湖南省长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学(理)试题

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湖南省长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学(理)试题

绝密★启用前 长郡中学2020届高三适应性考试(四)‎ 数学(理科)试卷 本试题卷共8页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5、考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.要完成下列三项调查:①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品;②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测:③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为( )‎ A.①用简单随机抽样:②③均用系统抽样 B.①用抽签法;②③均用系统抽样 C.①用抽签法:②用分层抽样:③用系统抽样 D.①用随机数表法;②用系统抽样;③用分层抽样 ‎3.已知是虚数单位,复数,给出下列命题:;‎ 的虚部为;在复平面内对应的点位于第四象限;是纯虚数.其中是假命题的为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,对数学界做出了重大贡献,其中在1636年发现了:若是质数,且互质,那么的次方除以的余数恒等于1,后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数,其中一个作为,另一个作为,则所取两个数不符合费马小定理的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知某几何体的正视图和侧视图如图1所示,其俯视图水平放置的直观图如图2中粗线部分所示,其中 其中四边形为平行四边形,,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题,“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:已知三人分配奖金的衰分比为20%,若分得奖金1000元,则所分得奖金分别为800元、640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功,共获得单位奖励68780元,若甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金,且甲与丙共获得奖金36200元,则衰分比与丁所获得的奖金分别为( )‎ A.20%,14580元 B.10%,14580元 C.20%,10800元 D.10%,10800元 ‎7.在二项式的展开式中,所有项的系数之和记为,第项的系数记为,若,则的值为( )‎ A.2或-4 B.‎2 ‎C.2或-2 D.-4‎ ‎8.已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于,当时,函数取得最小值,将的图象向左平移个单位得到一个奇函数,则的最小正值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.设函数和,若两函数在区间上的单调性相同,则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知双曲线的离心率为,抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,其准线与双曲线交于点,点在轴上.若最大,则点的坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若,则的大小关系是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎12.如图,正方体的棱长为分别是棱,的中点,过点的平面分别与棱,交于点,设.‎ 给出以下四个命题:‎ ‎①平面与平面所成角的最大值为45°;‎ ‎②四边形的面积的最小值为;‎ ‎③四棱锥的体积为;‎ ‎④点到平面的距离的最大值为.‎ 其中命题正确的序号为( )‎ A.②③④ B.②③ C.①②④ D.③④‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知向量,,且与向量的夹角为90°,则向量在向量方向上的投影为________.‎ ‎14.设;,若是的必要不充分条件,则的取值范围为________.‎ ‎15.正整数数列满足,已知,的前6项和的最大值为,把的所有可能取值从小到大排成一个新数列,所有项和为,则________.‎ ‎16.母线长为,底面半径为的圆锥内有一球,与圆锥的侧面、底面都相切,现放入一些小球,小球与圆锥底面、侧面、球都相切,这样的小球最多可放入_______个.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知数列是各项均为正数的等比数列,,,数列满足,且与的等差中项是.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,的前项和为,求.‎ ‎18.以昆明、玉溪为中心的滇中地区,冬无严寒、夏无酷暑,世界上主要的鲜切花品种在这里都能实现周年规模化生产.某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰,经过保鲜加工后全部装箱(每箱500支,平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元),然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点,制定了如下促销策略:若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完,则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验,降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕,且当天不再购进该种玫瑰,由于库房限制每天最多加工6箱.‎ ‎(Ⅰ)若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰,在下午3点以前售出4箱,且被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡,则恰好一位是以2000元价格购买的顾客,另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少?‎ ‎(Ⅱ)该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量(单位:箱),统计结果如下表所示(视频率为概率):‎ ‎/箱 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 频数 ‎30‎ ‎①估计接下来的一个月(30天)内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少?‎ ‎②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大(不考虑其他成本),求的取值范围.‎ ‎19.如图1所示,在矩形中,,,为中点,将沿折起,使点到点处,且平面平面,如图2所示.‎ ‎(Ⅰ)求证::‎ ‎(Ⅱ)在棱上取点,使平面平面,求平面与所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为,,,是椭圆上任意三点,、关于原点对称且满足.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若斜率为的直线与圆:相切,与椭圆相交于不同的两点,求时,的取值范围.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若函数,试研究函数的极值情况;‎ ‎(Ⅱ)记函数在区间内的零点为,记,若在区间内有两个不等实根,证明:.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.‎ ‎22.选修4-4:坐标累与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将直线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的倍得到直线.‎ ‎(Ⅰ)求直线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值及此时点的坐标.‎ ‎23.选修4—5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若函数的最小值为,求证:,恒成立.‎ 长郡中学2020届高三适应性考试(四)‎ 理科数学参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D A A B A D C D B A 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13. 14. 15.62 16.10‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.解:(Ⅰ)数列的通项公式为;(Ⅱ).‎ ‎18.解:(Ⅰ);(Ⅱ)①21天:②的取值范围为.‎ ‎19.解:(Ⅰ)证明略;(Ⅱ)余弦值为.‎ ‎20.解(Ⅰ)椭圆的标准方程为;(Ⅱ)的取值范围为.‎ ‎21.解:(Ⅰ)当时,在处取极大值,在处取极小值;‎ 当时,不存在极值;‎ 当时,在处取极大值,‎ 在处取极小值.‎ ‎(Ⅱ)证明略.‎ ‎22.解:(Ⅰ)直线的普通方程为;‎ ‎(Ⅱ)点到直线的距离的最小值为,此时点的坐标为.‎ ‎23.解:(Ⅰ)不等式的解集为或:(Ⅱ)证明略.‎
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