中考数学专题复习——全等三角形

中考数学专题复习——全等三角形

‎2009年中考数学专题复习——全等三角形 一、选择题 ‎1. （2008年山东省潍坊市）如图, Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（ ）‎ A.AB=BF B.AE=ED C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE，‎ ‎2.(2008年成都市)如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( ) ‎ ‎(A)∠B=∠E,BC=EF （B）BC=EF，AC=DF ‎ ‎(C)∠A=∠D，∠B=∠E （D）∠A=∠D，BC=EF ‎3．（08绵阳市）如图，O是边长为1的正△ABC的中心，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得△A1B‎1C1，则△A1B‎1C1与△ABC重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎4.(2008 台湾)如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示rABC、rACD、 rEFG、rEGH。若ÐACB=ÐCAD=ÐEFG=ÐEGH=70°，ÐBAC=ÐACD=ÐEGF=ÐEHG =50°，则下列叙述何者正确？ ( ) ‎ G ‎50° A B C D E F ‎70° ‎50° ‎70° ‎50° ‎70° ‎50° ‎70° H 甲 乙 丙 丁 ‎ ‎ ‎ (A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等 ‎ (C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等 C A D P B 图（四）‎ ‎5.（2008年湖南省邵阳市）如图（四），点是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎6.（2008年江苏省无锡市）如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　）‎ Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．‎ 二、填空题 ‎1、（2008年山东省滨州市）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.‎ 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。‎ ‎2. （2008年山东省滨州市）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：‎ 所剪次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ n 正三角形个数 ‎4‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎…‎ an 则an=________________（用含n的代数式表示）.‎ ‎ ‎ ‎3..（2008年江苏省南通市）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.‎ O A B C D E ‎4．（08厦门市）如图，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点旋转得到，则 cm，‎ 的面积 cm2． ‎ A B E G C D ‎5．（08莆田市）在正三角形，正四边形，正五边形和正六边形中不能单独密铺的是__________.‎ ‎6..（2008佳木斯市3）如图，，请你添加一个条件： ，使（只添一个即可）．‎ D O C B AB ‎7. (2008山东济宁)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是 ． ‎ 三、简答题 ‎1、（2008年四川省宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC ‎ ‎2、（2008年浙江省衢州市）如图，AB∥CD ‎(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)‎ ‎ (2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。‎ A B C D ‎3.（2008浙江金华）如图，在ΔABC和ΔDCB中，AC与BD相交于点。， AB = DC，AC = BD. (1)求证: ΔABC≌ΔDCB；(2) Δ0BC的形状是 。(直接写出结论，不需证明) 。‎ ‎4.（2008山东威海）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F． ‎ 求证：AF⊥BE． ‎ 图 1 ‎ A F B C E D ‎（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，‎ 点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．‎ 问AF与BE是否垂直？并说明理由． ‎ A B D C E 图 2 ‎ F ‎5. （2008年山东省临沂市）已知∠MAN，AC平分∠MAN。‎ ‎⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;‎ ‎⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;‎ ‎⑶在图3中：‎ ‎①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC;‎ ‎②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。‎ ‎6.(2008年浙江省绍兴市)学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：‎ 如图，点分别在正三角形的边上，‎ 且，交于点．求证：．‎ A C N Q M B ‎（1）请你完成这道思考题；‎ ‎（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出 了许多问题，如：‎ ‎①若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？‎ ‎②若将题中的点分别移动到的延长线上，是否仍能得到？‎ ‎③若将题中的条件“点分别在正三角形的边上”改为“点分别在正方形的边上”，是否仍能得到？‎ ‎……‎ 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．‎ ‎7.(2008年天津市)已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．‎ ‎（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；‎ 思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．