宁夏银川景博中学2020届高三下学期第一次模拟数学(文)试题

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宁夏银川景博中学2020届高三下学期第一次模拟数学(文)试题

银川景博中学2020届下学期高三年级第一次模拟考试数学试卷(文)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简,再代入模的公式求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎2.已知集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合, 再与集合A取交集.‎ ‎【详解】因为, ‎ 又因为,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查复集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎3.已知角的终边经过点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的终边经过点,利用三角函数的定义求得,再利用诱导公式求.‎ ‎【详解】因为角的终边经过点,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义及诱导公式,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,则当输入的分别为3和6时,输出的值的和为( )‎ A. 45 B. ‎35 ‎C. 147 D. 75‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环终止条件,分别求得输入3和6的结果,再求和.‎ ‎【详解】当输入的为3时,.‎ 当输入的为6时,.‎ 所以输出的值的和为75.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,还考查了逻辑推理的能力,属于基础题.‎ ‎5.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI(居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是( )‎ A. CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住 B. CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%‎ C. 猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%‎ D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可. B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.食品占19.9%,再看第二个图,分清2.5%是在CPI一篮子商品中,还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.‎ ‎【详解】A. CPI一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的,故正确.‎ B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.‎ C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.‎ D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约2.1%+2.5%=4.6%,故错误.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎6.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1,其中“正方形为朱方,正方形为青方”,则在五边形内随机取一个点,此点取自朱方的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先明确这是一个几何概型面积类型,然后求得总事件的面积和所研究事件的面积,代入概率公式求解.‎ ‎【详解】因为正方形为朱方,其面积为9,‎ 五边形的面积为,‎ 所以此点取自朱方的概率为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎7.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆,化为标准方程为,求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,.再根据求解.‎ ‎【详解】已知圆,‎ 所以其标准方程为:,‎ 所以圆心为.‎ 因为双曲线,‎ 所以其渐近线方程为,‎ 又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,‎ 则圆心在渐近线上,‎ 所以.‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质 ,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎8.已知中,角所对的边分别为,若的面积为,则的周长为( )‎ A. 8 B. ‎12 ‎C. 15 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,解得,再由余弦定理得,求得即可.‎ ‎【详解】因为的面积为,‎ 所以,解得.‎ 由余弦定理得,‎ 所以,‎ 又因为,‎ 所以,解得.‎ 由余弦定理得,‎ 所以,‎ 所以的周长为15.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎9.函数在上的图象大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的特点,结合选项的图象特征,利用特殊值进行验证排除确定.‎ ‎【详解】因,排除B,D.‎ 又因为,排除C.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查函数的图象,还考查了理解辨析,特殊法应用的能力,属于中档题.‎ ‎10.已知函数,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,且满足,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简为,再利用平移变换得到,再根据满足,则有图象关于对称求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 又因为满足,‎ 所以图象关于对称,‎ 所以,‎ 解得,‎ 又因为,‎ 所以的最小值为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎11.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 确定一个平面,‎ 因为平面平面,‎ 所以,同理,‎ 所以四边形是平行四边形.‎ 即正方体被平面截的截面.‎ 因为,‎ 所以,‎ 即 所以 由余弦定理得:‎ 所以 所以四边形 故选:B ‎【点睛】本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎12.