华师版九年级数学上册全册精品教学课件

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华师版九年级数学上册教学课件 第21章 二次根式 21.1 二次根式 华师版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点) 3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点) 华师版九年级数学上册教学课件 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 .a 用　 (a≥0)表示.a 观察与思考 导入新课 华师版九年级数学上册教学课件 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 华师版九年级数学上册教学课件 S 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为__________.π S 华师版九年级数学上册教学课件 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 . b-3 25002 a 3b π s 表示一些正数的算术平方根． 你认为下列各代数式有哪些共同特点？ 3b  讲授新课 二次根式的定义及有意义的条件一 华师版九年级数学上册教学课件 a a 一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数. 二次根式的定义 理解要点：两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 知识归纳 请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！ 华师版九年级数学上册教学课件 例 下列各式是二次根式吗? m 1 xy a .  2 3 (1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - (5) ， (6) , (7) 5   (m≤0), (x,y 异号) 解析：（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属于 “非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0, （7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实 数范围内，负数没有平方根. 2a 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件   2 2  2 4   2 0      2 3 1 4 3 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 是 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 的非负数，因此有（ ） 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 二次根式的性质1及应用二 华师版九年级数学上册教学课件 一般地，有 归纳 由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2, ︱a︱, 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. a 华师版九年级数学上册教学课件 计算 21(1)( )2 22(2)( 5)3 解： 21 1(1)( )2 2  2 2 22 2 4 20(2)( 5) ( ) ( 5) 53 3 9 9      （2）用到了 （ab）2=a2b2这个 结论. 练一练 华师版九年级数学上册教学课件       2 2 2 2 2 2 2 3 9 3 7 = 0 55 0 3 = 9=3= 3 7 = 0 5 =5 , . .                 又如 ， 类似地，计算： 再计算： 7 5 0.5 0 7 5 0.5 二次根式的性质2及应用三 华师版九年级数学上册教学课件 一般地，有 a -a (a≥0) (a＜0) 归纳 2a a  华师版九年级数学上册教学课件 2.从取值范围来看,  2 a a≥0 a取任何实数 1.从运算顺序来看,  2 a 2a先开方,后平方 先平方,后开方 3.从运算结果来看: =a a (a≥0) 2a  2 a -a(a＜0) ==∣ a∣ 2 2( ) ? a a与 有区别吗 2a 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 化简 (1) 16 2(2) ( 5) 2(3) ( 7)  2(4) 7 解： 2(1) 16 4 4  2 2(2) ( 5) 5 5   2(3) ( 7) 7    2 1(4) 7 7   练一练 华师版九年级数学上册教学课件 解：由x-1≥0，得 x≥1 1. 当x取何值时, 二次根式有意义?1x  当x≥1时， 在实数范围内有意义.1x  试求当x=5时，二次根式 的值.1x  当x=5时， 1 5 1 4 2.x      思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 2x x为全体实数. 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.（1）若 , 则a-b+c=___ ； 0)4(32 2  cba 1 1 2   y x x x y(2)设 + +2015,试求 的值. 解： （1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. （2）由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015, 所以x+2y=1+2×2015=4031. 华师版九年级数学上册教学课件 （1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值 一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数. 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 二 次 根 式 定义 性质 a （a≥0） 0( 0)a a  （即 表示一个非负数）a    2 2 0 ; 0 a a a a a a    （ ） 华师版九年级数学上册教学课件 21.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算； (重点) 2.会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点) 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 什么叫二次根式？ 问题2 两个基本性质: =a a (a≥0) 2a  2 a -a (a＜0) ==∣ a∣ (a≥ 0) 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 a　 当a 是正数或0 时，　 是实数吗？取a 值分别为1，2，3， 4，5试一试！ 　　类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行 哪些运算？ 　　　　　 加、减、乘、除四则运算 华师版九年级数学上册教学课件 　 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？ 让我们从研究乘法开始． 　请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？ 　 特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！ 2 7 =  ？ 华师版九年级数学上册教学课件 计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律？ 41. × =____9 _____94  (a≥0,b≥0) 6 6 20 20 一般地,对于二次根式的乘法法则是: 讲授新课 二次根式的乘法法则及运算一 _____2516___,25162. ×× 华师版九年级数学上册教学课件 a、b必须都是非负数！ 