2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷【含答案】

2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷【含答案】

1 / 10 2020 年黑龙江省大庆市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 在−1，0，휋，√3这四个数中，最大的数是（ ） A.−1 B.0 C.휋 D.√3 2. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000푘푚，数字2900000000用科 学记数法表示为（ ） A.2.9 × 108 B.2.9 × 109 C.29 × 108 D.0.29 × 1010 3. 若|푥 + 2| + (푦 − 3)2＝0，则푥 − 푦的值为（ ） A.−5 B.5 C.1 D.−1 4. 函数푦 = √2푥的自变量푥的取值范围是（ ） A.푥 ≤ 0 B.푥 ≠ 0 C.푥 ≥ 0 D.푥 ≥ 1 2 5. 已知正比例函数푦＝푘1푥和反比例函数푦 = 푘2 푥 ，在同一直角坐标系下的图象如图所 示，其中符合푘1 ⋅ 푘2 > 0的是（ ） A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 6. 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字 5所在的面相对的面上标的数字为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7. 在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6， 9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉 后没有改变的一个统计量是（ ） A.平均分 B.方差 C.中位数 D.极差 8. 底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1: 3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ） A.1: 1 B.1: 3 C.1: 6 D.1: 9 9. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，푚和6，8，푛，且这两个直角三角形 不相似，则푚 + 푛的值为（ ） A.10 + √7或5 + 2√7 B.15 C.10 + √7 D.15 + 3√7 10. 如图，在边长为2的正方形퐸퐹퐺퐻中，푀，푁分别为퐸퐹与퐺퐻的中点，一个三角形 퐴퐵퐶沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点퐴恒在直线푀푁上，当点퐴运动到线段 푀푁的中点时，点퐸，퐹恰与퐴퐵，퐴퐶两边的中点重合，设点퐴到퐸퐹的距离为푥，三角形 퐴퐵퐶与正方形퐸퐹퐺퐻的公共部分的面积为푦．则当푦 = 5 2 时，푥的值为（ ） A.7 4 或2 + √2 2 B.√10 2 或2 − √2 2 C.2 ± √2 2 D.7 4 或√10 2 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程，请把答 案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点푃(2,  3)关于푦轴的对称点푄的坐标为________． 12. 分解因式：푎3 − 4푎＝________． 13. 一个周长为16푐푚的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为 8 푐푚． 14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠퐴푂퐷＝108∘，则∠퐶푂퐵＝ 2 / 10 ________． 15. 两个人做游戏：每个人都从−1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则 两人所写整数的绝对值相等的概率为________． 16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去， 则第20个图需要黑色棋子的个数为________． 