云南省高考数学一模试卷理科解析

云南省高考数学一模试卷理科解析

‎2017年云南省高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎2．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（　　）‎ A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i ‎3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（　　）‎ A． B．7 C．5 D．‎ ‎4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（　　）‎ A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．120‎ ‎5．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（　　）‎ A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d ‎6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（　　）‎ A．48 B．36 C．30 D．24‎ ‎7．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．30‎ ‎10．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（　　）‎ A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2） B．（1，2）或（1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为　　人．‎ ‎14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为　　．‎ ‎15．计算=　　（用数字作答）‎ ‎16．已知f（x）=，若f（x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an=2anSn﹣2Sn2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎18．云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．‎ 已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．‎ ‎（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；‎ ‎（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．‎ ‎（1）求证：AM⊥SD；‎ ‎（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．‎ ‎20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．‎ ‎21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．‎ ‎（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）判断函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）设g（x）=ln（ex+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．‎ ‎（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．‎ ‎（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；‎ ‎（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年云南省高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】子集与真子集．‎ ‎【分析】若集合A有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．‎ ‎【解答】解：∵集合S={1，2}，‎ ‎∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（　　）‎ A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴的共轭复数为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（　　）‎ A． B．7 C．5 D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出的值，进而求出的值．‎ ‎【解答】解：根据条件：‎ ‎=‎ ‎=4；‎ ‎∴；‎ ‎∴‎ ‎=9﹣（﹣21）+16‎ ‎=46；‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（　　）‎ A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．120‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：通项公式Tr+1==（﹣1）rx10﹣2r，‎ 令10﹣2r=4，解得r=3．‎ ‎∴x4的系数等于﹣=﹣120．‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（　　）‎ A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d ‎【考点】函数的零点．‎ ‎【分析】由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），由函数零点的定义求出对应方程的根，画出g（x）和直线y=2017的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．‎ ‎【解答】解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），‎ 所以g（x）=0的两个根是a、b，‎ 由题意知：f（x）=0 的两根c，d，‎ 也就是 g（x）=2017 的两根，‎ 画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，‎ 则与f（x）交点横坐标就是c，d，‎ f（x）与x轴交点就是a，b，‎ 又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，‎ 由图得，c＞a＞b＞d，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（　　）‎ A．48 B．36 C．30 D．24‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得：‎ n=6，S=3sin60°=，‎ 不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，‎ 不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，‎ 满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，‎ 若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，‎ 则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，‎ 即，对应的平面区域为△OBC，‎ 由，‎ 解得，‎ ‎∴对应的面积为S1=××4=，‎ ‎∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，‎ ‎∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），‎ ‎∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，‎ ‎∴cosBsinC=sinCsinB，‎ ‎∵C∈（0，π），sinC≠0，‎ ‎∴cosB=sinB，即tanB=1，‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴B=，‎ ‎∵S△ABC=acsinB=ac=1+，‎ ‎∴ac=4+2，‎ 由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，‎ ‎∴b的最小值为2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．30‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，‎ 其底面面积S=×3×4=6，‎ 棱柱的高为：5，棱锥的高为3，‎ 故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】将函数f（x）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最小值为，可得T=π．根据f（x0）=，≤x0≤，求出x0，可得cos2x0的值．‎ ‎【解答】解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，‎ 化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）‎ ‎∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，‎ ‎∴T=π．‎ 由，‎ 可得：ω=1．‎ f（x0）=，即2sin（2x0+）=‎ ‎∵≤x0≤，‎ ‎∴≤2x0+≤‎ ‎∴sin（2x0+）=＞0‎ ‎∴cos（2x0+）=．‎ 那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=‎ 故选D ‎　‎ ‎11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．‎ ‎【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，‎ AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，‎ 过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，‎ 在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．‎ 故选：C ‎　‎ ‎12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+‎ ‎4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（　　）‎ A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2） B．（1，2）或（1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），再由•=﹣4，可求得y0的值，最后可得答案．‎ ‎【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，‎ ‎∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，‎ ‎∴3+=4，∴p=2．‎ ‎∴F（1，0），‎ 设A（，y0）‎ 则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），‎ 由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为　325　人．‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】利用正态分布曲线的对称性结合已知求得P（X≤70），乘以1000得答案．‎ ‎【解答】解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，‎ 得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．‎ ‎∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．‎ 故答案为：325．‎ ‎　‎ ‎14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为　[，+∞）　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令x=c，联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c的关系，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），‎ 当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），‎ 则AB=，‎ 将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），‎ 则|CD|=，‎ ‎∵|AB|≥|CD|，‎ ‎∴≥•，即b≥c，‎ 则b2=c2﹣a2≥c2，‎ 即c2≥a2，‎ 则e2=≥，‎ 则e≥．‎ 故答案为：[，+∞）．‎ ‎　‎ ‎15．