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. (a≥0,b≥0) 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 计算 322 1)2(76)1(  解: 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 反过来： （a≥0，b≥0） （a≥0，b≥0） 一般地，有 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数． 积的算术平方根的性质及化简二 华师版九年级数学上册教学课件 化简: （1） （2）49 121 2 31 6 a b c 解： (1) 49 121 49 121 7 11 77      2 3 2 3 2 (2 ) 1 6 1 6 4 4 4     a b c a b c a b c c b c a c b c a c          练一练 华师版九年级数学上册教学课件 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因 数)的算术平方根的积； 化简二次根式的步骤： 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 (a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简. 2a a 华师版九年级数学上册教学课件 想一想？ 成立吗？为什么？ 非 负 数 华师版九年级数学上册教学课件 　2741251 )( 101562 )( 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 2 1223 222 330  华师版九年级数学上册教学课件 1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根. (a≥0,b≥0) 2.化简二次根式的步骤： 3）将平方项应用 化简. 1）将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2）应用 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 21.2 二次根式的乘除 第2课时 二次根式的除法 华师版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.掌握二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质； （重点） 2.会利用除法法则进行二次根式的运算.（难点） 华师版九年级数学上册教学课件 1.二次根式的两个基本性质: =a (a ≥ 0) =∣ a∣ a (a≥ 0) -a (a＜0)= 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 2.二次根式的乘法： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积. 华师版九年级数学上册教学课件 baba  3.二次根式乘法运算规律公式 （a≥0,b≥0) 如何化简二次根式 华师版九年级数学上册教学课件 16 16 2525 = =（2） 　　　　　　　　　 36 36 4949 = =（3） 　　　　　　　　　 _______； _______； _______； _______； _______； _______． 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？   41 = 9 4 =9 讲授新课 二次根式的除法法则及运算一 　　我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么， 两个二次根式能否进行除法运算呢？ 华师版九年级数学上册教学课件 归纳 一般地，二次根式的除法法则 （a≥0，b＞0） 两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开 方数. 思考：等式中 的a和b有没有 条件的限制？ 华师版九年级数学上册教学课件 解： 40 40(1) 8 2 2;55    4 1 4 1 4(2) 12 16 4.3 12 3 12 3        典例精析 例1 计算：    40 4 11 ; 2 3 125 . 华师版九年级数学上册教学课件 a a bb   0,0  ba b a b a   0,0  ba 商的算术平方根的性质及化简二 华师版九年级数学上册教学课件 b a b a   0,0  ba 注意:(1) 这里的被开方数是一个整式（可以是多项式，也 可以是单项式）. (2) 注意被开方数的取值范围. 1.与积的算术平方根的性质比较： baab   0,0  ba 共同点：一个根号变成两个根号. 区别：取值范围不同. 商的算术平方根: 2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题： 华师版九年级数学上册教学课件 （2） 1 2+1 (要求分母不带根号) （2） 1 2+1 = ( 2 1) 2 1 ( 2 1)( 2 1)      解： 提示：（1）要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分 母都乘什么，有时还要对分母进行化简；（2）有理化因式确定 方法.如 有理化因式是它本身， 的有理化因式是 . 这种方法有的地方称之 为分母有理化，即把分 母中的根号化去的过程. 华师版九年级数学上册教学课件 例2 化简 解： 华师版九年级数学上册教学课件 　观察上面各数并思考： （1）你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式 了吗？ （2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足 什么条件就可以说它是最简二次根式了？ 15 6 2 5 3 a a ， ， 最简二次根式的概念及判断三 华师版九年级数学上册教学课件 15 6 2 5 3 a a ， ， 可以发现这些式子有如下两个特点：　　 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 　　我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 简记为：分母 无根号，根号 无分母 华师版九年级数学上册教学课件 解： 2(1) 45 9 5 3 5 3 5     24 40 2 10 2 10(2) 4 9 9 39    解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次 根式，需要熟记1~100以内非二次根式的化简. 如 等.8, 12, 18, 99 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 1.化简: 4521215  2.把下列各式分母有理化：       12 23 202 452 124 351    a a 8 5 4 3 22 1)2(   a aa 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 3.最简二次根式的概念　　　　 　　被开方数不含分母； 　　被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4.如何化去分母中的根号，请举例说明． 可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去 分母中的根号． 5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？　 把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本 性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质． 华师版九年级数学上册教学课件 21.3 二次根式的加减 华师版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.探索二次根式加减运算的步骤和方法;（重点） 2.了解二次根式的混合运算可类比整式的混合运算及数的混 合运算;（重点） 3.准确熟练地进行二次根式的混合运算.（难点） 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 导入新课 回顾思考 华师版九年级数学上册教学课件 观察下列二次根式有什么共同特征： （1） …　　　　，　　，　　　 ， （2） … 　　　　　，　　 ，　　　 ， 每组的二次根式的被开方数相同 讲授新课 同类二次根式一 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 ，　　 ，　　　，　　　，　　　， （3） … 经过化简后，各 根式被开方数相 同，像这样的几 个二次根式被称 为同类二次根式. 