2013山东淄博中考数学试题

2013山东淄博中考数学试题

2013 山东省淄博市初中学业考试 数学试题 （满分 120 分，考试时间 120 分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共 48 分） 一、选择题：本题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题 4 分， 错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分. 1.（2013 山东淄博，1，4 分）9 的算术平方根是（ ） A. 3 B.± 3 C.3 D.±3 【答案】C. 2.（2013 山东淄博，2，4 分）下列运算错误的是（ ） A. 2 2 )( )( ab ba   =1 B. ba ba   =-1 C. ba ba ba ba 32 105 3.02.0 5.0    D. ab ab ba ba    【答案】D. 3.（2013 山东淄博，3，4 分）把一根长 100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段 的 2 倍少 5cm,则锯出的木棍的长不可能为（ ） A. 70cm B. 65cm C.35cm D. 35cm 或 65cm 【答案】A. 4.（2013 山东淄博，4，4 分）下面关于正六棱柱的视图（主视图、左视图、俯视图）中， 画法错误的是（ ） （第 4 题） 【答案】 A. 5.（2013 山东淄博，5，4 分）如果分式 22 12   x x 的值为 0，则 x 的值是（ ） A.1 B.0 C.-1 D.±1 【答案】A. 6.（2013 山东淄博，6，4 分）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°，折叠菱形纸片 ABCD， 使点 C 落在 DP（P 为 AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE.则∠DEC 的大小 为（ ） （第 6 题） A. 78° B. 75° C. 60° D. 45° 【答案】B. 7.（2013 山东淄博，7，4 分）如图，Rt△OAB 的顶点 A（-2,4）在抛物线 y=ax2 上，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为（ ） A.（ 2 ， 2 ） B.（2,2） C.（ ，2） D.（2， ） （第 7 题） 【答案】C. 8.（2013 山东淄博，8，4 分）如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°， AB=a，BD=b,CD=c,BC=d,AD=e,则下列等式成立的是（ ） A.b2=ac B.b2= ce C.be=ac D.bd=ae （第 8 题） 【答案】A. 9.（2013 山东淄博，9，4 分）如图，矩形 AOBC 的面积为 4，反比例函数 y= x k 的图象的一 支经过矩形对角线的交点 P,则该反比例函数的解析式是（ ） A B CD P E O x y a b c d e A.y= x 4 B.y= x 2 C.y= x 1 D.y= x2 1 （第 9 题） 【答案】C. 10.（2013 山东淄博，10，4 分）如果 m 是任意实数，则点 P（m-4,m+1）一定不在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D. 11.（2013 山东淄博，11，4 分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同.如果三枚卵全 部成功孵化，则三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是（ ） A. 6 1 B. 8 3 C. 8 5 D. 3 2 【答案】B. 12.（2013 山东淄博，12，4 分）如图，△ABC 的周长为 26，点 D,E 都在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P.若 BC=10，则 PQ 的长为（ ） A. 2 3 B. 2 5 C.3 D.4 （第 12 题） 【答案】C. 第Ⅱ卷（非选择题 共 72 分） 二、填空题：本题共 5 小题，满分 20 分.只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分. 13.（2013 山东淄博，13，4 分）当实数 a＜0 时，6+a______6-a（填“＜”或“＞”）. 【答案】＜. y x A O B C P D E Q 14.（2013 山东淄博，14，4 分）请写出一个概率小于 2 1 的随机事件：___________________. 【答案】在一个不透明的袋子里，有三个大小和形状完全相同的球，其中有二个红球和一个 黄球，摸出黄球的概率是多少？ 15.（2013 山东淄博，15，4 分）在△ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A，B），过点 P 的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的 △ABC 的相似线.如图，∠A=36°，AB=AC,当点 P 在 AC 的垂直平分线上时，过点 P 的△ABC 的相似线最多有__________条. （第 15 题） 【答案】3. 16.