直河岸方向的位移相等 , 又由于乙船沿着 NP 方向运动 , 故相遇点在 NP 直线上的某点 ( 非 P 点 ), 选项 C 正确 ,D 错误。 考点二 平抛运动的规律及其应用 (H) 规律方法 　 处理平抛 ( 类平抛 ) 运动的四条注意事项 (1) 处理平抛运动 ( 或类平抛运动 ) 时 , 一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解 , 先按分运动规律列式 , 再用运动的合成求合运动。 (2) 对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题 , 其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值。 (3) 若平抛的物体垂直打在斜面上 , 则物体打在斜面上瞬间 , 其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值。 (4) 做平抛运动的物体 , 其位移方向与速度方向一定不同。 【典例 2 】 ( 2020 广东广州、深圳学调联盟高三第二次调研 ) 横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起 , 固定 在 水平面上 , 如图所示。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛 , 最后落在斜面上 , 其落点分别是 a 、 b 、 c 。下列判断正确的是 ( 　　 ) A. a 球落在斜面上的速度方向与斜面平行 B. 三小球比较 , 落在 c 点的小球飞行时间最长 C. 三小球比较 , 落在 b 点的小球飞行过程速度变化最快 D. 无论小球抛出时初速度多大 , 落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直 答案 D 解析 根据平抛运动的推论 , 设 a 球落在斜面上的速度方向与水平方向夹角为 θ , 对应处位置位移与水平方向偏转角为 α , 则 tan θ = 2tan α , 根据题意 tan α = , 所以 θ = 45°, 不可能与斜面平行 , 选项 A 错误 ; 根据平抛运动 规律 h= gt 2 , a 球竖直方向下落距离最大 , 所以 a 球飞行时间最长 , 选项 B 错误 ; 三个小球都做平抛运动 , 即速度变化快慢 ( 加速度 ) 均相同 , 选项 C 错误 ; 通过 A 的分析可知 , a 球不可能与斜面垂直 , 对于 b 、 c 点而言 , 竖直方向分速度 gt , 思维点拨 小球从斜面上某点开始做平抛运动 , 落到斜面上时位移偏向角一定 , 一般分解位移 , 且由推论可知速度偏向角也一定。若小球做平抛运动垂直落到斜面上 , 相当于速度偏向角与斜面倾角互余 , 一般分解速度。 素养点拨 解答斜面上平抛运动问题的两点技巧 (1) 物体从斜面上水平抛出后 , 当其速度方向与斜面平行时 , 物体离斜面最远。 (2) 若位移偏向角为 θ 、速度偏向角为 α , 则有 tan α = 2tan θ , 故物体落回斜面的速度方向取决于斜面倾角 , 与初速度的大小无关。 【 类题演练 】 4 . ( 2020 山东青岛一模 ) 如图 , 容量足够大的圆筒竖直放置 , 水面高度为 h , 在圆筒侧壁开一个小孔 P , 筒内的水从小孔水平射出 , 设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为 x , 小孔 P 到水面的距离为 y 。短时间内可认为筒内水位不变 , 重力加速度为 g , 不计空气阻力 , 在这段时间内下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 水从小孔 P 射出的速度大小 为 B. y 越小 , 则 x 越大 C. x 与小孔的位置无关 D. 当 y = 时 , x 最大 , 最大值为 h 答案 D 5 . 如图为足球球门 , 球门宽为 L , 一个球员在球门中心正前方距离球门 s 处高高跃起 , 将足球顶入球门的左下方死角 ( 图中 P 点 ) 。若球员顶球点的高度为 h 。足球被顶出后做平抛运动 ( 足球可看作质点 ), 重力加速度为 g 。