下列根式又有什么共同特征？ 华师版九年级数学上册教学课件 (1)说出 的三个同类二次根式;52 (2)下列各式中哪些是同类二次根式? 33 22683 2327 1 50 1752 ,b ab,ab,,,,, 巩固概念： 45 80 - 20， ，答案不唯一，如 先化成 最简二 次根式， 再作判 断. 答： 12 50 与 是同类二次根式; 175 3 27 、 与 是同类二次根式; 32 83 2 aab b b 与6 是同类二次根式; 华师版九年级数学上册教学课件 问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方 式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木 板？ 7.5dm 5dm 18dm 8dm  8 18 dm 二次根式的加减法则及运用二 华师版九年级数学上册教学课件 188  2322  2)32(  25 （化成最简二次根式） （逆用分配律） 5.725188 52318   ∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板． 解：列式如下： 华师版九年级数学上册教学课件 思考:如何合并同类二次根式？ 合并同类二次根式的方法是： （1）化为最简二次根式 （2）系数相加减 （3）二次根式不变 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式的加减法则 类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？ 　　二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. 一化 二找 三合并 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 例 计算  1 48 12  2 16 36a a 提示 按照二次根式的加减法则进行，即先化简,后判定, 再合并. 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 解：  1 48 12 4 3 2 3   (4 2) 3 2 3    2 16 36 4 6a a a a   (4 6) 10a a   比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同）. 整式的加减的实质是合并同类项． 华师版九年级数学上册教学课件 8 3 6+ （ ） ；（1） （2） 4 2 3 6 2 2- （ ） ． 　　　计算： 　　思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目 标是什么？（2）呢？ 二次根式的混合运算方法三 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 　　与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除， 后加减； 　　对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式； 　　对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式． 华师版九年级数学上册教学课件 解：（1） 　　思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 　　第二步的依据是：二次根式乘法法则； 　　第三步的依据是：二次根式化简． 华师版九年级数学上册教学课件 解：（2） 　　思考：（2）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：多项式除以单项式法则； 　　第二步的依据是：二次根式除法法则． 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然 适用. 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2; （a+b）2=a2+2ab+b2; （a-b）2=a2-2ab+b2; 完全平方公式 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 18 98 27 （ 1） （ ） 1.计算 解： 2 7 2 3 3 10 2 3 3     原 式 =3 12 5 ) ( 6 )8   （ ） ( 24 0. 解： 1 12 6 2 2 62 4 13 6 24       原 式 解题反思：（1）有括号的先去括号再进行运算； （2）被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的. 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2. 计算： 2 ( 3 5 )（1） （2） ( 80 40 ) 5  （3） ( 5 3)( 5 2)  提示 把二次根式看成“项”，（1）、（2）、（3）分别 可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项 式”、“多项式×多项式”的运算. 华师版九年级数学上册教学课件 看看和你做的一样吗？ 2( 3 5) 2 3 2 5 6 10      （1） 解： （2）( 80 40) 5 80 5 40 5 4 2 2        （3） 2 ( 5 3)( 5 2) ( 5) 2 5 3 5 6 5 5 5 6 11 5 5            华师版九年级数学上册教学课件 3. 计算：      1 5 3 5 3  2 2( 5) ( 3) 5 3 2      用了公式 （a+b）（a-b） =a2-b2.     2 2 3 2 2 2( 3) 2 3 2 2 3 4 3 4 7 4 3           用了公式 （a+b）2 =a2+2ab+b2. 华师版九年级数学上册教学课件 1.同类二次根式的定义. 2.二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)把各个同类二次根式合并. 3.如何合并同类二次根式 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的 系数,根号及根号内部都不变. 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这 几个二次根式就叫做同类二次根式. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 谈一谈本节课自己的收获和感受？ （1） 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立； （2）计算结果最后一定要化成最简形式； （3）二次根式的混合运算与整式的运算非常类似，即运算性质 和运算律是一致的，体现了数式通性的特点； （4）计算时要做到准确熟练. 华师版九年级数学上册教学课件 复习和小结 第21章 二次根式 华师版九年级数学上册教学课件 加 、减、乘、除 二 次 根 式 三个概念 两个性质 两个公式 四种运算 最简二次根式 同类二次根式 有理化因式 b a b a  ( 0 0)a ,b ＞  0,0  babaab1. 2. 2. 1.    02  aaa  aa2  0a a   0aa 知识梳理 华师版九年级数学上册教学课件 1．二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式； 对于二次根式的理解： ①带有根号；②被开方数是非负数,即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没 有意义. 华师版九年级数学上册教学课件 2．二次根式的性质 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式．开得尽方 分母 华师版九年级数学上册教学课件 4．二次根式的运算 ＝______(a≥0，b≥0)； ＝____(a≥0，b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____________， 再将________________的二次根式进行合并．被开方数相同 最简二次根式 a b a b 华师版九年级数学上册教学课件 1. 当x _____ 时， 有意义.x3 3.求下列二次根式中字母的取值范围. 