北京市2020届高三中学生标准学术能力诊断性测试（11月） 数学（文）

北京市2020届高三中学生标准学术能力诊断性测试（11月） 数学（文）

中学生标准学术能力诊断性测试2019年11月测试 文科数学试卷(一卷)‎ 本试卷共150分，考试时间120分钟。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.己知全集U＝R，集合A＝{x|≥0}，B＝{x|y＝lg(3x－1)}，则A∩(B)＝‎ A.(0，1] B.(0，] C.(，1] D.(－∞，]‎ ‎2.己知a∈R，复数z＝(i为虚数单位)，若z为纯虚数，则a＝‎ A. B. C.6 D.－6‎ ‎3.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40～50岁年龄段应抽取的人数是 A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是 A.y＝3－x B.y＝log0.5x C. D. ‎ ‎5.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A、B两点，若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝‎ A.4 B. C. D.‎ ‎6.己知，则 A. B. C. D.‎ ‎7.设变量x、y满足约束条件，且z＝kx＋y的最大值为12，则实数k的值为 A.－2 B.－3 C.2 D.3‎ ‎8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，v，若a＝1，c＝2，bsinA＝asin(－B)，则sinC＝‎ A. B. C. D.‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为l，则该三棱锥外接球的表面积为 A.27π B.28π C.29π D.30π ‎10.函数的大致图象是 ‎11.已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：y＝x与C交于A，B两点，AF，BF的中点分别为M，N，若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为 A.3－ B.2－1 C.＋2 D.＋1‎ ‎12.在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝600，M为△ABC的外心，若，λ，μ∈R，则4λ＋3μ＝‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.己知{an}为等比数列，若a3＝3，a5＝12，则“a7＝ 。‎ ‎14.若函数f(x)＝2cos(x＋2θ)＋cos2x(0<θ<)的图象过点M(0，1)，则f(x)的值域为 。‎ ‎15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：‎ ‎，‎ 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则 。‎ ‎16.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为 。‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题：60分。‎ ‎17.(12分)某学校为了解学生假期参与志愿服务活动的情况，随机调查了30名男生，30名女生，得到他们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表(单位：人)：‎ ‎(1)能否有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关？‎ ‎(2)以这60名学生参与志愿服务活动时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机抽查10名学生，试估计这10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数。‎ ‎18.(12分)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝5，S4－3a2＝7；数列{bn}为等比数列。且b1＝a2，b4＝S9。‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证≤Tn≤1。‎ ‎19.(12分)如图，已知四边形ABCD为梯形，AB//CD， ∠CBA＝900，四边形ACFE为矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，又AB＝BC＝CF＝a，CD＝2a。‎ ‎(1)求证：DE⊥BF；‎ ‎(2)求点E到平面BDF的距离。‎ ‎20.(12分)己知点M(2，)在椭圆E：上，A1，A2分别为E的左、右顶点，直线A1M与A2M的斜率之积为，F为椭圆的右焦点，直线l：x＝。‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)直线m过点F且与椭圆E交于B，C两点，直线BA2、CA2分别与直线l交于P，Q两点。试问：以PQ为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标。否则，请说明理由。‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R。‎ ‎(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点M(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)当a>1时，求证：函数g(x)＝f(x)＋a恰有两个零点。‎ ‎(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。‎ ‎22.[选修4－4：坐标系与参数方程选讲](10分)‎ 以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x轴的正半抽为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝6sinθ＋4cosθ，直线l的参数方程是，(t为参数)。‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于M、N两点，且|MN|＝4，求直线l的倾斜角α。‎ ‎23.[选修4－5：不等式选讲](10分)‎ 己知函数f(x)＝|3x＋1|－|3x＋2|的最大值为m，a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝m。‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求证：。‎