定义:表示的解集中整数的个数.若,且,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象,结合,则有求解.‎ ‎【详解】因为 如图所示:‎ 则有 解得:‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查函数与不等式问题,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知(4,﹣1),(2,t2﹣1),若5,则t=_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合已知,直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t.‎ ‎【详解】∵(4,﹣1),(2,t2﹣1),‎ ‎∴•4×2﹣(t2﹣1)=5,‎ t2=4,‎ 则t=±2.‎ 故答案为:±2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是,属于基础试题.‎ ‎14.已知函数是定义在上的奇函数,且满足.当时,,则__________,_________.‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是定义在上的奇函数,有,再根据,得到,所以的周期,然后再求解.‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的奇函数,‎ 所以,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 函数的周期.‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:0,1‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的基本性质,还考查了逻辑推理和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎15.在三棱锥中,,当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,当面BCD面ABD时,三棱锥的体积最大.此时取BD的中点O,由,得,同理根据,且,由直角三角形中线定理可得,从而得到外接圆半径R=2,再分别利用体积公式求解.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 当面BCD面ABD时,三棱锥的体积最大.‎ 取BD的中点O,因为,‎ 所以,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 外接圆半径R=2,‎ V球,,‎ 三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查组合体的体积问题,还考查了逻辑推理和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎16.牛顿迭代法(Newton's method)又称牛顿–拉夫逊方法(Newton–Raphsonmethod),是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图,设是的根,选取作为初始近似值,过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标,称是的一次近似值,过点作曲线的切线,则该切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值.重复以上过程,直到的近似值足够小,即把作为的近似解.设构成数列.对于下列结论:‎ ‎①;‎ ‎②;‎ ‎③;‎ ‎④.‎ 其中正确结论的序号为__________.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①,②;根据过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标,称是的一次近似值,过点作曲线的切线,则该切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值.重复以上过程,利用归纳推理判断。③;④根据①,②判定的结果,利用累加法判断。‎ ‎【详解】由过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标,称是的一次近似值,过点作曲线的切线,则该切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值.重复以上过程,‎ 则有,故②正确.‎ 根据题意有:,,,…, ,两边分别相加得:‎ ‎,故④正确.‎ 故答案为:②④‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的递推和累加法求通项公式,还考查了归纳推理和运算求解的能力,属于中档题.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知函数满足,数列满足.‎ ‎(1)求证:数列是等差数列; (2)若,求.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数满足,得.又因为数列满足,化简利用等差数列的定义证明.‎ ‎(2)由(1)知:,则,符合等差数列与等比数列相应项之积构成的数列,用错位相减法求和.‎ ‎【详解】(1)因为函数满足,‎ 令,所以,‎ 即.‎ 因为数列满足,‎ 所以,又 所以是以2为首项,以1为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知:+1.‎ 所以.‎ ‎,‎ ‎,‎ 两式相减得:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的证明和错位相减法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎18.‎2019年12月16日,公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线,当普通民众接到电信网络诈骗电话,公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后,钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒,来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度,从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计,得到如下数据:男性不了解这一信息的有50人,了解这一信息的有80人,女性了解这一信息的有40人.‎ ‎(1)完成下列列联表,问:能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关?‎ 了解 不了解 合计 男性 女性 合计 ‎(2)该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组,用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取3人给予一等奖,另外3人给予二等奖,求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.