解得 - 5≤x＜3 解： ① ② 说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取 值范围常转化为不等式（组）. ≤3 a=4 考点分类 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围一 2. 有意义的条件是 .4 4a a   华师版九年级数学上册教学课件 1.已知： + =0,求 x-y 的值.yx24x 2.已知x,y为实数,且 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( 　 ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 1x 解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 D 二次根式的非负性的应用二 华师版九年级数学上册教学课件 方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： ≥0， ≥0，a2≥0.如 果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.即 由a≥0，b≥0，c≥0且a＋b＋c＝0，一定得到a＝b＝c＝0，这 是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一. a a 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式性质的应用三 华师版九年级数学上册教学课件 设 ＝a， ＝b，用含a，b的式子表示 ，则下列表 示正确的是( ) A．0.03ab B．3ab C．0.1ab3 D．0.1a3b 2 3 0 54. C 二次根式的化简四 华师版九年级数学上册教学课件 A 二次根式的运算五 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 1.确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 2.二次根式的非负性的应用 3.二次根式性质的应用 4.二次根式的化简 5.二次根式的运算 复习归纳 华师版九年级数学上册教学课件 C 0 课后演练 华师版九年级数学上册教学课件 2 2( 4) ( 1)x x   4.下列各式中，是最简二次根式的是（ ） 3 B A 8. B 70. C 99. 1D. x 华师版九年级数学上册教学课件 15 3a 100x  3 5 2 2a b 2 1a  144 2 2 1a a  a<0 -(a2+1)<0 (a-1)2≥0 华师版九年级数学上册教学课件 6.计算： 华师版九年级数学上册教学课件 若a为底,b为腰,此时底边上的高为 ∴三角形的面积为 (2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形 的面积. 设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0√ 解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 ∴三角形的面积为 a b（1）求 、 的值. 7. 华师版九年级数学上册教学课件 （2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C， A B PD C若点P为线段CD上动点. ，10已知△ABP的一边AB= ①则AD=____ BC=____12 （1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形 的三边为 ，10，5，5 8. 华师版九年级数学上册教学课件 ② 设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP,则AP=_________， BP=__________. ③ 当a=1 时，则PA+PB=______, 当a=3,则PA+PB=______. ④ PA+PB是否存在一个最小值？ 华师版九年级数学上册教学课件 第22章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解一元二次方程的概念；(重点) 2.了解一元二次方程的一般形式； (重点) 3.经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 一般形式：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际 问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? 1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答. 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构， 计划2016年无公害蔬菜的产量比2014年翻一翻，要实现这一 目标，2015年和2016年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是 多少？ 思考： 1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？ 方程 一元二次方程及其一般形式一 讲授新课 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2014年 的产量为a，那么2015年无公害蔬菜产量为 ， 2016年无公害蔬菜产量为 . a+ax=a(1+x) a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2 3.你能根据题意，列出方程吗？ a(1+x)2=2a 把以上方程整理得： .x2+2x-1=0 （1） 2014 2015 2016 华师版九年级数学上册教学课件 问题2 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的 三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把 矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛 的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 2 0 x 华师版九年级数学上册教学课件 1.若设小路的宽是xm，那么横 向小路的面积是______m2，纵 向小路的面积是 m2,两 者重叠的面积是 m2. 32x 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得： 思考： 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 2x2 x2-36x＋35=0 （2） 32 2 0 x 华师版九年级数学上册教学课件 想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570 32-2x 2 0 - 2 x 32 2 0 华师版九年级数学上册教学课件 请观察下面两个方程并回答问题： x2+2x-1=0 x2-36x+35=0 （1）它们是一元一次方程吗？ （2）与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 类比发现，探索新知 1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2 特点： 华师版九年级数学上册教学课件 想一想 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 （4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合 理的名字吗？ 华师版九年级数学上册教学课件 （1）列表填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 4x2=3x (x-1)2-9=0 x(x+2)=3(x+2) 4x2-3x=0 x2-2x-8=0 x2-x-6=0 4 -3 0 1 -2 -8 1 -1 -6 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 （2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由. x+2=5x-3 x2=4 2x2-4=(x+2)2 (3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？ 