江苏省天一中学2020届高三上学期12月份调研考试数学试题 含解析

江苏省天一中学2020届高三上学期12月份调研考试数学试题 含解析

‎2019年江苏省天一中学十二月份调研考试 ‎ 高三数学（Ⅰ）试题 2019.12‎ 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页包含填空题（第1~14题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.‎ ‎3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.‎ ‎4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.‎ ‎5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 设全集，集合，，，，则_____.‎ 答案：， ‎ 分析：由全集，可得，2，3，，然后根据集合混合运算的法则即可求解．‎ 解：，，，，‎ ‎，3，，‎ ‎，2，3，，‎ ‎ ‎ ‎2. 已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为　　．‎ 答案：‎ 分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得值．‎ 解：，‎ 且的实部与虚部相等，‎ ‎，即．‎ 故答案为：．‎ ‎3. 函数的定义域为_____.‎ 答案：‎ 分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解.‎ 解：由题意得，解得 故函数的定义域为 ‎4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为　　．‎ 答案：‎ 分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．‎ 解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），‎ ‎（乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），‎ ‎（乙丁），共4种，‎ 故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为，‎ 故答案为：‎ ‎5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间，内为一等品，在区间，和，内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为　 　．‎ 答案：200‎ 分析：结合频数分布直方图确定落在，15，、，、，的人数由容量 组距求出．‎ 解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．‎ 根据标准，单件产品质量在区间，内为一等品，在区间，和，内为二等品，‎ 其余为次品．其件数为：‎ 故答案为：200‎ ‎6. 如图是一个算法流程图，则输出的的值为　　．‎ 答案：8‎ 分析：根据程序框图进行模拟运算即可．‎ 解：，，否，，，‎ 否，，，‎ 否，，，‎ 否，，，‎ 否，，，‎ 否，，，‎ 是，输出，‎ 故答案为：8‎ ‎7.若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则____．‎ 分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得．‎ 解：双曲线的右焦点是，，‎ 抛物线的焦点为，，，‎ 故答案为：6‎ ‎8. 已知函数是定义在上的奇函数，则的值为　　．‎ 答案：‎ 分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可．‎ 解：，‎ 是奇函数，‎ ‎，‎ 即，，‎ ‎，时，，‎ 即，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎9. 已知数列与均为等差数列，且，则　　．‎ 答案：20‎ 分析：设等差数列的公差为．又数列均为等差数列，且，可得，解得，即可得出．‎ 解：设等差数列的公差为．‎ 又数列均为等差数列，且，‎ ‎，‎ 解得．‎ 则．‎ 故答案为：20．‎ ‎10. 如图，在中，，，，已知点，分别是边，的中点，点在边上，若，则线段的长为　　．‎ 答案：‎ 分析：先由平面向量数量积的运算可得：，‎ 再由余弦定理可得：，‎ 然后设，结合平面向量的线性运算可得：‎ ‎，解得：，即可得解．‎ 解：因为在中，，，，‎ 所以，‎ 又在中，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 又，，，‎ 得，‎ 设，‎ 则 ‎，‎ 解得：，‎ 即，‎ 即线段的长为，‎ 故答案为：．‎ ‎11. 已知点，，若圆上恰有两点，，使得和的面积均为4，则的取值范围是　　．‎ 答案：，‎ 分析：求得的值，得出两点，到直线的距离相等，写出的直线方程，‎ 根据圆上的点到直线的距离求出的取值范围．‎ 解：由题意可得，‎ 根据和的面积均为4，‎ 可得两点，到直线的距离为；‎ 由于的方程为，‎ 即；‎ 若圆上只有一个点到直线的距离为，‎ 则有圆心到直线的距离为，解得；‎ 若圆上只有3个点到直线的距离为，‎ 则有圆心到直线的距离为，解得；‎ 综上，的取值范围是，．‎ 故答案为：，．‎ ‎12. 已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为　　．‎ 答案：‎ 分析：令，，求出与的值域即可判断 的值，从而得出的值．‎ 解：令可得：，‎ 令，，‎ 则，‎ 令可得，即或（舍，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎（1），‎ ‎（当且仅当即时取等号），‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎13.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.