‎ 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关.(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)男性不了解这一信息的有50人,了解这一信息的有80人,女性了解这一信息的有40人,补全列联表.再根据列联表,代入求临界值的公式,求观测值,利用观测值临界表进行比较.‎ ‎(2)根据了解这一信息的男女比例,确定抽取6人中,男女的人数,然后列举从6人中任取3人的基本事件的总数,再从中找出含有一名女性的基本事件的个数,再代入古典概型概率公式求解.‎ ‎【详解】(1)由随机抽取200个样本进行统计,男性不了解这一信息的有50人,了解这一信息的有80人,女性了解这一信息的有40人.‎ 得列联表如下, ‎ 了解 不了解 合计 男性 ‎80‎ ‎50‎ ‎130‎ 女性 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关.‎ ‎(2)从了解这一信息调查者按照性别分组,用分层抽样的方法抽取6人中,男性有人,女性有2人,设男生编号为1,2,3,4,女性编号分别为5,6,则“从这6人中任选3人”的基本事件有;‎ ‎(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6) ,(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5) (2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),‎ ‎(2,5,6),(3,4,5) (3,4,6) ,(3,5,6),(4,5,6)共20个 其中事件A“一等奖与二等奖获得者都有女性”的基本事件有 ‎(1,2,5),(1,2,6),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(2,3,5) (2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(3,4,5) (3,4,6)共12个 所以一等奖与二等奖获得者都有女性的概率为 ‎【点睛】本题主要考查独性检验和古典概型概率的求法,还考查了数据处理和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,是等边三角形,是上一点,平面平面.‎ ‎(1)若是中点,求证:平面;‎ ‎(2)设=,当取何值时,三棱锥的体积为?‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在平面ABCD中,由勾股定理证明.在空间中,由平面平面 得到平面从而有,再利用线面垂直的判定定理证明.‎ ‎(2)设,所以,则有,根据是等边三角形,平面平面得到点到平面的距离,即为四棱锥的高,且,再利用等体积法转化,则有,整理得求解.‎ ‎【详解】(1)因为,‎ 所以.‎ 因为是的中点,‎ 所以.‎ ‎,‎ 所以,‎ 所以.‎ 又因为平面平面 所以平面 所以,‎ 所以平面.‎ ‎(2)设,‎ 所以,‎ 因为是等边三角形,平面平面 点到平面的距离,即为四棱锥的高,且 因为 所以 整理得:‎ 又因为 解得 ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理,线面垂直的判定定理以及几何体体积的求法,还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力,属于中档题.‎ ‎20.已知点、点及抛物线.‎ ‎(1)若直线过点及抛物线上一点,当最大时求直线的方程;‎ ‎(2)轴上是否存在点,使得过点的任一条直线与抛物线交于点,且点到直线的距离相等?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,设过点的直线方程为:,与.联立得:, 然后再利用当直线与抛物线相切时,最大求解。‎ ‎(2)先假设存在点,设过点的直线方程为:,与.联立得:,根据点到直线的距离相等,有关于x 轴对称,即求解。‎ ‎【详解】(1)根据题意,设过点的直线方程为:,‎ 与.联立得:,‎ 直线过点及抛物线上一点,‎ 当最大时,则直线与抛物线相切,‎ 所以,‎ 解得,‎ 所以直线方程为:或.‎ ‎(2)假设存在点,设过点的直线方程为:,‎ 与.联立得:,‎ 由韦达定理得:,‎ 因为点到直线的距离相等,‎ 所以关于x轴对称,‎ 所以,‎ 即,‎ 所以,‎ 即,‎ 解得.‎ 所以存在,点 ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置以及对称问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若函数的图象在处的切线与平行,求实数的值;‎ ‎(2)设.求证:至多有一个零点.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由函数,求导,根据函数的图象在处的切线与平行,则有求解.‎ ‎(2)根据,求导,易知当,当,当时,,只要论证即可.‎ ‎【详解】(1)已知函数,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因为函数的图象在处的切线与平行,‎ 所以,‎ 解得.‎ ‎(2)因为,‎ 所以,‎ 当,当,‎ 所以当时,,‎ 令,‎ 所以,‎ 所以在上是增函数.‎ 所以,即.‎ 所以至多有一个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数几何意义以及导数在函数零点中的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.‎ ‎【答案】(1),(2)最大值,最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由曲线的参数方程,得两式平方相加求解,根据直线的极坐标方程,展开有,再根据 求解.‎ ‎(2)因为曲线C是一个半圆,利用数形结合,圆心到直线的距离减半径即为最小值,最大值点由图可知.‎ ‎【详解】(1)因为曲线的参数方程为 所以 两式平方相加得:‎ 因为直线的极坐标方程为.‎ 所以 所以 即 ‎(2)如图所示:‎ 圆心C到直线的距离为:‎ 所以圆上的点到直线的最小值为:‎ 则点M(2,0)到直线的距离为最大值:‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程,普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎23.已知.‎ ‎(1)求的最小值; ‎ ‎(2)求不等式的解集.‎ ‎【答案】(1)2(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数特点,利用因为求解。‎ ‎(2)利用绝对值的几何意义,分类讨论去绝对值求解。‎ ‎【详解】(1)因为,‎ 当且仅当,即 时,取等号.‎ 所以的最小值为2.‎ ‎(2)因为,‎ 当时,,‎ 解得,此时.‎ 当时,,无解.‎ 当时,,‎ 解得.‎ 综上:或.‎ 所以不等式的解集是或.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值函数求最值以及绝对值不等式的解法,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎
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