‎ C A B E F M N 图①‎ 请你完成证明过程：‎ C A B E F M N 图②‎ ‎（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎8.(2008年沈阳市)已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．‎ ‎（1）求证：①；②是等腰三角形．‎ ‎（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；‎ ‎（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长交线段于点．求证：．‎ C E N D A B M 图①‎ C A E M B D N 图②‎ ‎9.(2008年乐山市)如图（10），AC∥DE， BC∥EF，AC＝DE求证：AF＝BD F A E D B C ‎10．（2008年陕西省）已知：如图，三点在同一条直线上，，，．‎ 求证：．‎ A D B C E ‎11.（2008年江苏省无锡市）已知一个三角形的两条边长分别是‎1cm和‎2cm，一个内角为．‎ ‎（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；‎ ‎（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．‎ ‎（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是‎3cm和‎4cm，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个．‎ 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．‎ 图1‎ ‎12.（2008年江苏省苏州市）如图，四边形的对角线与相交于点，，．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）．‎ D C B A O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎13.(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．‎ 求证： ；‎ ‎14.(2008 重庆)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。‎ 求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE ‎15.(2008 湖北 荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．‎ ‎(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；‎ ‎(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点 C旋转的度数=______；‎ ‎(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．‎ ‎(2)‎ A C B E D’‎ E’′′′′′′′′′′′‎ A C B E D l ‎(3)‎ l D’‎ F’‎ A C B E D ‎(4)‎ A C B E D l E’‎ C’‎ D ‎(1)‎ ‎．‎ ‎16.(2008 四川 广安)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：CF=AD；‎ ‎（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？‎ A E B C F D ‎17.(2008 河北)如图1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．‎ ‎（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；‎ ‎（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；‎ ‎（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．‎ A ‎（E）‎ B C ‎（F）‎ P l l l A A B B Q P E F F C Q 图1‎ 图2‎ 图3‎ E P C ‎18.（2008 四川 泸州）如图4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，‎ ‎ 求证：DE=BF ‎19.(2008 河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：‎ ‎“如图①，已知，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A 顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连结BQ、CP则BQ＝CP。”‎ 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABC≌△ACP，从而证得BQ＝CP。之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ＝CP” 仍然成立，请你就图②给出证明。‎ ‎20．（2008湖北黄石）如图，是上一点，交于点，，．‎ 求证：．‎ A B C D E F ‎21．(2008北京)已知：如图，为上一点，点分别在两侧．，，．‎ 求证：．‎ A C E D B ‎22．(2008安徽)已知：点到的两边所在直线的距离相等，且．‎ ‎（1）如图1，若点在边上，求证：；‎ ‎（2）如图2，若点在的内部，求证：；‎ ‎（3）若点在的外部，成立吗？请画图表示．‎ A A B B C C E F D O ‎23.(2008泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．‎ 图1‎ 图2‎ D C E A B ‎（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；‎ ‎（2）证明：‎ ‎24.（2008山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O。‎ ‎（1）当旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，与的数量关系是 。‎ ‎（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由。‎ ‎（3）在图③中，连接BO，AD,探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明。 ‎ ‎25.（2008浙江湖州）　如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及延长线上的点，‎ CF∥BE，‎ ‎　（1）求证：△BDE≌△CDF ‎　（2）请连结BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由。‎ ‎26.