—高考全国卷Ⅰ文科数学解析几何汇编

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新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 解 析 几 何 一、选择题 ‎【2017，5】已知是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解法】选D．由得，所以，将代入，得，所以，又A的坐标是(1,3)，故APF的面积为，选D．‎ ‎【2017，12】设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【解法】选A．‎ 图 1 图 2‎ 解法一：设是椭圆C短轴的两个端点，易知当点是椭圆C短轴的端点时最大，依题意只需使．‎ ‎1．当时，如图1，，解得，故；‎ ‎2． 当时，如图2，，解得．‎ 综上可知，m的取值范围是，故选A．‎ 解法二：设是椭圆C短轴的两个端点，易知当点是椭圆C短轴的端点时 最大，依题意只需使．‎ ‎1．当时，如图1，，即，‎ 带入向量坐标，解得，故；‎ ‎2． 当时，如图2，，即，‎ 带入向量坐标，解得．‎ 综上可知，m的取值范围是，故选A．‎ ‎【2016，5】直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：选B． 由等面积法可得，故，从而．故选B．‎ ‎【2015，5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C: y2=8x，的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=( ) ‎ A．3 B．6 C．9 D．12 ‎ 解：选B．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x=-2，所以c=2，从而a=4，所以b2=12，所以椭圆方程为，将x=-2代入解得y=±3，所以|AB|=6，故选B ‎【2014，10】10．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=，则x0=( )A A．1 B．2 C．4 D．8‎ 解：根据抛物线的定义可知|AF|=，解之得x0=1． 故选A ‎【2014，4】4．已知双曲线的离心率为2，则a=( ) D A．2 B． C． D．1‎ 解：，解得a=1，故选D ‎【2013，4】已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)．‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x 解析：选C．∵，∴，即．∵c2＝a2＋b2，∴．∴．‎ ‎∵双曲线的渐近线方程为，∴渐近线方程为．故选C．‎ ‎【2013，8】O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为(　　)．‎ A．2 B． C． D．4‎ 答案：C 解析：利用|PF|＝，可得xP＝，∴yP＝．∴S△POF＝|OF|·|yP|＝．‎ 故选C．‎ ‎【2012，4】4．设、是椭圆E：（）的左、右焦点，P为直线上一点，‎ 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解析】如图所示，是等腰三角形，‎ ‎，，，，，‎ 又，所以，解得，因此，故选择C．‎ ‎【2012，10】10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，‎ C与抛物线的准线交于A，B两点，‎ ‎，则C的实轴长为（ ）‎ A． B． ‎ C．4 D．8‎ ‎【解析】设等轴双曲线C的方程为，即（），‎ 抛物线的准线方程为，联立方程，解得，‎ 因为，所以，从而，所以，，，因此C的实轴长为，故选择C．‎ ‎【2011，4】椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】选D．因为中，，所以，所以． ‎ ‎【2011，9】已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】不妨设抛物线的标准方程为，由于垂直于对称轴且过焦点，故直线的方程为．代入得，即，又，故，所以抛物线的准线方程为，故．故选C． ‎ 二、填空题 ‎【2016，15】设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为 ．‎ 解析：．由题意直线即为，圆的标准方程为，‎ 所以圆心到直线的距离，所以，‎ 故，所以．故填．‎ ‎【2015，16】已知F是双曲线C:的右焦点，P是C左支上一点，，当ΔAPF周长最小时，该三角形的面积为 ． ‎ 解：． a=1，b2=8，Þ c=3，∴F(3,0)．设双曲线的的左焦点为F1，由双曲线定义知|PF|=2+|PF1|，∴ΔAPF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1|+2，由于|AF|是定值，只要|PA|+|PF1|最小，即A,P,F1共线，∵，F1 (-3,0)，∴直线AF1的方程为，联立8x2-y2=8消去x整理得y2+y-96=0，解得y=或y=(舍去)，此时 SΔAPF=SΔAFF1-SΔPFF1．‎ 三、解答题 ‎【2017，20】设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且，求直线AB的方程．‎ 解析：第一问：【解法1】设 ,AB 直线的斜率为k，又因为A,B都在曲线C上，所以 ‎  ‎ ‚ ‚-得由已知条件 所以，即直线AB的斜率k=1．‎ ‎【解法2】设 ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以 整理得：且所以k=1‎ ‎ 第二问：设 所以 又 所以 所以M（2,1），，，且，‎ 即‚，设AB 直线的方程为，‎ 化简得，所以 由‚得所以b=7或者b=-1(舍去)‎ 所以AB 直线的方程为y=x+7‎ ‎【2016，20】在直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点．‎ ‎（1）求；（2）除以外，直线与是否有其他公共点？请说明理由．‎ 解析 （1）如图，由题意不妨设，可知点的坐标分别为，，，‎ 从而可得直线的方程为，联立方程，解得，．‎ 即点的坐标为，从而由三角形相似可知．‎ ‎（2）由于，，可得直线的方程为，‎ 整理得，联立方程，整理得，‎ 则，从而可知和只有一个公共点．‎ ‎【2015，20】已知过点A(0, 1)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ ‎(Ⅰ)求k的取值范围； (Ⅱ)=12，其中O为坐标原点，求|MN|.‎ 解：(Ⅰ)依题可设直线l的方程为y=kx+1，则圆心C(2,3)到的l距离 ‎. 解得.‎ 所以k的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)将y=kx+1代入圆C的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0.‎ 设M(x1, y1),N(x2, y2)，则 所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1‎ ‎=12，解得k=1，所以l的方程为y=x+1.‎ 故圆心在直线l上，所以|MN|=2.‎ ‎【2013，21】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ 解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，‎ 所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.‎ 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．‎ 由l与圆M相切得＝1，解得k＝.‎ 当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，‎ 所以|AB|＝|x2－x1|＝.‎ 当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝.‎ 综上，|AB|＝或|AB|＝.‎ ‎【2012，20】设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点。‎ ‎（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，‎ 求坐标原点到，距离的比值。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，‎ 且|BD|=，圆F的半径，‎ 又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离 ‎。‎ 因为△ABD的面积为，‎ 所以，即，‎ 所以，由，解得。‎ 从而抛物线C的方程为，‎ 圆F的圆心F（0，1），半径，‎ 因此圆F的方程为。‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线上，‎ 则AB为圆F的直径，∠ADB=90°，‎ 根据抛物线的定义，得，所以，从而直线的斜率为或。‎ 当直线的斜率为时，直线的方程为，原点O到直线的距离。‎ 依题意设直线的方程为，联立，得，‎ 因为直线与C只有一个公共点，所以，从而。‎ 所以直线的方程为，原点O到直线的距离。‎ 因此坐标原点到，距离的比值为。‎ 当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3。‎ ‎【2011，20】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．‎ ‎（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．‎ ‎【解析】（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ‎．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．‎ ‎（2）设，，其坐标满足方程组 消去，得方程．‎ 由已知可得，判别式，因此，‎ 从而，．  由于，可得．‎ 又，‎ 所以． ‚ ‎ 由‚得，满足，故．‎