2018-2019学年云南省玉溪一中高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年云南省玉溪一中高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年云南省玉溪一中高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．计算的结果等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦的二倍角公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由余弦的二倍角公式得 ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查余弦二倍角公式的应用，属于简单题.‎ ‎2．已知为第二象限角，，则的值等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－，则sin＝×－×＝，故选A.‎ ‎3．设，则等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦的两角和公式可得，平方即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,即，‎ 两边平方可得，‎ 可得，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查正弦的两角和公式和正弦的二倍角公式的应用，属于简单题.‎ ‎4．设向量与垂直，则等于（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】由两个向量垂直的坐标运算结合余弦的二倍角公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 向量与垂直，‎ 可得，又 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查两个向量垂直的坐标运算，考查余弦二倍角公式的应用，属于简单题.‎ ‎5．在中，已知，那么一定是（ ）‎ A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，由正弦定理可得,‎ 由余弦定理得，化简得a=b，‎ 所以三角形为等腰三角形，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.‎ ‎6．在△ABC中，A＝60°，a＝4，，则B等于( )‎ A．45°或135° B．135°‎ C．45° D．以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由得 ‎【考点】正弦定理解三角形 ‎7．在△ABC中,已知,，，则AC的长为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由余弦定理可得：,即,解得或，故选项为C.‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎8．三角形中，设，若，则三角形的形状是( )‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：如图,由即可得与的夹角为钝角，由于.所以为钝角.所以选B.‎ ‎【考点】1.向量的和差运算.2.向量的数量积.‎ ‎9．若△的三个内角满足，则△‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C是最大的角，由余弦定理,所以C为钝角，因此三角形一定是钝角三角形 ‎【考点】三角形形状的判定及正、余弦定理的应用 ‎10．化简( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正弦的二倍角公式可得，再由可得结果.‎ ‎【详解】‎ 又，所以sin4<0,cos4<0,‎ 则，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查正弦的二倍角公式的应用，考查三角函数值符号的判断，属于基础题.‎ ‎11．已知，则的值是（ ）‎ A. 1 B. －1 C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：利用三角恒等变换进行化简，即，所以有；本题也可令，从而有，即，故本题正确选项为B.‎ ‎【考点】三角函数的恒等变换.‎ ‎12．在中，已知， ， ，如果三角形有两解，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由余弦定理得,即,故由题设且,解之得，所以应选A.‎ ‎【考点】余弦定理及运用．‎ 二、填空题 ‎13．函数的值域是___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，然后由正弦函数的性质可得结论.‎ ‎【详解】‎ 函数,‎ 所以当时函数取到最大值为，‎ 当时函数取到最小值为，‎ 即函数值域为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数性质，属于基础题。‎ ‎14．已知，满足，，则等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由已知条件计算，然后利用公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,又，可得，即，‎ 则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系式和两角和的正切公式的应用，考查给值求值问题，考查学生计算能力,属于基础题.‎ ‎15．在中，角所对应的边分别为，已知，则＝________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．‎ 详解：由题bcos C＋ccos B=2b，，利用正弦定理化简得： ， 即 ‎ ‎ 利用正弦定理化简得：， 则． 故答案为 ．‎ 点睛：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎16．三角形一边长为14，它对的角为，另两边之比为，则此三角形面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据余弦定理解得各边长，再根据三角形面积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 设中剩余的两边长为，，‎ 则余弦定理得，解得，‎ 故该三角形的面积是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用余弦定理以及三角形面积公式解三角形，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知：。‎ ‎（Ⅰ）求 ‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎【答案】（Ⅰ） 1 （Ⅱ） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）计算的值，然后通过可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）结合的范围可得所求角.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由得，‎ 则 ‎（Ⅱ）且，可知，‎ ‎，，则，‎ 又，所以.‎ ‎【点睛】‎ 解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．‎ ‎18．（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）已知，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2 （Ⅱ）2‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用两角和的正切公式推导即可得答案. （Ⅱ）由已知条件求出tanα,‎ 然后利用齐次式进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎（Ⅱ）,解得，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的正切公式，考查齐次式的应用，属于基础题.‎ ‎19．在中，角的对边分别为，，,，‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由B的度数，用A表示出C，利用两角和与差的正弦公式化简，即可求出答案；（2）由sinA，sinB，以及b值，利用正弦定理求出a值，再利用三角形面积公式即可求出面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵A、B、C为△ABC的内角，且，,‎ ‎∴C＝﹣A，sinA＝，‎ ‎∴sinC＝sin（﹣A）＝cosA+sinA＝；‎ ‎（2）由（1）知sinA＝，sinC＝，‎ 又∵，，‎ ‎∴在△ABC中，由正弦定理得a＝，‎ ‎∴S△ABC＝absinC＝×××＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎20．已知函数，‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+），从而求出它的最小正周期．（Ⅱ）根据，可得 sin（2x0+）∈[﹣，1]，f（x0）的值域为[﹣1，2]，若存在使不等式f（x0）＜m成立，m需大于f（x0‎ ‎）的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵ ‎ ‎＝[2sinx+cosx]cosx﹣＝sin2x+﹣+cos2x ‎＝sin2x+cos2x=2sin（2x+）‎ ‎∴函数f（x）的最小周期T＝．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴2x0+∈[，]，∴sin（2x0+）∈[﹣，1]，‎ ‎∴f（x0）的值域为[﹣1，2]．‎ ‎∵存在，使f（x）＜m成立，∴m＞﹣1，‎ 故实数m的取值范围为（﹣1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的值域和恒成立问题的求解，属于中档题．‎ ‎21．如图，一人在地看到建筑物在正北方向，另一建筑物在北偏西方向，此人向北偏西方向前进到达处，看到在他的北偏东方向，在北偏东方向，试求这两座建筑物之间的距离.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意得DC=，推出BDC＝30°，在△BDC和△ADC中，利用正弦定理求出BC、AC．在△ABC中，由余弦定理可得结果．‎ ‎【详解】‎ 依题意得，DC=，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，‎ ‎∠ADC＝60°，∠DAC＝45°．‎ 在△BDC中，由正弦定理得， ．‎ 在△ADC中，由正弦定理得，．‎ 在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB ‎．∴AB＝5．‎ 答：这两座建筑物之间的距离为5km．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，选择正确的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键，考查计算能力．‎ ‎22．设函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，角、、所对应的边分别为、、，且求的值．‎ ‎【答案】略 ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)把的解析式利用两角差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简,结果化为一个角的正弦函数,即可求出的周期,根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式,求出不等式的解集即为的单调递增区间; (Ⅱ),根据角B的范围,利用特殊角的三角函数值求出B的度数, ,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出C的度数,分别根据直角三角形和等腰三角形的性质即可求出a的值.‎ 试题解析：（1） ‎ 单调增区间为 ‎（2）‎ 由正弦定理得