不是 是 是 不是 当2a-4≠0时，即a≠2时，该方程为一元二次方程. 华师版九年级数学上册教学课件 通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方 程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？ （1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常 数项时必须把方程化为一般形式才能进行. （2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面 的符号. （3）二次项系数a≠0. 议一议 华师版九年级数学上册教学课件 判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根. 一元二次方程的根二 华师版九年级数学上册教学课件 1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3) 2.构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2. 当堂练习 当x1=1时，x2-3x+2=1-3+2=0,因而是该方程的解； 当x2=2时，x2-3x+2=4-6+2=0,因而是该方程的解； 当x3=3时，x2-3x+2=9-6+2=5≠0，因而不是该方程的解. x2-2x=0 华师版九年级数学上册教学课件 3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值. 解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 华师版九年级数学上册教学课件 4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得 思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的一个根吗? 解：由题意得 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 拓广探索 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2 华师版九年级数学上册教学课件课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 22.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法和因式分解法 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 1.学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方 程；（重点） 2.了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解 题步骤. (重点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二 次方程的解的方法有哪些吗？ （a≠0） 2 0ax bx c   导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 解: 所以方程x2=9有两个根， x1=3, x2=-3. 直接开平方解方程一 讲授新课 例：解方程 x2=9. 华师版九年级数学上册教学课件 1 2x a , x a   华师版九年级数学上册教学课件 1.方程　　　　 的根是 方程　　　　的根是　　 方程 　　 的根是 2 0.25x  22 18x  2(2 1) 9x   x1=0.5, x2=－0.5 x1＝3， x2＝－3 x1＝2， x2＝－1 练一练 x1＝3， x2＝－3 x1＝0， x2＝3 华师版九年级数学上册教学课件 因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式. 在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二 次方程的解. 用因式分解法解一元二次方程二 问题 什么是因式分解？ 问题引导 华师版九年级数学上册教学课件 例 解下列方程： （1）x2－3x＝0; (2) 25x2=16 解：（1）将原方程的左边分解因式， 得 x（x-3）＝0; 则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3. (2)将方程右边常数项移到左边，再根据平方差 公式因式分解，得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 ●若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； ●将方程的左边分解因式； ●根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为 解两个一元一次方程. 因式分解法的基本步骤是： 华师版九年级数学上册教学课件 这样解是否正确呢？ 交流讨论： 解：方程的两边同时除以x， 得x=1. 故原方程的解为x=1. 不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为x=0. 华师版九年级数学上册教学课件 1.填空： （1）方程x2+x=0的根是 _________________； （2）x2－25=0的根是________________. x1=0, x2= -1 x1=5, x2= -5 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 2. 解方程：x2-5x+6=0 解: 把方程左边分解因式，得 （x-2）（x-3）=0 因此x-2 =0或x-3=0. ∴x1=2，x2=3 华师版九年级数学上册教学课件 1.用因式分解法解下列方程： (1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6; (3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 解 :(1)移项得4x2-12x=0,即x2-3x=0, x(x-3)=0,得x1=0,x2=3; (2)原方程可以变形为2x2-7x=0, 分解因式为x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5; (3)原方程可以变形为（x+3)2=0,解得x=-3; (4)移项得9x2-(x-1)2=0,变形得（3x-x+1)(3x+x-1)=0, 解得x1=-0.5,x2=0.25. 华师版九年级数学上册教学课件 解方程：（x+4）（x-1）=6. 解 : 把原方程化为一般形式，得 x2+3x-10=0 把方程左边分解因式，得 （x-2）（x+5）=0 因此x-2 =0或x+5=0. ∴x1=2，x2=-5 华师版九年级数学上册教学课件 解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2. 解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0. 将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0, ∴x=0 ,或3x－17=0 解得 x1=0, x2= 华师版九年级数学上册教学课件 (2) (3x－4)2=(4x－3)2. (2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0, 即 (7x－7) (-x－1)=0. ∴7x－7=0,或 -x－1=0. ∴x1=1, x2=-1 华师版九年级数学上册教学课件 注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一 次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方 程. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 22.2 一元二次方程的解法 第2课时 配方法 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握用配方法解一元二次方程；（重点） 2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择解法. (难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 读诗词解题： (通过列方程，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物. 