（2013 山东淄博，16，4 分）如图，AB 是⊙O 的直径， ⌒AD = ⌒DE ，AB=5，BD=4，则 sin∠ECB=_______. （第 16 题） 【答案】 5 4 . 17.（2013 山东淄博，17，4 分）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任 意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第 2013 个格子中的整数是_______. -4 a b c 6 b -2 … 【答案】-2. 三、解答题：本大题共 7 小题，共 52 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤. 18.（2013 山东淄博，18，5 分）解方程组      .22 ,332 yx yx  A B C P D E 解：      ② ① 22 332 yx yx 方法 1（代入消元法）：由②得，x=-2-2y③；将③代入①得 2(-2-2y)-3y=3，整理得-7y=7，解 得 y=-1.将 y=-1 代入③得 x=-2-2×（-1），即 x=0，所以原方程组的解为      1 0 y x . 方法 2（加减消元法）：②×2 -①得，7y=-7，解得 y=-1.将 y=-1 代入②得 x+2×（-1）=-2，解 得 x=0，所以原方程组的解为 . 19.（2013 山东淄博，19，8 分）如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.求证：AB=AD. （第 19 题） 证明： ∵AD∥BC ， ∴∠DBC=∠ADB. 又 ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC. ∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD. 20.（2013 山东淄博，20，8 分）某中学积极开展跳绳活动，体育委员统计了全班同学 1 分 钟跳绳的次数，并列出了频数分布表： 次数 60≤x＜80 80≤x＜100 100≤x＜120 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x＜180 频数 5 6 14 9 4 （1）跳绳次数 x 在 120≤x<140 范围内的同学占全班同学的 20%，在答题卡中完成上表； （2）画出适当的统计图，表示上面的信息. 解：（1）全班总人数为 9÷20%=45（人），所以跳绳次数 x 在 140≤x<160 范围内的同学有 45-5-6-14-9-4=7（人），补充频数分布表如下： 次数 60≤x＜80 80≤x＜100 100≤x＜120 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x＜180 频数 5 6 14 9 7 4 （2）将全班同学 1 分钟跳绳的次数绘制成条形统计图如下： 全班同学 1 分钟跳绳的次数条形统计图 A B C D 21.（2013 山东淄博，21，8 分）关于 x 的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0 有实根. ⑴求 a 的最大整数值； ⑵当 a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求 2x2- 118 732 2   xx x 的值. 解：⑴∵关于 x 的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0 有实根，∴a-6≠0，△=（-8）2-4×（a-6） ×9≥0，解得 a≤ 9 70 且 a≠6. ∴a 的最大整数值为 7. ⑵①当 a=7 时，原一元二次方程变为 x2-8x+9=0.∵a=1,b=-8,c=9，∴△=（-8）2-4×1×9=28， ∴x= 2 28)8(  ，即 x=4±2 7 ，∴x1=4+2 7 ，x2=4-2 . ②∵x 是一元二次方程 x2-8x+9=0 的根，∴x2-8x=-9. ∴2x2- =2x2- 119 732  x =2x2-16x+ 2 7 =2（x2-8x）+ =2×（-9）+ =- 2 29 . 22.（2013 山东淄博，22，8 分）分别以□ABCD（∠CDA≠90°）的三边 AB,CD,DA 为斜边作 等腰直角三角形，△ABE,△CDG,△ADF. ⑴如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接 CF,EF.请判断 CF 与 EF 的关系（只写结论，不需证明）； ⑵如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接 CF,EF, ⑴中结论还成立 吗？若成立，给出证明：若不成立，说明理由. 图 1 图 2 A BC D G F E 60 80 100 120 140 160 180 次数 频数 解：（1）GF=EF.理由如下：∵ABCD 是平行四边形，∴CD=BA.∵△CDG 和△BAE 分别是 以 CD 和 BA 为斜边的等腰直角三角形，∴DG=AE= 2 2 CD= 2 2 AB.在△GDF 中， ∠GDF=∠GDC+∠FDE+∠CDA=90°+∠CDA. 在 △EAF 中， ∠EAF=360°-∠BAD-∠BAE-∠DAF==360°-（180°-∠CDA）-90°=90°+∠CDA.