（2008四川达州市）（6分）含角的直角三角板（）绕直角顶点沿逆时针方向旋转角（），再沿的对边翻折得到，与交于点，与交于点，与相交于点．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）当时，找出与的数量关系，并加以说明．‎ ‎27.(2008黑龙江哈尔滨)已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．‎ 求证：OA＝OD．‎ ‎28.（2008福建省泉州市）已知：如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE，‎ AC=DF,求证:‎ ‎29.(2008山东济宁)如图，在中，，．‎ ‎（1）在边上找一点，使，分别过点作的垂线，垂足为．‎ ‎（2）在四条线段中，某些线段之间存在一定的数量关系．请你写出一个等式表示这个数量关系（等式中含有其中的2条或3条线段），并说明等式成立的理由．‎ ‎30.（2008湖北宜昌市）.如图，在△ABC和△ABD中，BC=BD，设点E是BC的中点，点F是BD的中点.‎ ‎（1）请你在图中作出点E和点F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）‎ ‎（2）连接AE、AF.若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF.‎ ‎31.（2008桂林市）‎ 已知：△ＡＢＣ为等边三角形，Ｄ为ＡＣ上任意一点，连结ＢＤ ‎（１）在ＢＤ左下方，以ＢＤ为一边作等边三角形ＢＤＥ（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（２）连结ＡＥ，求证：ＣＤ＝ＡＥ ‎32.（2008广东肇庆市）‎ 如图4， E、F、G分别是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点. ‎ ‎（1） 图中有多少个三角形？‎ ‎（2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明. ‎ 全等三角形答案 一.选择题 ‎1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D ‎ 二.填空题 ‎1. （1）（2）（3）（5） 2. 3n+1 3. 120 4. 2，18 5. 正五边形 ‎6.或或或7. 全等三角形的对应角相等 ‎ 三.解答题 ‎1. 证明：连结AB C A B D E P F 在△ADB与△ACB中∴△ADB≌△ACB∴OC=OD.‎ ‎2. 解：(1)作图略； ‎ ‎(2)取点F和画AF正确(如图)；‎ ‎ 添加的条件可以是：F是CE的中点；‎ ‎ AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)‎ ‎3. (1)证明：在ΔABC和ΔDCB中 ‎∴ΔABC≌ΔDCB(SSS)‎ ‎(2)等腰三角形。‎ ‎4. 证明：（1）证明：方法一：在△ACD和△BCE中， ‎ A F B C E D AC＝BC， ‎ ‎∠DCA＝∠ECB＝90°， ‎ DC＝EC， ‎ ‎∴ △ACD≌△BCE（SAS）． ………………2分 ‎ ‎∴ ∠DAC＝∠EBC． ………………………3分 ‎ ‎ ∵ ∠ADC＝∠BDF， ‎ ‎ ∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°． ‎ ‎ ∴ ∠BFD=90°． ‎ ‎∴ AF⊥BE． …………………………………5分 ‎ 方法二：∵ AC＝BC，DC＝EC，‎ A B D C E F ‎∴ ．即tan∠DAC＝tan∠EBC． ‎ ‎∴ ∠DAC＝∠EBC．（下略）…………………3分 ‎（2）AF⊥BE． …………………………………6分 ‎ ‎∵ ∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，‎ ‎∴ ＝tan60°． ……………………7分 ‎ ‎∴ △DCA∽△ECB． …………………………8分 ‎∴ ∠DAC＝∠EBC． …………………………9分 ‎∵ ∠ADC＝∠BDF， ‎ ‎∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°． ‎ ‎∴ ∠BFD=90°． ‎ ‎∴ AF⊥BE． ……………………………………………………………………10分 ‎5. 解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，‎ ‎∴∠CAB＝∠CAD＝60°，‎ E F G ‎∵∠ABC＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠ACD＝30°，…………1分 ‎∴AB＝AD＝AC，……………………2分 ‎∴AB＋AD＝AC。……………………3分 ‎⑵成立。……………………………r…4分 证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。‎ ‎∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.‎ ‎∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,‎ ‎∴∠CDE＝∠ABC,………………………………………………………………5分 ‎∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,……………………6分 ‎∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,‎ ‎∴AB＋AD＝AC……………………………………………………………………7分 证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG.‎ ‎∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,…………5分 ‎∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,‎ ‎∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,……………………………………6分 ‎∴BG＝AD,‎ ‎∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，…………………………………………7分 ‎⑶①;………………………………………………………………………8分 ‎②.………………………………………………………………………9分 证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，‎ 在Rt△AFC中，,即,‎ ‎∴,………………………………………………………………10分 ‎∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，…………11分 ‎6. 解：（1）证明：，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）①是；②是；③否．