而立之年督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿符. 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2-11x+30=0 x2=10(x-3)+x 导入新课 思考 华师版九年级数学上册教学课件 这种方程 怎样解？ 变 形 为  2 a  的形式．（a为非负常数） 变形为x2－4x＋1＝0 （x－2）2=3 用配方法解一元二次方程 讲授新课 华师版九年级数学上册教学课件 像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法. (1)x2＋8x＋ =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ =(x－ )2 (3)x2－___x＋ 9 =(x－ )2 16 6 3 4 2 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 用配方法解一元二次方程的步骤: 移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解. 华师版九年级数学上册教学课件 (2) －x2＋4x－3=0 (1) x2＋12x =－9 1.用配方法解下列方程： 当堂练习 解：(1) 两边同时加上36，得x2＋12x+36 =－9+36， 配方得（x+6）2=27，解得 （2）原方程可变形为x2-4x+3=0,配方得（x-1）（x-3)=0, x1=1,x2=3. 1 26 3 3 6 3 3x , x .      华师版九年级数学上册教学课件 2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必 定大于零. 解： k2－3k＋5=(k- )2+ ， ∵ (k- )2≥0， ∴ k2－3k＋5＞0. 3 2 11 4 3 2 华师版九年级数学上册教学课件 3.先用配方法解下列方程： （1） x2－2x－1＝0； （2） x2－2x＋4＝0； （3） x2－2x＋1＝0； 然后回答下列问题： （4）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到 的问题的？ （5）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才 有实数根？ 华师版九年级数学上册教学课件 解：(1) 左右两边同时加2，得x2-2x+1=2, 配方得（x-1）2=2，解得 （2）左右两边同时减去3，得x2-2x+1=-3, 配方得(x-1)2=-3,很明显此方程无解； （3）原方程配方得(x-1)2=0,解得x=1; （4）略； （5） 1 21 2 1 2;x , x    2 2 2 2 2 2 02 4 02 4 4 0 p px px q x q , p px q , p q .                        华师版九年级数学上册教学课件 2.像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式 后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法. 课堂小结 1 2x a , x a   华师版九年级数学上册教学课件 用配方法解一元二次方程的步骤: 移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解. 华师版九年级数学上册教学课件 22.2 一元二次方程的解法 第3课时 公式法 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 1.学会用公式法解一元二次方程；（重点） 2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法； (难点) 3.体会解决问题方法的多样性.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.化1: 把二次项系数化为1; 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形: 化成（x+m）2=a(a≥0); 5.开平方，求解. “配方法”解方程的基本步骤： 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 解：两边同时除以2，得x2+6x-1=0, 两边同时加上10，得x2+6x+9=10， 配方得(x+3)2=10, 解得 用配方法解下面这个一元二次方程： 22 12 2 0x x   你还会其他的解法吗？ 1 210 3 10 3x , x .     华师版九年级数学上册教学课件 一起用配方法解下面这个一元二次 方程吧 22 12 2 0x x   并模仿解一般形式的一元二次方程 2 0ax bx c   讲授新课 一元二次方程的求根公式一 华师版九年级数学上册教学课件 22 12 2 0x x   2 0( 0)ax bx c a    2 6 1 0x x   2 0b cx xa a    2 6 1x x  2 b cx xa a    2 6 9 1 9x x    2( )2 b a 2 2 2( ) ( )2 2 b b c bx xa a a a     2( 3) 10x   2 2 2 4( )2 4 b b acx a a   3 10x    2 2 4 2 4 b b acx a a    2 4 0b ac  10 3x    两边同 除以a 移项 两边同时 加上 整理 开方 解得 步骤 华师版九年级数学上册教学课件 一般地，对于一元二次方程 如果 ，那么方程的两个根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 探索发现 x1= x2= 1.从两根的代数式结构上看有什么特点？ 2.根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？ 华师版九年级数学上册教学课件 用公式法解下列一元二次方程： 2(1)2 7 4 0x x   解：（1） 用公式法解一元二次方程二 华师版九年级数学上册教学课件   22 3 2 3x x  用公式法解下列一元二次方程： 解：将原方程化为一般形式，得 华师版九年级数学上册教学课件 运用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值； （2）求出 的值； 2 4b ac （3）若 ， 把a、b、c及 的值代入一 元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此 时方程无实数解. 2 4b ac 华师版九年级数学上册教学课件 1.用公式法解下列一元二次方程： 解:（1）原方程即为 ， 22 1 03 3x x   练一练 华师版九年级数学上册教学课件 解方程： （精确到0.001）.2 1 0x x   解： 用计算器求得： 华师版九年级数学上册教学课件 2.用公式法解一元二次方程： 21( 1) ( 2 )2x x x   解 :去括号，得 ， 化简，得 ， 即 华师版九年级数学上册教学课件 1.用公式法解方程 ，得到（ ） 24 12 3 0x x   A 3 6 2x   3 6 2x  3 2 3 2x   3 2 3 2x  A. C. D. B. 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.用公式法解下列方程：   21 3 4 1 0;  x x   22 3 1 2 3 . y y 解： 华师版九年级数学上册教学课件 3.选择恰当的方法解下列方程： (2 7) 2 x x x 解：当x=0时，原方程成立； 当x≠0时，两边同时除以x，得 2x-7=2,解得x=4.5. 综上原方程的解为x1=0,x2=4.5; 华师版九年级数学上册教学课件 4.关于x的一元二次方程 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互 为相反数？ 2 0( 0)ax bx c a    ， 解：由题意可设该二元一次方程的两根分别为k，-k, 由求根公式得 2 24 4 2 2 b b ac b b ack , k .a a         华师版九年级数学上册教学课件 一般地，对于一元二次方程 如果 ，那么方程的两个根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 运用公式法解一元二次方程的解步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值； （2）求出的 值； 2 4b ac （3）若 ，把a、b、c及 的值代 入一元二次方程的求根公式，求出方程的根； 若 ，此时方程无实数解. 