计算=　　（用数字作答）‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用诱导公式化简cos（﹣100°）=﹣sin10°，同角三角函数关系式1﹣sin10°=sin25°+cos25°﹣2sin5°cos5°代入化简．根据两角和与差的公式可得答案．‎ ‎【解答】解：由===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知f（x）=，若f（x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为　{x|x＞0，或x＜﹣2 }　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由题意可得f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．由不等式f（x﹣1）＜f（2x+1），可得|x﹣1|＜|2x+1|，由此求得x的范围．‎ ‎【解答】解：∵已知f（x）=，‎ ‎∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，‎ f（x）在[0，+∞）上单调递增．‎ 若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，‎ ‎∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，‎ 故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an=2anSn﹣2Sn2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由数列的性质对其经行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可，求出Sn，再根据an=Sn﹣Sn﹣1，即可求出数列的通项公式，‎ ‎（2）先构造函数f（n）并判断其单调性，然后再由函数的单调性解决函数恒成立的，求出参数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵当n≥2时，an=2anSn﹣2Sn2，‎ ‎∴an=，n≥2，‎ ‎∴（Sn﹣Sn﹣1）（2Sn﹣1）=2Sn2，‎ ‎∴Sn﹣Sn﹣1=2SnSn﹣1，‎ ‎∴﹣2，n≥2，‎ ‎∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎∴Sn=，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣，‎ ‎∵a1=S1=1，‎ ‎∴an=，‎ ‎（2）设f（n）=，‎ 则==＞1，‎ ‎∴f（n）在n∈N*上递增，‎ 要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，‎ ‎∵f（n）min=f（1）=，‎ ‎∴0＜k≤‎ ‎　‎ ‎18．云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．‎ 已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．‎ ‎（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；‎ ‎（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．‎ ‎（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．‎ 甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，‎ 乙校的合格率P2==96%．‎ 可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．‎ ‎（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．‎ X=0，1，2，3．‎ 则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P E（X）=0+1×+2×+3×=．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．‎ ‎（1）求证：AM⊥SD；‎ ‎（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．‎ ‎【考点】‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）推导出SM⊥BC，SM⊥AM，由勾股定理得AM⊥DM，从而AM⊥平面DMS，由此能证明AM⊥SD．‎ ‎（2）以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥S﹣ABCD的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，‎ ‎∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，‎ ‎∴SM⊥平面ABCD，‎ ‎∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，‎ ‎∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，‎ ‎∴AM2=BM2==，AD=2，‎ ‎∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，‎ ‎∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，‎ ‎∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．‎ 解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，‎ MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），‎ A（﹣1，0，1），‎ ‎=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），‎ ‎=（0，t，0），‎ 设平面ABS的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，﹣，0），‎ 设平面MAS的法向量=（a，b，c），‎ 则，取a=1，得=（1，0，1），‎ 设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，‎ ‎∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，‎ ‎∴sinθ=，cosθ==，‎ ‎∴cosθ===，解得t=，‎ ‎∵SM⊥平面ABCD，SM=，‎ ‎∴四棱锥S﹣ABCD的体积：‎ VS﹣ABCD===．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：设椭圆的标准方程，c=a，则利用椭圆的定义m+n=2a，勾股定理n2+（2c）2=m2，及向量数量积，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）假设存在直线l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），‎ e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，‎ 则m+n=2a，‎ 线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，‎ 则n2+（2c）2=m2，‎ ‎9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，‎ 则b==1，‎ ‎∴椭圆标准方程：；‎ ‎（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，‎ ‎∴直线l的斜率存在．‎ 设直线l：y=kx+m，则 由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0‎ ‎∵l与椭圆交于不同的两点M，N，‎ ‎∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②‎ 把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0‎ ‎∴k＞或k＜﹣，‎ ‎∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．‎ ‎　‎ ‎21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=ex ‎﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．‎ ‎（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）判断函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）设g（x）=ln（ex+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）设F（x）=ex﹣x﹣1，求出函数的导数，问题转化为x＞0时，ex+x3﹣1＞x，设h（x）=xex﹣ex﹣x3+1，根据函数的单调性确定a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，‎ f′（x）=ex﹣e，可得f′（1）=0，‎ 故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；‎ ‎（2）f（x）=ex﹣ax﹣1，f′（x）=ex﹣a，‎ 当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；‎ 当a＞0时，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，‎ 则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．‎ ‎（3）设F（x）=ex﹣x﹣1，则F′（x）=ex﹣1，‎ ‎∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，‎ ‎∴F（x）在[0，+∞）递增，‎ ‎∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：ex﹣1＞x，‎ ‎∴x＞0时，ex+x3﹣1＞x，‎ 设h（x）=xex﹣ex﹣x3+1，‎ 则h′（x）=x（ex﹣ex），‎ 设H（x）=ex﹣ex，H′（x）=ex﹣e，‎ 由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，‎ x＜1时，H′（x）＜0，‎ ‎∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），‎ x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，‎ ‎∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，‎ ‎∴h（x）＞h（0）=0，化简得ex+x3﹣1＜xex，‎ ‎∴x＞0时，x＜ex+x3﹣1＜xex，‎ ‎∴x＞0时，lnx＜ln（ex+x3﹣1）＜lnx+x，‎ 即0＜ln（ex+x3﹣1）﹣lnx＜x，‎ 即x＞0时，0＜g（x）＜x，‎ 当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，‎ 得f（g（x））＜f（x）满足条件，‎ 当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，‎ ‎∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，‎ 综上，a的范围是（﹣∞，1]．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．‎ ‎（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，利用正弦函数的单调性即可得出最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，‎ 曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C的普通方程为=1；‎ ‎（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．‎ 则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，‎ 当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．‎ ‎（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；‎ ‎（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，‎ 故有①；或②；或③．‎ 解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．‎ 综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．‎ ‎（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，‎ B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，‎ ‎∴，即，求得﹣1≤a≤0，‎ 故实数a的范围为[﹣1，0]．‎ ‎　‎ ‎2017年3月30日