山东省潍坊市2020届高三下学期开学考试数学试题

山东省潍坊市2020届高三下学期开学考试数学试题

高三数学试题（一）‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，．若，则 (　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵ 集合，，‎ ‎ ∴是方程的解，即 ‎ ∴‎ ‎ ∴，故选C ‎2.“”是“直线与直线垂直”的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】若直线与直线相互垂直，‎ 则，即，‎ 解得或，‎ 则“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件建立方程关系求出的值是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在复平面内对应的点为，可得，然后根据复数模长的概念即可得解.‎ ‎【详解】∵在复平面内对应的点为，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于基础题.‎ ‎4.已知数列中，前项和为，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当 时， ‎ 两式作差可得： ，‎ 据此可得，当 时，的最大值为3 ‎ ‎5.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ‎（参考数据：lg3≈0.48）‎ A. 1033 B. 1053‎ C. 1073 D. 1093‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.‎ ‎6.函数是上的单调函数，则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，令导函数大于等于0在上恒成立即可．‎ ‎【详解】若函数是上的单调函数，只需 恒成立，即． 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．‎ ‎7.《几何原本》卷 2‎ ‎ 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．‎ ‎8.设且则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，去分母得，，所以 ‎，又因为 ‎，‎ ‎，所以，即，选 考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.关于函数，下列命题正确的是（ ）‎ A. 由可得是的整数倍 B. 的表达式可改写成 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举出反例，可判断A；通过诱导公式可判断B；根据正弦型函数的对称中心在曲线上可判断C；根据正弦型函数在对称轴处取得最值可判断D.‎ ‎【详解】函数，‎ 周期，‎ 对于A：当，时，满足，但是不满足是的整数倍，故A错误；‎ 对于B：由诱导公式，‎ ‎，故B正确；‎ 对于C：令，可得，故C错误；‎ 对于D：当时，可得， 的图象关于直线对称；‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用的信息特征，判断各选项的正误，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B. 甲的不同的选法种数为15‎ C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.‎ ‎【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；‎ 由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；‎ 由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；‎ 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；‎ 故选BD.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.‎ ‎11.三棱锥P−ABC的各顶点都在同一球面上，底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 是钝角三角形 B. 此球的表面积等于 C. 平面PAC D. 三棱锥A−PBC的体积为 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断A，找到外接球的球心求出半径即可判断B，根据线面垂直判定定理可判断C，根据椎体的体积计算公式可判断D.‎ ‎【详解】如图，‎ 在底面三角形ABC中，由，，，‎ 利用余弦定理可得：，‎ ‎∴，即，‎ 由于底面ABC，∴，，‎ ‎∵，∴平面PAC，故C正确；‎ ‎∴，‎ 由于，即为锐角，‎ ‎∴是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误；‎ 取D为AB中点，则D为的外心，可得三角形外接圆的半径为1，‎ 设三棱锥的外接球的球心为O，连接OP，则，‎ 即三棱锥的外接球的半径为，‎ ‎∴三棱锥球外接球的表面积等于，故B正确；‎ ‎，故D错误；‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等，属于中档题.‎ ‎12.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）‎ A. 抛物线的方程是 B. 抛物线的准线是 C. 的最小值是 D. 线段AB的最小值是6‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p，进而得到抛物线方程和准线方程；求得，设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值，可得圆Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求的最小值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，‎ 点到焦点的距离等于3，可得，解得，‎ 则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；‎ 由题知直线的斜率存在，，‎ 设，，直线的方程为，‎ 由，消去得，‎ 所以，，‎ 所以，所以AB的中点Q的坐标为，‎ ‎，故线段AB的最小值是4，即D错误；‎ 所以圆Q的半径为，‎ 在等腰中，，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值为，即C正确，‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知函数为奇函数，且当时，，则______．‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】‎ f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【详解】假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，‎ 则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；‎ 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，‎ 则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；‎ 假设申请了北京大学自主招生考试的同学是丙，‎ 则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意。‎ 故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙。‎ 故答案为：乙 ‎15.如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，且点D在圆C上，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量加法的概念以及可得四边形为菱形，且，再由向量数量积的定义即可得结果.‎ ‎【详解】∵，∴四边形为平行四边形，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形为一个内角为的菱形是解题的关键，属于基础题.‎ ‎16.双曲线的渐近线与直线围成的图形绕y轴旋转 ‎，则所得旋转体的体积为___；表面积为_____‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得双曲线的渐近线方程为，求出与的交点坐标，然后得到该旋转体为底面半径是，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为，高为1，母线长为2的圆锥，最后根据体积公式和表面积公式即可得结果.