2016中考数学圆切线的证明题题集冲刺

2016中考数学圆切线的证明题题集冲刺

‎ 2016年中考数学圆切线的证明题 C E D A F O B ‎1．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，‎ 连结DE、BE，且∠C=∠BED．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．‎ ‎2．（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．‎ 图8‎ A O D B C 3、 如图8.AB是⊙O的直径，∠A=30o,延长OB到D使BD=OB.‎ (1) 是否是等边三角形？说明理由.‎ (2) 求证：DC是⊙O的切线.‎ B A C D E G O F 第5题图 ‎4、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：BC与⊙O相切；‎ ‎（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．‎ ‎5．（10分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，，，‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.‎ ‎6.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=‎3cm，BC=‎4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.‎ ‎（1）求线段AD的长度；‎ O D C B A ‎（第7题图）‎ ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.‎ ‎7、如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．‎ ‎(1)求证：直线EF是⊙O的切线；‎ ‎(2)求sin∠E的值．‎ ‎8、 如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H ，已知AB=‎16厘米，．‎ ‎(1)　求⊙O的半径；‎ ‎(2)　如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．‎ A B O H C l ‎9．如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求DE的长．‎ ‎10、如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°，⊙O的半径是‎3cm.‎ ‎ (1)求点O到线段ND的距离. ‎ ‎ (2)过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由. ‎ ‎11． 如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，[来将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．‎ A F C G O D E B ‎（第13题）‎ ‎（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；‎ ‎（2）若，求CD的长．‎ A O C B D ‎（第21题）‎ ‎12．如图，内接于，点在半径的延长线上，．‎ ‎（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若的半径长为1，求由弧、线段和所围成的阴影部分面积（结果保留和根号）．‎ ‎13．(10分)已知，如图在矩形ABCD中，点0在对角线AC上，以 OA长为半径的圆0与AD、AC分别交于点E、F。∠ACB=∠DCE．‎ ‎(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； ‎ ‎(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．‎ ‎14． 已知：如图，以的边为直径的交边于点，且过点的切线平分边．‎ ‎（1）与是否相切？请说明理由；‎ ‎（第16题）‎ ‎（2）当满足什么条件时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．‎ ‎15.如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=，AD=12．‎ ‎⑴求证：△ANM≌△ENM；‎ ‎⑵求证：FB是⊙O的切线；‎ ‎⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．‎ ‎16.(10分) 如图9，已知，在△ABC中，∠ABC=，BC为⊙O的直径， AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.‎ ‎（1）求证：ED是⊙O的切线.‎ ‎（2）如果CF =1,CP =2，sinA =，求⊙O的直径BC.‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ ‎1、（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED ‎∴∠BAD=∠C 1分 ‎∵OC⊥AD于点F ‎∴∠BAD+∠AOC=90o 2分 ‎∴∠C+∠AOC=90o ‎ ‎∴∠OAC=90o ‎ ‎∴OA⊥AC ‎∴AC是⊙O的切线. 4分 ‎（2）∵OC⊥AD于点F，∴AF=AD=8 5分 在Rt△OAF中，OF==6 6分 ‎∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C ‎∴△OAF∽△OCA 7分 ‎∴‎ 即 OC= 8分 在Rt△OAC中，AC=． 10分 ‎2．证明：（证法一）连接． 1分 ‎∵是⊙O的直径，‎ ‎． 2分 ‎∵是的中点，‎ ‎． 4分 ‎． 6分 ‎∵． 8分 ‎．即． 10分 ‎ 是⊙O的切线． 12分 ‎（证法二）连接． 1分 ‎∵，‎ ‎． 