‎ A C Q M B ‎（第②题图）‎ N ‎②的证明：如图，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ A D N C B Q ‎(第③题图)‎ M ‎．‎ ‎③的证明：如图，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．又，‎ ‎，‎ ‎，即．‎ ‎7. （Ⅰ）证明 将△沿直线对折，得△，连，‎ 则△≌△． 1分 C A B E F D M N 有，，，．‎ 又由，得 ． 2分 由，‎ ‎，‎ 得． 3分 又，‎ ‎∴△≌△． 4分 有，．‎ ‎∴． 5分 ‎∴在Rt△中，由勾股定理，‎ 得．即． 6分 ‎（Ⅱ）关系式仍然成立． 7分 C A B E F M N G 证明 将△沿直线对折，得△，连，‎ 则△≌△． 8分 有，，‎ ‎，．‎ 又由，得 ．‎ 由，‎ ‎．‎ 得． 9分 又，‎ ‎∴△≌△．‎ 有，，，‎ ‎∴． ‎ ‎∴在Rt△中，由勾股定理，‎ 得．即． 10分 ‎8. 证明：（1）①‎ ‎，‎ ‎ 3分 ‎②由得，‎ 分别是的中点， 4分 又 ‎，即为等腰三角形 6分 ‎（2）（1）中的两个结论仍然成立． 8分 ‎（3）在图②中正确画出线段 由（1）同理可证 又 ‎，和都是顶角相等的等腰三角形 10分 ‎，‎ ‎ 12分 ‎9. 证明： AC∥DE， BC∥EF，又AC=DE, ∴AB=DF ∴AF=BD ‎10. 证明：，‎ ‎，．、）‎ 又，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎． （6分 ‎11.‎ 解：（1）如图1； ‎ ‎（2）如图2； ‎ ‎（3）4． （8分）‎ ‎2cm ‎1cm ‎40°‎ ‎2cm ‎1cm ‎40°‎ 图1‎ 图2‎ ‎12.证明：（1）在和中 ‎．‎ ‎（2），．又，．‎ ‎13. 证明： 四边形和四边形都是正方形 ‎ ‎14. 证明：（1）平分，．‎ 在和中，‎ ‎．‎ ‎（2）连结．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 又是公共边，．‎ ‎．‎ ‎15. 解：(1) 3-； ‎ ‎(2)30°； ‎ ‎ 　(3)证明：在△AEF和△D′BF中， ‎ ‎ ∵AE=AC-EC, D’ B=D’ C-BC， ‎ ‎ 又AC=D’ C,EC=BC，∴AE=D’ B．‎ 又 ∠AEF=∠D’ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD’E=30°，‎ ‎∴△AEF≌△D’ BF．∴AF=FD’‎ ‎16. （1）证明：∵AD∥BC ‎ ‎ ∴∠F＝∠DAE 又∵∠FEC＝∠AED CE＝DE ‎∴△FEC≌△AED ‎∴CF＝AD ‎（2）当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上 其理由是：‎ ‎∵BC＝6 ，AD＝2 ，AB＝8‎ ‎∴AB＝BC＋AD 又∵CF＝AD ，BC＋CF＝BF ‎∴AB＝BF ‎∴点B在AF的垂直平分线上。‎ ‎17. 解：（1）；．‎ ‎（2）；．‎ 证明：①由已知，得，，．‎ 又，．．‎ 在和中，‎ ‎，，，‎ l A B F C Q 图2‎ M ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ E P ‎，．‎ ‎②如图2，延长交于点．‎ ‎，．‎ 在中，，又，‎ ‎．‎ ‎．．‎ ‎（3）成立．‎ 证明：①如图3，，．‎ 又，．．‎ 在和中，‎ l A B Q P E F 图4‎ N C ‎，，，‎ ‎．．‎ ‎②如图4，延长交于点，则．‎ ‎，．‎ 在中，，‎ ‎．．‎ ‎．‎ ‎18. 证明：‎ ‎19. 证明：∵∠QAP＝∠BAC ‎　　　∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC 即∠QAB＝∠PAC　　　　　　　　　　　　‎ 在△ABQ和△ACP中 AQ＝AP ‎∠QAB＝∠PAC AB＝AC ‎20. 证明：，（2分）‎ 又，，‎ ‎．（5分） ‎ ‎． （6分）‎ ‎21. 证明：，．‎ 在和中，．．‎ ‎22.‎ ‎[证]（1）过点分别作，，分别是垂足，由题意知，，，，，从而． ‎ ‎（2）过点分别作，，分别是垂足，‎ 由题意知，．在和中，‎ ‎，，．，‎ 又由知，，． ‎ 解：（3）不一定成立．‎ ‎23. （1）解：图2中△ABE≌C△ACD 证明如下：‎ ‎∵△ABC与AED均为等腰直角三角形 ‎∴AB=AC ,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=90°………………3分 ‎∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE 即∠BAE=∠CAD ………………4分 ‎∴△ABE≌△ACD………………6分 ‎(2)证明：由（1）△ABE≌△ACD知 ‎∠ACD=∠ABE=45°………………7分 又∠ACB=45°‎ ‎∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°‎ ‎∴DC⊥BE………………9分 ‎24. （1）（或相等）‎ ‎（2）（或成立），理由如下 方法一：由，得 在和中 方法二、连接AD，同方法一，，所以AF=DC。‎ 由。可证。‎ ‎（3）如图，‎ 方法一：由点B与点E重合，得，‎ 所以点B在AD的垂直平分线上，‎ 且 所以OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，故。‎ 方法二：延长BO交AD于点G。同方法一OA=OD，可证 则。‎ ‎25. 证明：（1）∵CF∥BE∴EBD＝FCD 又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD ‎∴△BDE≌△CDF ‎（2）四边形BECF是平行四边形 由△BDE≌△CDF得ED＝FD ‎∵BD＝CD ‎∴四边形BECF是平行四边形 ‎26. E B M A C N （1）　证明：∵∠A=∠A′　AC＝A′C　　∠ACM＝∠A′CN＝900－∠MCN ‎∴‎ ‎（2）在Rt△ABC中 ‎∵，∴∠A＝900－300＝600‎ ‎　　　又∵，∴∠MCN＝300，‎ ‎∴∠ACM＝900－∠MCN＝600‎ ‎∴∠EMB′＝∠AMC＝∠A＝∠MCA＝600‎ ‎　　　　∵∠B′＝∠B＝300‎ 所以三角形MEB′是Rt△MEB′且∠B′＝300‎ 所以MB′＝2ME ‎27. 证明：，，‎ ‎ 1分 在与中 2分 ‎ 1分 ‎ 1分 ‎28. 证明：‎ ‎∴在和中 ‎29. 解：（1）如右图；‎ ‎（2）．‎ 理由：过作于，四边形为矩形，．‎ ‎，，‎ ‎．‎ 在和中，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎30. 解：（1）略.‎ ‎（2）证明：∵BC=BD，点E是BC的中点，点F是BD的中点，‎ ‎∴BE=BF.又∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴△ABE≌△ABF.‎ ‎31. （１）如图：‎ ‎（２）证明即可.‎ ‎32. 解：（1）图中共有5个三角形； （2分）‎ ‎ （2）△≌△． （3分）‎ ‎ ∵ △是等边三角形，∴ ∠∠． （4分）‎ ‎∵ 、、是边、、的中点，‎ ‎∴AE=AG=CG=CF=AB． （6分）‎ ‎∴ △≌△． （7分）‎