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文档介绍
高考卷 普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)全解全析
2007 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学 (文科)全解全析 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 参考公式: 如果事件 A B, 互斥,那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24πS R 如果事件 A B, 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 34 π3V R n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k k n k n nP k C p p 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 {13}A , , {2 3 4}B ,, ,则 A B ( ) A.{1} B.{2} C.{3} D.{1 2 3 4},,, 解析: A B {1,3}∩{2,3,4}={3},选 C 2.若函数 ( )y f x 的反函数...图象过点 (15), ,则函数 ( )y f x 的图象必过点( ) A. (51), B. (15), C. (11), D. (5 5), 解析:根据反函数定义知反函数图像过(1,5),则原函数图像过点(5,1),选 A 3.双曲线 2 2 116 9 x y 的焦点坐标为( ) A. ( 7 0) , , ( 7 0), B. (0 7), , (0 7), C. ( 5 0) , , (5 0), D. (0 5), , (0 5), 解析:因为 a=4,b=3,所以 c=5,所以焦点坐标为 ( 5 0) , , (5 0), ,选 C 4.若向量 a 与 b 不共线, 0a b ,且 a ac = a ba b ,则向量 a 与 c 的夹角为( ) A.0 B. π 6 C. π 3 D. π 2 解析:因为 0)( 2 2 ba ba aaca ,所以向量 a 与 c 垂直,选 D 5.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,若 3 9S , 6 36S ,则 7 8 9a a a ( ) A.63 B.45 C.36 D.27 解析:由等差数列性质知 S3、S6-S3、S9-S6 成等差数列,即 9,27,S 成等差,所以 S=45, 选 B 6.若 m n, 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题...是 ( ) A.若 m , ,则 m B.若 m , m ∥ ,则 C.若 , ⊥ ,则 D.若 m , n ,m n∥ ,则 ∥ 解析:由有关性质排除 A、C、D,选 B 7.若函数 ( )y f x 的图象按向量 a 平移后,得到函数 ( 1) 2y f x 的图象,则向量 a = ( ) A. (1 2), B. (1 2), C. (1 2), D. ( 1 2) , 解析:函数 ( 1) 2y f x 为 )1(2 xfy ,令 2,1 '' yyxx 得平移公式,所 以向量 a = (1 2), ,选 C 8.已知变量 x y, 满足约束条件 2 0 1 7 0 x y x x y ≤ , ≥ , ≤ , 则 y x 的取值范围是( ) A. 9 65 , B. 9 65 , , C. 3 6 , , D.[3 6], 解析:画出可行域为一三角形,三顶点为(1,3)、(1,6)和( 2 9,2 5 ), y x 表示可行域 内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,当(x,y)=(1,6)时取最大值 6,当(x, y)=( 2 9,2 5 )时取最小值 5 9 ,选 A 9.函数 2 1 2 log ( 5 6)y x x 的单调增区间为( ) A. 5 2 , B. (3 ) , C. 5 2 , D. ( 2), 解 析 : 定 义 域 为 ( 2), ∪ (3 ) , , 排 除 A 、 C , 根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 知 2 1 2 log ( 5 6)y x x 的单调增区间为 ( 2), ,选 D 10.一个坛子里有编号为 1,2,…,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其 余的是黑球.若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率 为( ) A. 1 22 B. 1 11 C. 3 22 D. 2 11 解析:从中任取两个球共有 662 12 C 种取法,其中取到的都是红球,且至少有 1 个球的号 码是偶数的取法有 122 3 2 6 CC 种取法,概率为 11 2 66 12 ,选 D 11.设 p q, 是两个命题: 2 5 1:| | 3 0 : 06 6p x q x x , ,则 p 是 q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:p: ),3()3,( ,q: ),2 1()3 1,( ,结合数轴知 p 是 q 的充分而不必要 条件,选 A 12.将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第i 个数为 i (i 1 2 6)a ,, , ,若 1 1a , 3 3a , 5 5a , 1 3 5a a a ,则不同的排列方法种数为( ) A.18 B.30 C.36 D.48 解析:分两步:(1)先排 531 ,, aaa , 1a =2,有 2 种; 1a =3 有 2 种; 1a =4 有 1 种,共有 5 种;(2)再排 642 ,, aaa ,共有 63 3 A 种,故不同的排列方法种数为 5×6=30,选 B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知函数 ( )y f x 为奇函数,若 (3) (2) 1f f ,则 ( 2) ( 3)f f . 解析:由函数 ( )y f x 为奇函数得 ( 2) ( 3)f f (3) (2) 1f f ,填 1 14. 4 1( ) xx x 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 (用数字作答). 解析: 2 4 8 8 481 )1()( r rrrr r xC x xCT ,当 r=0,4,8 时为含 x 的整数次幂的项,所以 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 728 8 4 8 0 8 CCC ,填 72 15.若一个底面边长为 6 2 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球 的体积为 . 