则下列说法正确的是 ( 　　 ) 答案 C 6 . ( 多选 )(2020 山东高三下学期枣庄一中、高密一中、莱西一中在线联考 ) 如图所示 , 在倾角为 θ 的斜面上的 O 点 , 与水平方向成 60 ° 角分别以速度 v 0 和 2 v 0 两次抛出小球 , 小球先后打到斜面上的 A 、 B 两点 , 其中初速度是 2 v 0 的小球沿水平方向击中 B 点。则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 斜面的倾角为 30 ° B. 击中 B 点的小球在空中的飞行时间 为 C. 初速度是 v 0 的小球也一定沿水平方向击中 A 点 D. OA 间的距离等于 AB 间的距离 答案 BC 考点三 圆周运动问题 考法 1 　 圆周运动的动力学问题 ( H )   解题策略 　 “ 三步法 ” 解答圆周运动动力学临界问题 (1) 判断临界状态 : 有些题目中有 “ 刚好 ”“ 恰好 ”“ 正好 ” 等字眼 , 明显表明题述的过程存在着临界点 ; 若题目中有 “ 取值范围 ”“ 多长时间 ”“ 多大距离 ” 等词语 , 表明题述的过程存在着 “ 起止点 ”, 而这些起止点往往就对应着临界状态 ; 若题目中有 “ 最大 ”“ 最小 ”“ 至多 ”“ 至少 ” 等字眼 , 表明题述的过程存在着极值 , 这个极值点也往往对应着临界状态。 (2) 确定临界条件 : 判断题述的过程存在临界状态之后 , 要通过分析弄清临界状态出现的条件 , 并以数学形式表达出来。 (3) 选择物理规律 : 当确定了物体运动的临界状态和临界条件后 , 要分别对不同的运动过程或现象 , 选择相对应的物理规律 , 然后列方程求解。 【典例 3 】 如 图所示 , 餐桌中心是一个半径为 r= 1 . 5 m 的圆盘 , 圆盘可绕中心轴转动 , 近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数为 μ 1 = 0 . 6, 与 餐桌的动摩擦因数为 μ 2 = 0 . 225, 餐桌离地高度为 h= 0 . 8 m 。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 , 重力加速度 g 取 10 m/s 2 。 (1) 为使物体不滑到餐桌上 , 圆盘的角速度 ω 的最大值为多少 ? (2) 缓慢增大圆盘的角速度 , 物体从圆盘上甩出 , 为使物体不滑落到地面 , 餐桌半径 R 的最小值为多少 ? (3) 若餐桌半径 R '= r , 圆盘角速度缓慢增大 , 则物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离 L 为多少 ? 答案 (1)2 rad/s 　 (2)2 . 5 m (3)2 . 1 m 解析 (1) 由题意可得 , 当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时 , 圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力 , 所以随着圆盘转速的增大 , 小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时 , 小物体即将滑落 , 此时圆盘的角速度达到最大 , 则有 f m = μ 1 F N =mr ω 2 F N =mg 解题指导 审题 读取题干 获取信息 近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计 物体从圆盘滑到餐桌时速度大小、方向均不变 小物体与圆盘的动摩擦因数为 μ 1 = 0 . 6, 与餐桌的动摩擦因数为 μ 2 = 0 . 225, 餐桌离地高度为 h= 0 . 8 m 。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 ① 物体在圆盘上不滑动时的最大向心加速度 ; ② 物体在餐桌上做匀减速直线运动的加速度 ; ③ 物体离开餐桌做平抛运动的竖直位移为 0 . 8 m 缓慢增大圆盘的角速度 , 物体从圆盘上甩出 , 为使物体不滑落到地面 , 餐桌半径 R 的最小值为多少 ① 餐桌半径最小时 , 物体滑到餐桌边缘的速度恰为零 ; ② 圆盘半径、餐桌半径和物体在餐桌上的位移组成直角三角形 破题 解答本题一要明确运动过程 —— 物体在圆盘上保持相对静止时做匀速圆周运动 , 滑到桌面上后做匀减速直线运动 , 离开桌面后做平抛运动 ; 二要注意弄清临界条件 —— 物体在圆盘上发生相对运动的临界条件是静摩擦力达到最大静摩擦力 , 物体不滑落到地面的临界条件是物体滑到餐桌边缘时速度恰好为零。 