‎ 答案：‎ 解：当时，由得，，∴或①‎ ‎∴当时，在上有三个根，当时，在上有两个根，当时，在上有一根 当时，由得，则②，‎ 设（），‎ ‎∴当时, ，函数单调递增，‎ 当时, ，函数单调递减 可结合图像可知，时，方程②有两个根；当或时，方程②有一个根；当时，方程②没有实根，‎ 综上：当或时，有三个零点.‎ ‎14. 在锐角三角形，是边上的中线，且，则的最小值为　　．‎ 答案：‎ 分析：不妨设，边上的高为，则，，再根据正切值求出，然后用基本不等式可求得．‎ 解：不妨设，边上的高为，则，，‎ 从而，‎ 所以，‎ ‎（当且仅当，即时，取等）‎ 故答案为：．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15. （本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点 ‎，且点的纵坐标是．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．‎ 分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．‎ ‎（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．‎ 解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，‎ 所以由任意角的三角函数的定义可知 ．‎ 从而 ．‎ ‎（1） ，‎ ‎．‎ ‎（2）因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，‎ 所以 ，从而 ．‎ 于是 ．‎ 因为为锐角，为钝角，所以，，‎ 从而．‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ 如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点，分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）求证：平面．‎ 分析：（1）推导出，，从而平面，进而，由此能证明为的中点．‎ ‎（2）连结，，交于点，连结，，推导出，，从而，由此能证明平面．‎ 证明：（1）在正三棱柱中，点在棱上，，‎ ‎，，‎ ‎，平面，‎ ‎，为的中点．‎ ‎（2）连结，，交于点，连结，，‎ 正三棱柱中，是矩形，是的中点，‎ ‎，‎ 点，分别是，的中点，，‎ ‎，‎ 平面，平面．‎ 平面．‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图．每座帐篷的体积为，且分上下两层，其中上层是半径为（单位：的半球体，下层是半径为，高为的圆柱体（如图．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为千元．‎ ‎（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；‎ ‎（2）当半径为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.‎ 分析:（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得；再由，则，所以定义域为，‎ ‎（2），，根据导函数求出其最小值即可．‎ 解：（1）由题意可得，所以，‎ 所以，即；‎ 因为，，所以，则，所以定义域为，‎ ‎（2）设，，则，令，解得，‎ 当，时，，单调递减；‎ 当，时，，单调递增，‎ 所以当时，取极小值也是最小值，且．‎ 答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，离心率为，直线过点与椭圆交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点为△的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△与△面积的比值；‎ ‎（3）设点，，在直线上的射影依次为点，，．连结，，试问：当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．‎ 分析：（1）由题意知．，可得，解得即可得出椭圆的方程．‎ ‎（2）由点为△的内心，可得点为△的内切圆的圆心，设该圆的半径为，可得．‎ ‎（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，此时与交于的中点．下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．‎ 设直线的方程为，与椭圆方程联立化简得．设，，，，由题意，得，，则直线的方程为 ‎．令，此时，把根与系数关系代入可得，因此点在直线上．同理可证，点在直线上．即可得出结论．‎ 解：（1）由题意知．因为，所以，解得，‎ 所以椭圆的方程为：．‎ ‎（2）因为点为△的内心，‎ 所以点为△的内切圆的圆心，设该圆的半径为，‎ 则．‎ ‎（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，‎ 此时与交于的中点．‎ 下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．‎ 设直线的方程为，‎ 联立化简得．‎ 因为直线经过椭圆内的点，所以△．‎ 设，，，，则，．‎ 由题意，得，，则直线的方程为．‎ 令，此时 ‎，‎ 所以点在直线上．‎ 同理可证，点在直线上．‎ 所以当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 设数列，分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．‎ ‎（1）已知，，求数列的前项的和；‎ ‎（2）已知，，且数列的前三项成等比数列，若数列唯一，求的值.