2 4 0b ac  2 4b ac 2 4 0b ac  华师版九年级数学上册教学课件 22.2 一元二次方程的解法 第5课时 一元二次方程的根与系数的关系 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 1.了解一元二次方程根与系数的关系；（重点） 2.会应用一元二次方程根与系数的关系. (难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 导入新课 知识回顾 华师版九年级数学上册教学课件 方程 x1 x2 x1+ x2 x1·x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0 问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，x1 • x2与对 应的一元二次方程的系数有什么关系？ 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 讲授新课 一元二次方程的根与系数的关系一 华师版九年级数学上册教学课件 方 程 x1 x2 xx 21  xx 21. 3 1 3 1 3 2 9 1 3 72  3 4 3 1 3 1 -2 3 7 3 2 x1+ x2，x1·x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系? 3 72  猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2. 9x2-6x+1=0 3x2-4x-1=0 3x2+7x+2=0 华师版九年级数学上册教学课件 042  acb 华师版九年级数学上册教学课件 2 24 4 2 2 b b ac b b ac a a        2 0( 0)ax bx c a    中 2 24 4 2 b b ac b b ac a       2 2 b a  b a   1 2x x  2 2 1 2 4 4,2 2 b b ac b b acx xa a        解： 华师版九年级数学上册教学课件 1 2x x 2 24 4 2 2 b b ac b b ac a a        2 2 2 2 ( ) ( 4 ) 4 b b ac a    2 2 2 ( 4 ) 4 b b ac a   2 4 4 ac a  c a  华师版九年级数学上册教学课件 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1 + x2= , x1 ·x2= - （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条 件为b2-4ac≥0 华师版九年级数学上册教学课件 一、直接运用根与系数的关系 例1.不解方程，求下列方程两根的和与积. 2 2 2 415)3( 0973)2( 0156)1( xx xx xx    利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题二   1 2 1 21 6 15;x x , x x    解:   1 2 1 2 72 3;3x x , x x        1 2 1 2 5 13 4 4x x , x x .    华师版九年级数学上册教学课件 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写. 华师版九年级数学上册教学课件 二、求关于两根的代数式的值 2 2 2 1)1( xx  21 11)2( xx  例2.设 是方程 的两个根，利用根与系 数的关系，求下列各式的值. 21 , xx 0342 2  xx )1)(1)(3( 21  xx 2 212 2 1)4( xxxx  2 1 1 2)5( x x x x  2 21 ))(6( xx  华师版九年级数学上册教学课件 1 2 1 2 32 2x x , x x                     2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 32 2 2 7;2 1 1 2 4;3 3 2 3 51 1 1 2 1 ;2 2 3 2 3;2 7 14;3 3 2 2 7 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                         10. 解:由题意知 华师版九年级数学上册教学课件 三、构造新方程 例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二 次项系数为1. 解:（x-2)（x-3）=0, x2-5x+6=0.(答案不唯一） 华师版九年级数学上册教学课件 例4.方程 的两根的和为6，一根为2，求p、 q的值. 02  qpxx 四、求方程中的待定系数 解:若方程的另一个根为x1,由题意得 2+x1=-p=6,2x1=q, 即x1=4,p=-6,q=8. 华师版九年级数学上册教学课件 1.方程 有一个正根，一个负 根，求m的取值范围. 解:由已知得 Δ= 即 m>0 m-1<0 ∴00,所以方程有两个不相等的实数根. 华师版九年级数学上册教学课件 关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根 x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是(　　) A.1　 B.-1　 C.1或-1　 D.2 【解析】选B.由题意得 x1+x2= , x1x2= ,因为x1- x1x2+x2=1-a,所以 解得a1=1,a2=-1. 当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以 a=-1. 3 1a a  2 2a a  3 1 2 2 11 1a a aa, a,a a a       即 华师版九年级数学上册教学课件 某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设 计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直 径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲 运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t≥0),乙以4cm/s 的速度匀速运动,半圆的长度为21cm. 1 2 3 2 一元二次方程的应用四 华师版九年级数学上册教学课件 (1)甲运动4s后的路程是多少? (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间? (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间? 【自主解答】(1)当t=4时, l= ×42+ ×4=14(cm). 答:甲运动4s后的路程是14cm. (2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得: +4m=21, 解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去). 答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s. 21 3( m m)2 2  1 2 3 2 华师版九年级数学上册教学课件 (3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: +4n=21×3, 解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去). 答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s. 21 3( n n)2 2  华师版九年级数学上册教学课件 【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系. 2.设——直接设未知数或间接设未知数. 3.列——根据等量关系列出一元二次方程. 4.解——解方程,得出未知数的值. 5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合 实际情况. 6.答——完整地写出答案,注意单位. 