2分 ‎． 4分 ‎∵OC=OE．‎ ‎∴∠2=∠4． ‎ ‎∴∠1=∠3． 6分 又，‎ ‎． 8分 ‎． 10分 是⊙O的切线． 12分 ‎3、（1）解法一：∵∠A＝，∴∠COB＝． ………………2分 ‎　　　　　　　 又OC＝OB，　‎ ‎∴△OCB是等边三角形． ………………4分 ‎　　　 解法二：∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB＝．‎ ‎　　　　　　　 又∵∠A＝，　∴∠ABC＝． ………………2分 ‎　　　　　　　 又OC＝OB，　∴△OCB是等边三角形． ………………4分 ‎（2）证明：由（1）知：BC＝OB，∠OCB＝∠OBC＝．‎ 又∵BD＝OB，∴BC＝BD． ………………6分 ‎∴∠BCD＝∠BDC＝∠OBC＝．‎ ‎∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝，‎ 故DC是⊙Ｏ的切线． ………………8分 B A C D E G O F ‎4、（1）证明：连接OE，------------------------------1分 ‎∵AB=AC且D是BC中点，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎∵AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAE=∠DAE．------------------------------3分 ‎∵OA=OE，‎ ‎∴∠OAE=∠OEA．‎ ‎∴∠OEA=∠DAE．‎ ‎∴OE∥AD．‎ ‎∴OE⊥BC．‎ ‎∴BC是⊙O的切线．---------------------------6分 ‎（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，‎ ‎∴∠B=∠C=30°．----------------------------7分 ‎∴∠EOB =60°．------------------------------8分 ‎∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分 ‎∴∠EFG =30°．------------------------------10分 ‎5、（1）证明：连结. ………………1分 ‎∵ ，，‎ ‎∴ . ………………2分 ‎∵ ,‎ ‎∴ . ………………3分 ‎∴ . …………………………………………………4分 ‎∴ 是的切线. ……………………………………………………………5分 ‎（2）解:∵∠A=30o， ∴ . ……………………………6分 ‎∴ . …………………………………………………7分 在Rt△OCD中, ∵ , ∴ . …………………………8分 ‎∴ . …………………………9分 ‎∴ 图中阴影部分的面积为. ………………………………………10分 ‎6、解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=‎3cm，BC=‎4cm，∠ACB=90°，∴AB=‎5cm． ……1分 连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°．‎ O D C B A E ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB． ‎ ‎∴，∴． …………………………4分 ‎（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切． ………………5分 证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线．‎ ‎∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．‎ ‎∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． …………………7分 ‎∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．‎ ‎∴ED与⊙O相切． …………………………9‎ ‎7、(1)证明：如图，连结，则 ．‎ ‎∴ ．‎ ‎ ∵ AC=BC, ∴ ．‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ ∵ ∥，∴ ．‎ ‎ ∵ 于F，∴ ．‎ ‎∴．∴ ．‎ ‎∴ EF是⊙O的切线． ------------------------------------------------------------3分 ‎( 2 ) 连结BG，∵BC是直径, ∴∠BGC=90=∠CFE．‎ ‎ ∴ BG∥EF．∴ ．‎ ‎ 设 ，则 ．‎ ‎ 在Rt△BGA中,．‎ 在Rt△BGC中, ．‎ ‎∴ ．解得 ．即 ．‎ 在Rt△BGC中, ．‎ ‎∴ sin∠E． --------------------------------------------- --------------------------------5分 ‎8、解：(1)　∵　直线l与半径OC垂直，∴　． ……2分 A B O H C ‎(第20题)‎ l ‎∵　，‎ ‎∴　OB=HB=×8= 10． ……2分 ‎(2)　在Rt△OBH中，‎ ‎． ……2分 ‎∴　．‎ 所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时，平移的距离是‎4cm． ……2分 ‎9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°． …………………………………………………… 1分 ‎∵四边形OBCD是菱形，‎ ‎∴OD//BC．‎ ‎∴∠1=∠ACB=90°．‎ ‎∵EF∥AC，‎ ‎∴∠2=∠1 =90°． …………… 2分 ‎∵OD是半径，‎ ‎∴EF是⊙O的切线． ………………………………………… 3分 ‎（2）解：连结OC，‎ ‎∵直径AB=4，‎ ‎∴半径OB=OC=2．‎ ‎∵四边形OBCD是菱形，‎ ‎∴OD=BC=OB=OC=2． ………………………………………… 4分 ‎∴∠B=60°．