【 类题演练 】 7 . ( 多选 ) 如图所示 , 轻杆长为 3 L , 在杆的 A 、 B 两端分别固定质量均为 m 的球 A 和球 B , 杆上距球 A 为 L 处的点 O 装在光滑的水平转动轴上 , 外界给予系统一定的能量后 , 杆和球在竖直面内转动。在转动的过程中 , 忽略空气的阻力。若球 B 运动到最高点时 , 对杆恰好无作用力 , 则球 B 在最高点时 , 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 球 B 在最高点时速度 为 B. 此时球 A 的速度大小 为 C. 杆对球 A 的作用力为 0 . 5 mg D. 杆对水平轴的作用力为 1 . 5 mg 答案 BD 8 . ( 多选 ) 如图所示 , 一质量为 m 的小球置于半径为 R 的光滑竖直圆轨道最低点 A 处 , B 为轨道最高点 , C 、 D 为圆的水平直径两端点。轻质弹簧的一端固定在圆心 O 点 , 另一端与小球连接 , 已知弹簧的劲度系数为 k = , 原长 为 L= 2 R , 弹簧始终处于弹性限度内 , 若给小球一水平初速度 v , 已知重力加速度为 g , 则 ( 　　 ) A. 无论 v 多大 , 小球均不会离开圆轨道 D . 只要小球能做完整的圆周运动 , 则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与 v 无关 答案 AD 考法 2 　 平抛运动与圆周运动的组合问题 ( L )   【典例 4 】 右 图为竖直放置的四分之一光滑圆弧轨道 , O 点是其圆心 , 半径 R= 0 . 8 m, OA 水平、 OB 竖直。轨道底端距水平地面的高度 h= 0 . 8 m 。从轨道顶端 A 由静止释放一个质量 m 1 = 0 . 1 kg 的小球 , 小球到达轨道底端 B 时 , 恰好与静止在 B 点的另一个小球发生碰撞 , 碰后它们粘在一起水平飞出 , 落地点 C 与 B 点之间的水平距离 x= 0 . 4 m 。忽略空气阻力 , 重力加速度 g 取 10 m/s 2 。求 : (1) 碰撞前瞬间入射小球的速度大小 v 1 ; (2) 两球从 B 点飞出时的速度大小 v 2 ; (3) 碰后瞬间两小球对轨道压力的大小。 答案 (1)4 m/s 　 (2)1 m/s 　 (3)4 . 5 N 解析 (1) 从 A 点运动的小球向下运动的过程中机械能守恒 , 得 mgR = 代入数据得 v 1 = 4 m/s 。 (2) 两球做平抛运动 , 根据平抛运动规律得 竖直方向上有 h= gt 2 代入数据解得 t= 0 . 4 s 水平方向上有 x=v 2 t 代入数据解得 v 2 = 1 m/s 。 (3) 两球碰撞 , 规定向左为正方向 , 根据动量守恒定律得 mv 1 = ( m+m' ) v 2 解得 m'= 3 m= 3 × 0 . 1 kg = 0 . 3 kg 碰撞后两个小球受到的合力提供向心力 , 则 F N - ( m+m' ) g= ( m+m ' ) 代入数据得 F N = 4 . 5 N 由牛顿第三定律可知 , 两小球对轨道的压力也是 4 . 5 N, 方向竖直向下。 思维点拨 利用机械能守恒定律或动能定理 , 求出物体在最低点的速度 , 两球做平抛运动 , 根据平抛运动规律求出速度 , 两球碰撞过程动量守恒 , 再进行受力分析 , 利用牛顿运动定律把受力和运动联系起来。 【 类题演练 】 9 . ( 多选 ) 一位同学玩飞镖游戏 , 已知飞镖距圆盘为 L , 对准圆盘上边缘的 A 点水平抛出 , 初速度为 v 0 , 飞镖抛出的同时 , 圆盘以垂直圆盘且过盘心 O 点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中 A 点 , 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 从飞镖抛出到恰好击中 A 点 , A 点一定转动到最低点位置 答案 ABC 10 . (2020 河南郑州高中毕业年级质量预测 ) 如图所示 , b 球在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动 , BC 为圆周运动的直径 , 竖直平台与 b 球运动轨迹相切于 B 点且高度为 R 。