‎ ‎【详解】双曲线的渐近线，与直线的交点为和，‎ 该旋转体为底面半径是，高为2的圆柱，‎ 挖掉两个底面半径为，高为1，母线长为2的圆锥，‎ 所以所得旋转体的体积为，‎ 表面积为，‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了旋转体的结构特征与体积、表面积的计算问题，属于中档题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知函数（k为常数，且）．‎ ‎（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；‎ ‎①数列是首项为2，公比为2的等比数列；‎ ‎②数列是首项为4，公差为2的等差数列；‎ ‎③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）②，理由见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；‎ ‎（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.‎ ‎【详解】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，‎ 即，得，且，.‎ 常数且，为非零常数，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，所以当时，.‎ 因为，‎ 所以，所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.‎ ‎18.已知中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求a的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由正弦定理可得结论成立；‎ ‎（2）利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理即可解得的值.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ 可得，‎ 所以由正弦定理可得：.‎ ‎（2）∵，为三角形内角，‎ ‎∴，‎ 又，∴，∴，‎ 由余弦定理可得．‎ 整理得，解得（负值舍去）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题.‎ ‎19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.‎ 表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 ‎[95,100)‎ ‎[100,105)‎ ‎[105,110)‎ ‎[110,115)‎ ‎[115,120)‎ ‎[120,125]‎ 频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎1‎ 图1：乙套设备的样本的频率分布直方图 ‎（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（2）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；‎ ‎（3）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据表1和图1即可完成填表，再由将数据代入计算得即把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 ‎（2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足，代入即可求得结果 解析:（1）根据表1和图1得到列联表 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 ‎48‎ ‎43‎ ‎91‎ 不合格品 ‎2‎ ‎7‎ ‎9‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算得 ‎ ‎ ‎∵，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 ‎（2）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.‎ ‎（3）由题知， ∴.‎ ‎20.如图，在直三棱柱中，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，通过证明可证到线面平行．（2）可求得，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.由空间向量求得线面角．‎ 试题解析：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）是的中点，是正三角形，则，，，‎ 设，则，以轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，，， .‎ 设是平面的法向量，则，可取平面的法向量为，则 ‎ ，所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】空间向量在立体几何中的应用 ‎(1)两条异面直线所成角的求法：设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝ (其中φ为异面直线a，b所成的角)．‎ ‎(2)直线和平面所成的角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.‎ ‎(3)求二面角的大小：①如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝‎ ‎②如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．‎ ‎21.如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，、是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于、‎ 两点，交椭圆于另一点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；当直线的方程为时，的面积取最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）首先根据题中条件求出和的值，进而求出椭圆的方程；（2）先设直线的方程为，先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系（勾股定理）求出直线截圆所得的弦长 ‎，然后根据直线与两者所满足的垂直关系设直线，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出直线截椭圆的弦长，然后求出的面积的表达式，并利用基本不等式求出的面积的最大值，并求出此时直线的方程.‎ 试题解析：（1）由题意得，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）设、、，‎ 由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为，‎ 故点到直线的距离为，又圆，‎ ‎，‎ 又，直线的方程为，‎ 由，消去，整理得，‎ 故，代入的方程得 ‎，‎ 设的面积为，则 ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时上式取等号，‎ 当时，的面积取得最大值，‎ 此时直线的方程为 考点：1.椭圆方程；2.直线与圆、椭圆的位置关系；3.基本不等式 ‎22.已知，．‎ ‎（1）当时，求证：对于，恒成立；‎ ‎（2）若存在，使得当时，恒有成立，试求k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，利用导数判断出的单调性和单调区间，得出的最大值，证明即可；‎ ‎（2）由（1）易知时显然不满足，而时，时，，此时更不可能成立，当时，令，通过导数判断的单调性，证得成立即可.‎ ‎【详解】（1）证明：当时，‎ 令，，‎ 令，即，解得或（舍）．‎ 所以当时，，在上单调递减．‎ 所以，‎ 所以对于，即.‎ ‎（2）由（1）知，当时，恒成立，即对于，‎ 不存在满足条件的；‎ 当时，对于，，此时，‎ 所以，‎ 即恒成立，不存在满足条件的；‎ 当时，令，，‎ 令，‎ 又为一开口向下的抛物线，且时，，‎ 又，‎ 所以必存在，使得．‎ 所以时，，，单调递增；‎ 当时，，，单调递减．‎ 当时，，即恒成立，‎ 综上，k的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题.‎ ‎ ‎