‎ ‎∵OD//BC，‎ ‎∴∠EOD=∠B= 60°．‎ 在Rt△EOD中，．…… 5分 ‎10. (1)解：(法一)：过点O作OG⊥ND于点G ‎∴∠OGD=90°‎ ‎∵四边形ABCD是矩形, ‎ ‎∴∠C =90°‎ 由翻折得 ‎∠N=∠C = 90°= ∠OGD …………1分 ‎∴OG∥BN ‎∵∠NBD=30°‎ ‎∴∠GOD=30° …………3分 在Rt△OGD中，cos30°= ,OD=3‎ ‎∴OG= …………5分 ‎(法二)：过点O作OG⊥ND于点G ‎ 则DG=NG …………1分 ‎ ∵OB=OD ‎ ∴OG是△BDN的中位线 ‎ ∴OG= BN ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形, ∠C=90°‎ ‎∴BD是⊙O直径 ‎∵OD=3‎ ‎∴BD=6 …………3分 在Rt△BND中，cos30°=‎ ‎ ∴BN=‎ ‎∴OG= …………5分 ‎(2)相切.证明：连接OA交BN与H.‎ ‎∵∠DBN=30°,‎ 由翻折得∠DBC=∠DBN=30°.‎ ‎∵∠ABC=90°, ‎ ‎∴∠ABO=60°. …………1分 ‎∵OA=OB,‎ ‎∴△ABO是等边三角形 . …………3分 ‎∴∠AOB=60°. ‎ ‎ ∴∠BHO=90°.‎ ‎ 又∵EF∥BN , ‎ ‎ ∴∠FAH=90°.‎ ‎∴ＯA⊥EF.‎ ‎∴EF与⊙O相切. …………5分 ‎ ‎11．解：（1）直线FC与⊙O相切．……1分 A F C G O D E B ‎（第20题）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ 理由如下：‎ 连接．‎ ‎∵， ∴……2分 由翻折得，，．‎ ‎∴． ∴OC∥AF．‎ ‎∴．‎ ‎∴直线FC与⊙O相切．……4分 ‎（2）在Rt△OCG中，，‎ ‎∴．……6分 在Rt△OCE中，．……8分 ‎∵直径AB垂直于弦CD，‎ ‎∴．……9分 A O C B D ‎（第12题）‎ ‎12．解：（1）直线与相切．‎ 理由如下：‎ 在中，．‎ 又，是正三角形，．‎ 又，，‎ ‎．‎ 又是半径，直线与相切．‎ ‎（2）由（1）得是，．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎13．解：(1)直线CE与⊙O相切．……………………………………………………………2分 ‎ 证明如下：‎ ‎ ∵四边形ABCD为矩形 ‎ ∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ‎ 又∵∠ACB=∠DCE ‎ ∴∠DAC=∠DCE ‎ 连接0E，则∠DAC=∠AEO=∠DCE…………………………………………4分 ‎ ∵∠DCE+∠DEC=90°‎ ‎ ∴∠AEO+∠DEC=90°‎ ‎ ∴∠DEC=90°‎ ‎ ∴CE与⊙O相切．………………………………………………………………6分 ‎(2)∵tan∠ACB=，BC=2‎ ‎ ∴AB=BCtan∠ACB=，AC=‎ ‎ 又∵∠ACB=∠DCE ‎ ∵tan∠DCE=‎ ‎ ∴DE=DCtan∠DCE=l……………………………………………………………8分 方法一：在Rt△CDE中 CE=‎ 连接OE，令⊙O的半径为，则在Rt△COE中，‎ 即 解得：…………………………………………………………10分 ‎14、（1）与相切 ‎　　理由：连结，，‎ ‎　　切于，为直径，‎ ‎　　，‎ ‎　　又平分，‎ ‎　　， 2分 ‎　　．又，；‎ ‎　　，即．‎ ‎　　与相切． 4分 ‎（2）当为等腰直角三角形时，四边形是平行四边形．‎ ‎　　是等腰直角三角形，‎ ‎　　． 6分 ‎　　于，为中点．‎ ‎　　，．‎ ‎　　四边形是平行四边形． 8分 ‎15、.⑴证明：∵BC是⊙O的直径 ‎∴∠BAC=90o 又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，‎ ‎∴AM=ME，∠AMN=EMN 又∵MN=MN，‎ ‎∴△ANM≌△ENM ‎⑵∵AB2=AF·AC ‎∴‎ 又∵∠BAC=∠FAB=90o ‎∴△ABF∽△ACB ‎∴∠ABF=∠C 又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ‎∴FB是⊙O的切线 ‎⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，‎ 又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，‎ ‎∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，‎ ‎∴AM=ME=EN=AN ∴四边形AMEN是菱形 ‎∵cos∠ABD=，∠ADB=90o ‎∴‎ 设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理 而AD=12，∴x=3‎ ‎∴BD=9，AB=15‎ ‎∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15‎ ‎∴DE=BE-BD=6‎ ‎∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE ‎∴△BND∽△BME，则 设ME=x，则ND=12-x，，解得x=‎ ‎∴S=ME·DE=×6=45‎ ‎16、解：⑴ 连接OD …………………………………………1分 ‎∵BC为直径 ∴△BDC为直角三角形。‎ 又∵∠OBD=∠ODB ‎ Rt△ADB中E为AB中点 ∴∠ABD=∠EDB …………………………2分 ‎∵∠OBD+∠ABD=90 ∴∠ODB+∠EDB=90‎ ‎∴ED是⊙O的切线。 …………………………………………5分 ‎ (2)∵PF⊥BC ‎ ‎ ∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF公用 ‎ ∴△PCF∽△DCP ………………………………………………………7分 ‎ ∴PC=CF·CD 又∵CF=1, CP=2， ∴CD=4 …………………………………………8分 可知 sin∠DBC = sinA =‎ ‎∴=即= 得直径BC= 5 ………………………………………10分