高考数学理科二轮复习第三篇方法应用篇专题35数形结合法讲解

高考数学理科二轮复习第三篇方法应用篇专题35数形结合法讲解

方法五 数形结合法 数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2017年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．‎ ‎【数形结合思想概述】‎ ‎1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．‎ ‎2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：‎ ‎（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．‎ ‎（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．‎ ‎（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．‎ ‎3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 ‎（1）集合的运算及Venn图；‎ ‎（2）函数及其图象；‎ ‎（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；‎ ‎（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；‎ ‎（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；‎ ‎（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．‎ ‎4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：‎ ‎（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；‎ ‎（2）用图象法讨 论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；‎ ‎（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．‎ ‎【数形结合思想解决的问题类型】‎ 一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；‎ 例1.【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上, 其中集合，则方程的解的个数是 .‎ ‎【答案】8‎ 因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等，‎ 只需考虑与每个周期 的部分的交点，‎ 例2【2016年高考北京理数】设函数.‎ ‎①若，则的最大值为______________；‎ ‎②若无最大值，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】‎ 如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，‎ ‎①当时，，因此的最大值是；‎ ‎②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：，．‎ 二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；‎ 例3.对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由定义可知，f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示．‎ 由图可知，当00，且x2＋x3＝2×＝1，∴x2x3<.令 解得x＝或x＝(舍去)．∴

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