17. 已知关于푥的一元二次方程：푥2 − 2푥 − 푎＝0，有下列结论： ①当푎 > −1时，方程有两个不相等的实根； ②当푎 > 0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当푎 > −1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当푎 > 3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为________． 18. 如图，等边△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝3，点퐷，点퐸分别是边퐵퐶，퐶퐴上的动点，且퐵퐷＝ 퐶퐸，连接퐴퐷、퐵퐸交于点퐹，当点퐷从点퐵运动到点퐶时，则点퐹的运动路径的长度为 ________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 66 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：| − 5| − (1 − 휋)0 + (1 3)−1． 20. 先化简，再求值：(푥 + 5)(푥 − 1) + (푥 − 2)2，其中푥 = √3． 3 / 10 21. 解方程： 2푥 푥−1 − 1 = 4 푥−1 ． 22. 如图，퐴퐵，퐶퐷为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点푀，从建 筑物퐴퐵的顶点퐴测得푀点的俯角为45∘，从建筑物퐶퐷的顶点퐶测得푀点的俯角为75∘， 测得建筑物퐴퐵的顶点퐴的俯角为30∘．若已知建筑物퐴퐵的高度为20米，求两建筑物顶 点퐴、퐶之间的距离（结果精确到1푚，参考数据：√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732）． 23. 为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的 一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数 直方图，图中的푎，푏满足关系式2푎＝3푏．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清， 但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题． （1）求问题中的总体和样本容量； 4 / 10 （2）求푎，푏的值（请写出必要的计算过程）； （3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该 校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生） 24. 如图，在矩形퐴퐵퐶퐷中，푂为对角线퐴퐶的中点，过点푂作直线分别与矩形的边퐴퐷， 퐵퐶交于푀，푁两点，连接퐶푀，퐴푁． （1）求证：四边形퐴푁퐶푀为平行四边形； （2）若퐴퐷＝4，퐴퐵＝2，且푀푁 ⊥ 퐴퐶，求퐷푀的长． 25. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商 场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花 费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种 笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时 减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两 5 / 10 种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？ 并求购买两种笔记本总费用的最大值． 26. 如图，反比例函数푦 = 푘 푥 与一次函数푦＝−푥 − (푘 + 1)的图象在第二象限的交点为퐴， 在第四象限的交点为퐶，直线퐴푂（푂为坐标原点）与函数푦 = 푘 푥 的图象交于另一点 퐵．