解析:根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,由 12)6()6()2( 222 R 得 R= 3 ,球体积为 343 4 3 R 16.设椭圆 2 2 125 16 x y 上一点 P 到左准线的距离为 10, F 是该椭圆的左焦点,若点 M 满 足 1 ( )2OM OP OF ,则| |OM . 解析:椭圆 2 2 125 16 x y 左准线为 3 25x ,左焦点为(-3,0),P( )3 28,3 5 ,由已知 M 为 PF 中点,M( )3 24,3 2 ,所以| |OM 2)3 24()3 2( 22 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位: 小时)进行了统计,统计结果如下表所示: 分组 [500 , 900) [900 , 1100) [1100 , 1300) [1300 , 1500) [1500 , 1700) [1700 , 1900) [1900 , ) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (I)将各组的频率填入表中; (II)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率; (III)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支,若将上述频率作为概率,试求至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率. 本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识,考查使用统 计的有关知识解决实际问题的能力. (I)解: 分组 [500 , 900) [900 , 1100) [1100 , 1300) [1300 , 1500) [1500 , 1700) [1700 , 1900) [1900 , ) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 ···········································································································4 分 (II)解:由(I)可得 0.048 0.121 0.208 0.223 0.6 ,所以灯管使用寿命不足 1500 小时的频率为 0.6.·························································································· 8 分 (III)解:由(II)知,1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 0.6P ,根据在 n 次独立 重复试验中事件恰好发生 k 次的概率公式可得 2 2 3 3 3 3(2) (3) C 0.6 0.4 0.6 0.648P P . 所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648.····························· 12 分 18.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 90ACB , AC BC a , D E, 分别为棱 AB BC, 的中点, M 为棱 1AA 上的点,二面角 M DE A 为30 . (I)证明: 1 1 1A B C D ; (II)求 MA 的长,并求点 C 到平面 MDE 的距离. 1A 1C 1B C B A M D E 本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维能 力. (I)证明:连结CD , 三棱柱 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱, 1CC 平面 ABC , CD 为 1C D 在平面 ABC 内的射影. ABC△ 中, AC BC , D 为 AB 中点, AB CD , 1AB C D . 1 1A B AB∥ , 1 1 1A B C D . 1A 1C 1B C B A M D E F G (II)解法一:过点 A 作CE 的平行线, 交 ED 的延长线于 F ,连结 MF . D E, 分别为 AB BC, 的中点, DE AC ⊥ . 又 AF CE∥ ,CE AC⊥ . AF DE⊥ . MA⊥平面 ABC , AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影. MF DE⊥ . MFA 为二面角 M DE A 的平面角, 30MFA . 在 Rt MAF△ 中, 1 2 2 aAF BC , 30MFA , 3 6AM a . 作 AG MF⊥ ,垂足为G , MF DE ⊥ , AF DE⊥ , DE ⊥平面 DMF , 平面 MDE ⊥平面 AMF , AG⊥平面 MDE . 在 Rt GAF△ 中, 30GFA , 2 aAF , 4 aAG ,即 A 到平面 MDE 的距离为 4 a . CA DE∥ , CA∥平面 MDE , C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等,为 4 a . 解法二:过点 A 作CE 的平行线,交 ED 的延长线于 F ,连接 MF . D E, 分别为 AB BC, 的中点, DE AC∥ . 又 AF CE∥ ,CE DE AF DE⊥ . MA⊥平面 ABC , AF 是 MF 在平面 ABC 内的射影, MF DE⊥ . MFA 为二面角 M DE A 的平面角, 30MFA . 在 Rt MAF△ 中, 1 2 2 aAF BC , 30MFA , 3 6AM a .···························································································· 8 分 设C 到平面 MDE 的距离为 h , M CDE C MDEV V . 1 1 3 3CDE MDES MA S h △ 21 2 8CDE aS CE DE △ , 3 6MA a , 21 1 3 2 2 cos30 12MDE AFS DE MF DE a △ , 2 21 3 1 3 3 8 6 3 12 a a a h , 4 ah ,即C 到平面 MDE 的距离为 4 a .························································ 12 分 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 2π π( ) sin sin 2cos6 6 2 xf x x x x R, (其中 0 ) (I)求函数 ( )f x 的值域; (II)若函数 ( )y f x 的图象与直线 1y 的两个相邻交点间的距离为 π 2 ,求函数 ( )y f x 的单调增区间. 