当 b 球运动到切点 B 时 , 将 a 球从切点正上方的 A 点水平抛出 , 重力加速度大小为 g , 从 a 球水平抛出开始计时 , 为使 b 球在运动一周的时间内与 a 球相遇 ( a 球与水平面接触后不反弹 ), 则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. a 球在 C 点与 b 球相遇时 , a 球的运动时间最短 B. a 球在 C 点与 b 球相遇时 , a 球的初始速度最小 答案 C 素养提升 微课堂 非线性关系问题处理方法 【 主题概述 】 如果两个物理量不是一次函数关系 , 其图像不是直线 , 它们就是非线性关系 , 比如加速度与质量的关系等。非线性关系问题是每年全国各地高考物理试题中的热点。 解题方法 非线性关系问题处理方法大致可分为化曲为直法、数形结合法、数学解析法等几种类型 : 1 . 化曲为直法 : 两个物理量间的关系有很多都不是一次函数关系 , 对应的图像也不是直线 , 不容易对图像进行分析 , 如果进行适当的数学变换 , 并确定新的坐标 , 使得 “ 物理量 ” 间呈现简单的线性关系 , 即为 “ 化曲为直 ” 的处理方法。在物理实验中 , 为了减小误差 , 总是要多次测量求平均值 , 而更为有效的方法是 “ 化曲为直 ”—— 用图像处理数据 , 这在高考试题中屡见不鲜。 2 . 数形结合法 : 此方法是定性地画出所要求的物理量与相关量的函数图像 , 按曲线所体现的物理意义来解释具体的物理问题。曲线的物理意义主要包括曲线纵坐标随横坐标变化的物理意义 , 坐标值正负的物理意义 , 曲线与横轴、纵轴交点的物理意义 , 曲线上任意一点切线斜率的物理意义 , 曲线与横轴所围面积的物理意义等方面。 3 . 数学解析法 : 待求的物理量与其他相关物理量是非线性关系 , 这类问题相对复杂 , 要找对相关的自变量 , 根据相对应的物理规律 , 建构自变量与待求物理量的函数关系 , 依据函数关系进一步求解。 【 典例分析 】 【典例 1 】 ( 多选 ) 如图所示 , 平直木板 AB 倾斜放置 , 板上的 P 点距 A 端较近 , 小物块与木板间的动摩擦因数由 A 到 B 逐渐减小 , 先让物块从 A 由静止开始滑到 B 。然后 , 将 A 着地 , 抬高 B , 使木板的倾角与前一过程相同 , 再让物块从 B 由静止开始滑到 A 。上述两过程相比较 , 下列说法中一定正确的有 ( 　　 ) A. 物块经过 P 点的动能 , 前一过程较小 B. 物块从顶端滑到 P 点的过程中因摩擦产生的热量 , 前 一过程较少 C. 物块滑到底端的速度 , 前一过程较大 D. 物块从顶端滑到底端的时间 , 前一过程较长 答案 AD 解析 分析整个过程 , 两种情况的摩擦力做功相等 , 根据动能定理可知 , 滑到底端的速度大小相等 ,C 错误 ; 画出摩擦力与位移关系图如图 , 两个过程相比较 , 小物块滑到 P 点过程中 , 前一过程的摩擦力大 , 前一 过 程 的合力 小 , 位移也小 , 因此合力做功是前一过程小 , 根据动能定理 , 可知动能也小 ,A 正确 ; 根据摩擦力与位移关系图 , 线下的面积代表摩擦力做功产生的热量 , 由图可知 , 由于 P 位置不确定 , 所以物块从顶端滑到 P 点的过程中因摩擦产生的热量 , 前一过程不一定少 ,B 错误 ; 由于速度与时间是非线性关系 , 定量计算无法展开 , 可以比较两个过程 v - t 图像得出结论。我们很容易分析出前一过程的加速度是逐渐增大 , 而后一过程的加速度是逐渐减小的 , 根据两个过程的加速度的变化特征以及小物块滑到底端的位移与速度的大小相等作出如图图像就可以比较出前一过程时间较长 ,D 正确。 思维点拨 本题要借助摩擦力与位移关系图像和 v - t 图像进行分析。 方法总结 在研究动力学中的非线性关系问题时 , 要有用数形结合思想解决问题的意识 , 分析两个物理量的变化关系 , 建立合适的坐标系。 【典例 2 】 某同学利用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。弧形轨道末端水平 , 离地面的高度为 H 。将钢球从轨道的不同高度 h 处静止释放 , 钢球的落点距轨道末端的水平距离为 x 。 (1) 若轨道完全光滑 , x 2 与 h 的理论关系应 满足 x 2 = 　　　　　 ( 用 H 、 h 表示 ) 。   (2) 该同学经实验测量得到一组数据 , 如下表所示 : h/ 10 - 1 m 2 . 00 3 . 00 4 . 00 5 . 00 6 . 00 x 2 / 10 - 1 m 2 2 . 62 3 . 89 5 . 20 6 . 53 7 . 78 请在坐标纸上作出 x 2 - h 关系图 。 (3) 对比实验结果与理论计算得到的 x 2 - h 关系图线 ( 图中已画出 ), 自同一高度静止释放的钢球 , 水平抛出的速率 　　　　　 ( 选填 “ 小于 ” 或 “ 大于 ”) 理论值。   (4) 从 x 2 - h 关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著 , 你认为造成上述偏差的可能原因是 　　　　　　　　　　　 。   答案 (1)4 Hh 　 (2) 见解析 　 (3) 小于 　 (4) 见 解析 (3) 从图中看 , 同一 h 对应的 x 2 值 , 理论值明显大于实际值 , 而在同一高度下的平抛运动水平射程由水平速率决定 , 可见实际水平速率小于理论速率。 (4) 客观上 , 轨道与钢球间存在摩擦 , 钢球受到空气阻力 , 机械能减小 , 因此会导致实际值比理论值小。 方法总结 物理量间的非线性关系的研究 , 如果需要定量计算 , 可借助图像来解决。如果两物理量的图像关系是曲线 , 通过曲线去研究有时无法展开 , 这时需要通过变换坐标轴的物理意义 , 把曲线转化为直线 , 这样就容易研究两者之间的定量关系。 在坐标轴变换中 , 横轴或纵轴与原来的物理量有一定的关系 , 比如 : 在 “ 探究加速度与力、质量的关系 ” 实验中 , a - M 的关系图像是曲线 , 但 a - 的 关系图像是直线 ; 在匀变速直线运动中研究速度与位移的关系时 , 画速度的二次方与位移关系图像等。 【 类题演练 】 ( 数学分析法 )(2019 北京卷 ) 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒 , 这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变 , 重力加速度为 g 。 (1) 质量为 m 的雨滴由静止开始 , 下落高度 h 时速度为 v , 求这一过程中克服空气阻力所做的功 W 。 (2) 将雨滴看作半径为 r 的球体 , 设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力 f=kr 2 v 2 , 其中 v 是雨滴的速度 , k 是比例系数。 a. 设雨滴的密度为 ρ , 推导雨滴下落趋近的最大速度 v m 与半径 r 的关系式 ; b. 示意图中画出了半径为 r 1 、 r 2 ( r 1 >r 2 ) 的雨滴在空气中无初速下落的 v - t 图线 , 其中 　　　　 对应半径为 r 1 的雨滴 ( 选填 “ ① ” 或 “ ② ”); 若不计空气阻力 , 请在图中画出雨滴无初速下落的 v - t 图线。   (3) 由于大量气体分子在各方向运动的几率相等 , 其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为 S 的圆盘 , 证明 : 圆盘以速度 v 下落时受到的空气阻力 f ∝ v 2 ( 提示 : 设单位体积内空气分子数为 n , 空气分子质量为 m 0 ) 。 答图 2 (3) 根据题设条件 : 大量气体分子在各方向运动的几率相等 , 其对静止雨滴的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。 简化的圆盘模型如答图 3 。设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在 Δ t 时间内 , 与圆盘碰撞的空气分子质量为 Δ m=Sv Δ tnm 0 以 F 表示圆盘对气体分子的作用力 , 根据动量定理 , 有 F Δ t ∝ Δ m×v 得 F ∝ nm 0 Sv 2 由牛顿第三定律 , 可知圆盘所受空气阻力 f ∝ v 2 , 采用 不同的碰撞模型 , 也可得到相同结论。 答图 3 本 课 结 束