在△GDF 和 △EAF 中，       FADF EAFGDF AEDG ，∴△GDF≌△EAF，∴GF=EF. （2）成立，理由如下： ∵ABCD 是平行四边形，∴CD=BA.∵△CDG 和△ BAE 分别是以 CD 和 BA 为斜边的等腰直 角 三 角 形 ， ∴DG=AE= 2 2 CD= 2 2 AB. 在 △ GDF 中， ∠GDF=∠GDC+∠FDA-∠CDA=90°-∠CDA. 在 △ EAF 中， ∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF==180°-∠CDA --90°=90°-∠CDA.在△ GDF 和△ EAF 中， ，∴△GDF≌△EAF，∴GF=EF. 23.（2013 山东淄博，23，9 分）△ABC 是等边三角形，点 A 与 D 的坐标分别是 A（4,0） D(10,0). ⑴如图 1，当点 C 与点 O 重合时，求直线 BD 的解析式； ⑵如图 2，点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动，当以点 B 为圆心，AB 为半径的⊙B 与 y 轴相切（切 点为 C）时，求点 B 的坐标； ⑶如图 3，点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动，当点 C 的坐标为 C（0，-2 3 ）时，求∠ODB 的 正切值. 图 1 图 2 图 3 O A D C B x y P )(C 解：（1）过点 B 作 BE⊥OA，∵△OBA 为等边三角形，∴OE= 2 1 OA=2， BE=OB·sin60°=4× 2 3 =2 3 .又∵点 B 在第四象限，∴B 点的坐标为 2 , 2 3 .又 D 点的 坐标为 10,0 ，设直线 BD 的解析式为 y kx b，则有 10 0 2 2 3 kb kb     ，解得 3 4 53 2 k b     ，∴直线 BD 的解析式为 3 5 3 42yx. （2）∵以点 B 为圆心，AB 为半径的⊙B 与 y 轴相切（切点为 C）， ∴BC⊥y 轴，即 BC∥x 轴，∴∠DAB=∠ABC=60°.过点 A 作 AE⊥BC，过点 B 作 BF⊥x 轴，则四边形 OCEA 和四 边形 AEBF 是两个矩形.∴CE=OA=4.又∵△ACB 是等边三角形，AE⊥BC，∴BE=CE=AF=4， ∴OF=BC=AB=8.在 Rt△ABF 中，BF=AB·sin60°=8× 2 3 =4 3 .∵点 B 在第四象限，∴B 点 的坐标为  8 , 4 3 .又知 D 点 的坐标 为 ，设 直线 BD 的 解析式 为 ，则有 10 0 8 4 3 kb kb     ，解得 23 20 3 k b    ，所以直线 BD 的解析式为 2 3 20 3yx. （3）∵OA=4,OC= 23,∴AC= 72)32(4 2222  OCOA .连结 OB 交 AC 于 G， 作OE  AC于E,BF AC于 F.在Rt△BFA中，BF=AB·sin60°= 72 × 2 3 = 21 .在Rt△OAC y xO A BP D)(C E C F 中，OC·OA=AC·OE,∴OE= 7 214 72 432  AC OAOC .在 Rt△OCE 中，CE= 7 76)7 214()32( 2222  OEOC . EF=CF—CE= AC2 1 -CE= 6 7 77 77. ∵△OEG∽△BFG,∴ BF OE GF GE  ，即 BF OE GEEF GE  ，∴ 21 7 214 7 7   GE GE ，解得 GE= 77 74 .∴OG= 11 138)77 74()7 214( 2222  EGOE . 又 ∵△OEG∽△BFG,∴ BF OE GB OG  ，即 21 7 214 11 138 GB ， ∴GB= 11 1314 ，所以 OB=OG+GB= 11 138 + 11 1314 = 2 13 . 在 Rt△OBH 中，OB2-OH2=AB2-AH2，即 2222 )72()4()132( AHAH  ，解得 AH=1. 在 Rt△ ABH 中，BH= 331)72( 2222  AHAB . 在 Rt△ BDH 中，又∵HD=OD-OA-AH=10-4-1=5，∴tan∠ADB= 5 33AD BH . 24.（2013 山东淄博，24，9 分）矩形纸片 ABCD 中，AB=5,AD=4. ⑴如图 1，四边形 MNEF 是在矩形纸片 ABCD 中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中 裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由; O A D C B x y P E G F H ⑵请用矩形纸片 ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图 2 的矩形 ABCD 中画出裁 剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格 点上）. 图 1 图 2 解：⑴能.要在矩形纸片 ABCD 中裁剪出的一个正方形，则所裁剪的正方形的边长最大只能 等于原长方形的宽，即 4，所以最大面积是 16. ⑵由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知剪拼成的面积最大的正方形的 边长是 5254  .所以先将长方形的长边分为 4 和 1 两部分，然后将 4×4 的大正方形部 分剪成 4 个斜边为 52 的直角三角形，将 1×4 的长方形剪成 4 个边长为 1 的小正方形，具 体剪法如下图： A B CD M N E F