本小题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函 数有关知识的能力.满分 12 分. (I)解: 3 1 3 1( ) sin cos sin cos (cos 1)2 2 2 2f x x x x x x 3 12 sin cos 12 2x x π2sin 16x .····················································································· 5 分 由 π1 sin 16x ≤ ≤ ,得 π3 2sin 1 16x ≤ ≤ , 可知函数 ( )f x 的值域为[ 31] , .········································································ 7 分 (II)解:由题设条件及三角函数图象和性质可知, ( )y f x 的周期为 π ,又由 0 ,得 2π π ,即得 2 .···················································································· 9 分 于是有 π( ) 2sin 2 16f x x ,再由 π π π2 π 2 2 π ( )2 6 2k x k k Z≤ ≤ ,解得 π ππ π ( )6 3k x k k Z≤ ≤ . 所以 ( )y f x 的单调增区间为 π ππ π6 3k k , ( )k Z ····································· 12 分 20.(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na ,{ }nb 满足 1 2a , 1 1b ,且 1 1 1 1 3 1 14 4 1 3 14 4 n n n n n n a a b b a b ( 2n≥ ) (I)令 n n nc a b ,求数列{ }nc 的通项公式; (II)求数列{ }na 的通项公式及前 n 项和公式 nS . 本小题主要考查等差数列,等比数列等基础知识,考查基本运算能力. (I)解:由题设得 1 1( ) 2( 2)n n n na b a b n ≥ ,即 1 2n nc c ( 2n≥ ) 易知{ }nc 是首项为 1 1 3a b ,公差为2的等差数列,通项公式为 2 1nc n .··································································································4 分 (II)解:由题设得 1 1 1 ( )( 2)2n n n na b a b n ≥ ,令 n n nd a b ,则 1 1 ( 2)2n nd d n ≥ . 易知{ }nd 是首项为 1 1 1a b ,公比为 1 2 的等比数列,通项公式为 1 1 2n nd .··································································································· 8 分 由 1 2 1 1 2 n n n n n a b n a b , 解得 1 1 2 2n na n ,··························································································10 分 求和得 21 12 2n n nS n .········································································ 12 分 21.(本小题满分 14 分) 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 2 2y x 上,其中 O 为坐标原点,设圆 C 是 OAB△ 的内接圆(点C 为圆心) (I)求圆C 的方程; (II)设圆 M 的方程为 2 2( 4 7cos ) ( 7sin ) 1x y ,过圆 M 上任意一点 P 分别作 圆C 的两条切线 PE PF, ,切点为 E F, ,求CE CF , 的最大值和最小值. 本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解 析几何知识解决问题的能力.满分 14 分. (I)解法一:设 A B, 两点坐标分别为 2 1 12 y y , , 2 2 22 y y , ,由题设知 2 2 22 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 1 2( )2 2 2 2 y y y yy y y y . 解得 2 2 1 2 12y y , 所以 (6 2 3)A , , (6 2 3)B , 或 (6 2 3)A , , (6 2 3)B , . 设圆心C 的坐标为 ( 0)r, ,则 2 6 43r ,所以圆C 的方程为 2 2( 4) 16x y .························································································ 4 分 解法二:设 A B, 两点坐标分别为 1 1( )x y, , 2 2( )x y, ,由题设知 2 2 2 2 1 1 2 2x y x y . 又因为 2 1 12y x , 2 2 22y x ,可得 2 2 1 1 2 22 2x x x x .即 1 2 1 2( )( 2) 0x x x x . 由 1 0x , 2 0x ,可知 1 2x x ,故 A B, 两点关于 x 轴对称,所以圆心C 在 x 轴上. 设C 点的坐标为 ( 0)r, ,则 A 点坐标为 3 3 2 2r r , ,于是有 2 3 322 2r r ,解得 4r , 所以圆C 的方程为 2 2( 4) 16x y .······························································· 4 分 (II)解:设 2ECF a ,则 2| | | | cos2 16cos2 32cos 16CE CF CE CF .···································8 分 在 Rt PCE△ 中, 4cos | | | | x PC PC ,由圆的几何性质得 | | | | 1 7PC MC ≤ 1 8 ,| | | | 1 7 1 6PC MC ≥ , 所以 1 2cos2 3 ≤ ≤ ,由此可得 168 9CE CF ≤ ≤ . 则CE CF 的最大值为 16 9 ,最小值为 8 . 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 3 2 2( ) 9 cos 48 cos 18sinf x x x x , ( ) ( )g x f x ,且对任意的实数t 均有 (1 cos ) 0g t ≥ , (3 sin ) 0g t ≤ . (I)求函数 ( )f x 的解析式; (II)若对任意的 [ 26 6]m , ,恒有 2( ) 11f x x mx ≥ ,求 x 的取值范围.查看更多