过点퐴作푦轴的平行线，过点퐵作푥轴的平行线，两直线相交于点퐸，△ 퐴퐸퐵的面积 为6． （1）求反比例函数푦 = 푘 푥 的表达式； （2）求点퐴，퐶的坐标和△ 퐴푂퐶的面积． 6 / 10 27. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝퐴퐶，以퐴퐵为直径的⊙ 푂交퐵퐶于点퐷，连接퐴퐷，过点퐷 作퐷푀 ⊥ 퐴퐶，垂足为푀，퐴퐵、푀퐷的延长线交于点푁． （1）求证：푀푁是⊙ 푂的切线； （2）求证：퐷푁2＝퐵푁 ⋅ (퐵푁 + 퐴퐶)； （3）若퐵퐶＝6，cos퐶 = 3 5 ，求퐷푁的长． 28. 如图，抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 12与푥轴交于퐴，퐵两点（퐵在퐴的右侧），且经过点 퐶(−1,  7)和点퐷(5,  7)． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接퐴퐷，经过点퐵的直线푙与线段퐴퐷交于点퐸，与抛物线交于另一点퐹．连接퐶퐴， 퐶퐸，퐶퐷，△ 퐶퐸퐷的面积与△ 퐶퐴퐷的面积之比为1: 7，点푃为直线푙上方抛物线上的一个 动点，设点푃的横坐标为푡．当푡为何值时，△ 푃퐹퐵的面积最大？并求出最大值； （3）在抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 12上，当푚 ≤ 푥 ≤ 푛时，푦的取值范围是12 ≤ 푦 ≤ 16， 求푚 − 푛的取值范围．（直接写出结果即可） 7 / 10 参考答案与试题解析 2020 年黑龙江省大庆市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.A 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程，请把答 案直接填写在答题卡相应位置上） 11.(−2,  3) 12.푎(푎 + 2)(푎 − 2) 13.8 14.72∘ 15.5 9 16.440 17.①③④ 18.2√3휋 3 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 66 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.| − 5| − (1 − 휋)0 + (1 3)−1 ＝5 − 1 + 3 ＝7． 20.原式＝푥2 + 4푥 − 5 + 푥2 − 4푥 + 4 ＝2푥2 − 1， 当푥 = √3时，原式＝2(√3)2 − 1＝5． 21.方程的两边同乘푥 − 1，得：2푥 − 푥 + 1＝4， 解这个方程，得：푥＝3， 经检验，푥＝3是原方程的解， ∴ 原方程的解是푥＝3． 22.两建筑物顶点퐴、퐶之间的距离约为35米． 23.1000名学生一分钟的跳绳次数是总体， 40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量； 由题意所给数据可知： 8 / 10 50.5 ∼ 75.5的有4人， 75.5 ∼ 100.5的有16人， ∴ 푎 + 푏＝40 − 4 − 16＝20， ∵ 2푎＝3푏， ∴ 解得푎＝12，푏＝8， 1000 × 8 40 = 200（人）， 答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人． 24.证明：∵ 在矩形퐴퐵퐶퐷中，푂为对角线퐴퐶的中点， ∴ 퐴퐷 // 퐵퐶，퐴푂＝퐶푂， ∴ ∠푂퐴푀＝∠푂퐶푁，∠푂푀퐴＝∠푂푁퐶， 在△ 퐴푂푀和△ 퐶푂푁中， { ∠푂퐴푀 = ∠푂퐶푁 ∠퐴푀푂 = ∠퐶푁푂 퐴푂 = 퐶푂 ， ∴ △ 퐴푂푀 ≅△ 퐶푂푁(퐴퐴푆)， ∴ 퐴푀＝퐶푁， ∵ 퐴푀 // 퐶푁， ∴ 四边形퐴푁퐶푀为平行四边形； ∵ 在矩形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐷＝퐵퐶， 由（1）知：퐴푀＝퐶푁， ∴ 퐷푀＝퐵푁， ∵ 四边形퐴푁퐶푀为平行四边形，푀푁 ⊥ 퐴퐶， ∴ 平行四边形퐴푁퐶푀为菱形， ∴ 퐴푀＝퐴푁＝푁퐶＝퐴퐷 − 퐷푀， ∴ 在푅푡 △ 퐴퐵푁中，根据勾股定理，得 퐴푁2＝퐴퐵2 + 퐵푁2， ∴ (4 − 퐷푀)2＝22 + 퐷푀2， 解得퐷푀 = 3 2 ． 25.购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元 至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元 26.