‎ ‎（3）已知数列的公差为，且，求数列，的通项公式（用含，的式子表达）；‎ ‎（1）解：设的公比为，‎ 则有，即；‎ 解得；‎ ‎；‎ ‎（2）∵为等差数列，又∵，‎ ‎∴，，则公差，则 数列的前三项成等比数列，即，，成等比，‎ ‎，整理得 设数列的公比为，显然 则，‎ ‎∵数列唯一确定，‎ ‎∴‎ 解得：或（舍）‎ 即 ‎（3）解：①‎ ‎②‎ ‎①②，得；‎ ‎；‎ ‎③‎ ‎④‎ 令③④，得⑤；其中是数列的公比；‎ ‎⑥‎ 令⑤⑥，得；‎ ‎，即；‎ 解得或；‎ 若，则，有，矛盾；‎ 满足条件，此时；；‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ 设为实数，已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设为实数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）若函数有两个相异的零点，求的取值范围．‎ 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，‎ ‎（2）分离参数，可得对任意的恒成立，构造函数 ‎，利用导数求出函数的最值即可求出的范围，‎ ‎（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围．‎ 解：（1）当时，因为，当时，；‎ 当时，．所以函数单调减区间为，单调增区间为．‎ ‎（2）由，得，由于，‎ 所以对任意的及任意的恒成立．‎ 由于，所以，所以对任意的恒成立．‎ 设，，则，‎ 所以函数在， 上单调递减，在 2，上单调递增，‎ 所以2，‎ 所以2．‎ ‎（3）由，得，其中．‎ ‎①若时，则，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；‎ ‎②若时，令，得．‎ 由第（2）小题知，当时， ，所以，所以，所以当时，函数的值域为．‎ 所以存在，使得，即　①，‎ 且当时，，所以函数在上单调递增，在，上单调递减．‎ 因为函数有两个零点，，‎ 所以　②．‎ 设，，则，所以函数在上单调递增．‎ 由于，所以当时，，所以②式中的．‎ 又由①式，得．‎ 由第（1）小题可知，当时，函数在上单调递减，所以，‎ 即，．‎ ‎ 由于，所以．‎ 因为，且函数在上单调递减，函数的图象在上不间断，‎ 所以函数在上恰有一个零点；‎ ‎ 由于，令，‎ 设，，‎ 由于时，，，所以设，即．‎ 由①式，得当时，，且，‎ 同理可得函数在，上也恰有一个零点．‎ 综上，，．‎ ‎2019年江苏省天一中学十二月份调研考试 ‎ 高三数学（Ⅱ）试题 2019.12‎ 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页包含填空题（第1~14题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.‎ ‎3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.‎ ‎4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.‎ ‎5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.‎ ‎21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵，的一个特征值，其对应的一个特征向量是 ‎（1）求矩阵；‎ ‎（2）设直线在矩阵对应的变换作用下得到了直线，求直线的方程．‎ 分析：（1）由即可求出，；‎ ‎（2）设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，根据，可得进而得到的方程；．‎ 解：（1），，‎ 解得 故；‎ ‎（2），，‎ 设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，‎ 则 ‎，，‎ 直线的方程为．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标．‎ 分析：化直线的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线的参数方程为普通方程，联立求解得答案．‎ 解：直线的直角坐标方程为．‎ 由方程，可得，‎ 又，．‎ 曲线的普通方程为．‎ 将直线的方程代入曲线方程中，得，解得，或（舍去）．‎ 直线与曲线的交点的直角坐标为．‎ 第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，分别是，的中点．‎ ‎（1）求异面直线，所成角的余弦值；‎ ‎（2）点在线段上，．若平面，求实数的值．‎ 分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线，所成角的余弦值；‎ ‎（2）点在线段上，．求出平面的法向量，利用平面，即可求实数的值．‎ 解：因为四棱柱为直四棱柱，‎ 所以平面．‎ 又平面，平面，‎ 所以，．‎ 在菱形中，则是等边三角形．‎ 因为是中点，所以．‎ 因为，所以．‎ 建立空间直角坐标系．则，0，，，1，，，2，，‎ ‎，0，，，0，，，，．‎ ‎（1），2，，，，，‎ 所以异面直线，所成角的余弦值为． ‎ ‎（2）设，，，由于点在线段上，且，‎ 则，，，2，．‎ 则，，，，，． ‎ 设平面的法向量为，，．‎ 因为，0，，，，，‎ 由，得，．‎ 取，则，‎ 则平面的一个法向量为，2，． ‎ 由于平面，则，即，解得． ‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第局得分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．‎ ‎（1）求在一局游戏中得3分的概率；‎ ‎（2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望．‎ 分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；‎ ‎（2）由题意知随机变量的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，‎ 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．‎ 解：（1）设在一局游戏中得3分为事件，‎ 则（A）；‎ ‎（2）由题意随机变量的可能取值为1，2，3，4；‎ 且在一局游戏中得2分的概率为；‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