由题意得，点퐴与点퐵关于原点对称，即푂퐴＝푂퐵， ∴ 푆△퐴푂푀 푆△퐴퐵퐸 = (푂퐴 퐴퐵)2 = 1 4 ， 又△ 퐴퐸퐵的面积为6， ∴ 푆△퐴푂푀 = 1 4 푆△퐴퐵퐸 = 1 4 × 6 = 3 2 = 1 2 |푘|， ∴ 푘＝−3，푘＝3（舍去）， ∴ 反比例函数的关系式为푦 = − 3 푥 ； 由푘＝−3可得一次函数푦＝−푥 + 2，由题意得， { 푦 = −푥 + 2 푦 = − 3 푥 ，解得，{ 푥1 = 3 푦1 = −1 ，{푥2 = −1 푦2 = 3 ， 又퐴在第二象限，点퐶在第四象限， ∴ 点퐴(−1,  3)，点퐶(3, −1)，（ 1）一次函数푦＝−푥 + 2与푦轴的交点푁的坐标为 (0,  2)， ∴ 푆△퐴푂퐶＝푆△퐶푂푁 + 푆△퐴푂푁 = 1 2 × 2 × (1 + 3)＝4． 9 / 10 27.如图，连接푂퐷， ∵ 퐴퐵是直径， ∴ ∠퐴퐷퐵＝90∘， 又∵ 퐴퐵＝퐴퐶， ∴ 퐵퐷＝퐶퐷，∠퐵퐴퐷＝∠퐶퐴퐷， ∵ 퐴푂＝퐵푂，퐵퐷＝퐶퐷， ∴ 푂퐷 // 퐴퐶， ∵ 퐷푀 ⊥ 퐴퐶， ∴ 푂퐷 ⊥ 푀푁， 又∵ 푂퐷是半径， ∴ 푀푁是⊙ 푂的切线； ∵ 퐴퐵＝퐴퐶， ∴ ∠퐴퐵퐶＝∠퐴퐶퐵， ∵ ∠퐴퐵퐶 + ∠퐵퐴퐷＝90∘，∠퐴퐶퐵 + ∠퐶퐷푀＝90∘， ∴ ∠퐵퐴퐷＝∠퐶퐷푀， ∵ ∠퐵퐷푁＝∠퐶퐷푀， ∴ ∠퐵퐴퐷＝∠퐵퐷푁， 又∵ ∠푁＝∠푁， ∴ △ 퐵퐷푁 ∽△ 퐷퐴푁， ∴ 퐵푁 퐷푁 = 퐷푁 퐴푁 ， ∴ 퐷푁2＝퐵푁 ⋅ 퐴푁＝퐵푁 ⋅ (퐵푁 + 퐴퐵)＝퐵푁 ⋅ (퐵푁 + 퐴퐶)； ∵ 퐵퐶＝6，퐵퐷＝퐶퐷， ∴ 퐵퐷＝퐶퐷＝3， ∵ cos퐶 = 3 5 = 퐶퐷 퐴퐶 ， ∴ 퐴퐶＝5， ∴ 퐴퐵＝5， ∴ 퐴퐷 = √퐴퐵2 − 퐵퐷2 = √25 − 9 = 4， ∵ △ 퐵퐷푁 ∽△ 퐷퐴푁， ∴ 퐵푁 퐷푁 = 퐷푁 퐴푁 = 퐵퐷 퐴퐷 = 3 4 ， ∴ 퐵푁 = 3 4 퐷푁，퐷푁 = 3 4 퐴푁， ∴ 퐵푁 = 3 4 (3 4 퐴푁) = 9 16 퐴푁， ∵ 퐵푁 + 퐴퐵＝퐴푁， ∴ 9 16 퐴푁 + 5＝퐴푁 ∴ 퐴푁 = 80 7 ， ∴ 퐷푁 = 3 4 퐴푁 = 60 7 ． 10 / 10 28.把퐶(−1,  7)，퐷(5,  7)代入푦＝푎푥2 + 푏푥 + 12， 可得{ 푎 − 푏 + 12 = 7 25푎 + 5푏 + 12 = 7 ， 解得{푎 = −1 푏 = 4 ， ∴ 抛物线的解析式为푦＝−푥2 + 4푥 + 12． 如图1中，过点퐸作퐸푀 ⊥ 퐴퐵于푀，过点퐷作퐷푁 ⊥ 퐴퐵于푁． 对于抛物线푦＝−푥2 + 4푥 + 12，令푦＝0，得到，푥2 − 4푥 − 12＝0，解得푥＝−2或6， ∴ 퐴(−2,  0)，퐵(6,  0)， ∵ 퐷(5,  7)， ∴ 푂퐴＝2，퐷푁＝7，푂푁＝5，퐴푁＝7 ∵ △ 퐶퐸퐷的面积与△ 퐶퐴퐷的面积之比为1: 7， ∴ 퐷퐸: 퐴퐷＝1: 7， ∴ 퐴퐸: 퐴퐷＝6: 7， ∵ 퐸푀 // 퐷푁， ∵ 퐸푁 퐷푁 = 퐴푀 퐴푁 = 퐴퐸 퐴퐷 = 6 7 ， ∴ 퐸푀 7 = 퐴푀 7 = 6 7 ， ∴ 퐴푀＝퐸푀＝6， ∴ 퐸(4,  6)， ∴ 直线퐵퐸的解析式为푦＝−3푥 + 18， 由{ 푦 = −3푥 + 18 푦 = −푥2 + 4푥 + 12 ，解得{푥 = 6 푦 = 0 或{ 푥 = 1 푦 = 15 ， ∴ 퐹(1,  15)， 过点푃作푃푄 // 푦轴交퐵퐹于푄，设푃（푡, −푡2 + 4푡 + 12_）则푄(푡, −3푡 + 18)， ∴ 푃푄＝−푡2 + 4푡 + 12 − (−3푡 + 18)＝−푡2 + 7푡 − 6， ∵ 푆△푃퐵퐹 = 1 2 ⋅ (−푡2 + 7푡 − 6) ⋅ 5 = − 5 2 (푡 − 7 2)2 + 125 8 ， ∵ − 5 2 < 0， ∴ 푡 = 7 2 时，△ 퐵퐹푃的面积最大，最大值为125 8 ． 对于抛物线푦＝−푥2 + 4푥 + 12，当푦＝16时，−푥2 + 4푥 + 12＝16， 解得푥1＝푥2＝2， 当푦＝12时，−푥2 + 4푥 + 12＝12，解得푥＝0或4， 观察图2可知：当0 ≤ 푥 ≤ 2或2 ≤ 푥 ≤ 4时，12 ≤ 푦 ≤ 16， ∴ 푚＝0，푛＝2或푚＝2，푛＝4， ∴ 푚 − 푛＝−2．