华师版九年级数学上册教学课件 为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清 洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积 为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天 的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿 化工作. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2? (2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比 宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米? 华师版九年级数学上册教学课件 【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作 量后每天完成1.2xm2,根据题意,得 ,解得x=22. 经检验,x=22是原方程的根. 答:该项绿化工作原计划每天完成22m2. (2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m, 根据题意,得y(2y-3)=170, 解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去). 2y-3=17. 答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m. 150 498 150 201 2x . x   华师版九年级数学上册教学课件 实际问题 设未知数， 列方程 数学问题  2 0 0ax bx c a    解 方 程 降 次 数学问题的解  2 24 4 02 b b acx b aca     ≥ 检 验实际问题的答案 复习归纳 华师版九年级数学上册教学课件 (1)直接开平方法 x2=b(b 0) (2)因式分解法 1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式 (3) 配方法 (4)公式法 当二次项系数为1的时 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方 当b2-4ac＜0时，方程没有实数根 一 元 二 次 方 程 的 解 法 适应于任何 一个一元二 次方程 适应于任何 一个一元二 次方程 适应于左边能分解 为两个一次式的积， 右边是0的方程 当 时042  acb a acbbx 2 42  适应于没有一次项的 一元二次方程 华师版九年级数学上册教学课件 23.1 成比例线段 第23章 图形的相似 第1课时 成比例线段 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握相似图形的概念；（重点） 2.了解成比例线段，比例的基本性质； (重点) 3.能根据比例的基本性质解决相关问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？ 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 问题2 多啦A梦的2寸照片和4寸照片，他的形状改变了 吗？大小呢？ 华师版九年级数学上册教学课件 下面图形有什么相同和不同的地方？ 讲授新课 相似图形的概念一 问题引导 华师版九年级数学上册教学课件 相同点：形状相同． 不同点：大小不相同. 相似图形的概念： 形状相同的图形叫做相似图形. 注意：相似图形的大小不一定相同. 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 BA AB  CB BC  BA AB  CB BC  由下面的格点图可知， ＝_________， ＝________，这样 与 之间的关系是什么？ 线段的比及比例线段二 探究归纳 2 2 华师版九年级数学上册教学课件 像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的 长度的比等于另外两条线段的比， 如 （或a∶ b＝ c∶ d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线 段．此时也称这四条线段成比例． d c b a  两条线段的比就是它们长度的比； 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 用a、b、c、d ，表示四个数，上述四个数成比例可写成怎 样的形式？ 或 a：b=c：d， 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项， d 叫做 a、b、c的第四比例项. 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b:c， 则b叫做a,c的比例中项. 华师版九年级数学上册教学课件 2 3 b a b ba  ba a ，那么 、 各等于多少？2．已知 c b b a 1．已知：　线段a、b、c满足关系式 且b＝4，那么ac＝______． ， 练一练 16 华师版九年级数学上册教学课件 例：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段.　 （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 解： （1）　∵　 ∴　线段a、b、c、d不是成比例线段． ， ∴　 ， 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 5 152 35（2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ ． （2）　∵　 ∴　 ∴　线段a、b、c、d是成比例线段． 华师版九年级数学上册教学课件 ● 注意: ● 1.若a:b=k , 说明a是b的k倍； ● 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比 时两 条线段的长度单位必须一致； ● 3.两条线段的比值是一个没有单位的正数； ● 4.除了a=b外,a:b≠b:a, 互为倒数.a b b a 与 华师版九年级数学上册教学课件 如果 ，那么ad＝bc．如果ad＝bc （a、b、c、d都 不等于0），那么 . 对于成比例线段，我们有下面的结论： ． 你还可以得到其他 的等比例式吗？ 比例的基本性质三 华师版九年级数学上册教学课件 d c b a  d dc b ba 例： 证明：（1）如果 ，那么 ； 证明:（1）∵ 在等式两边同加上1，　 ∴　 ∴ 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 ∴　ad＝bc， ∴　 － ad＝ － bc， 在等式两边同加上ac， ∴　ac－ad＝ac－bc， ∴　a（c－d）＝（a－b）c， 两边同除以（a－b）（c－d）， 　 d c b a  a c a b c d  （2）　如果 ，那么 证明：　∵ ．∴ （其中a≠b，c≠d). 华师版九年级数学上册教学课件 合比性质： d dc b ba d c b a  dc dc ba ba    等比性质： （b+d+···+m≠0） b a mdb nca m n d c b a   ... ...... 拓展归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1.下列各组数中一定成比例的是( ) A.2，3，4，5 B.-1，2，-2，4 C.-2, 1, 2，0 D.a，2b，c，2d 2.已知一个比例式的比例外项为m，n，比例内项为p，q， 则下面所给的比例式正确的是( ) A. m：n=p：q B.m：p=n：q C.m：q=n：p D.m：p=q：n B D 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 3 4 x x y .y x y   3.已 知 ， 求 的 值 华师版九年级数学上册教学课件课堂小结 1.比例的基本性质： 2.常用方法：设元法，即设一份为k; 3. 把b叫做a,c的比例中项; 4.若线段a,b,c,d满足 ，则a,b,c,d叫做成比例线段， 简称比例线段. ;a c ad bcb d     : = :a b a b b c ,b c  或 a c b d  华师版九年级数学上册教学课件 5. 比例线段的等价变形：          a c b d d b c a c d a b  d c b a  a ：b=c：d c b b a  acb  2 d c b a  华师版九年级数学上册教学课件 23.1 成比例线段 第23章 图形的相似 第2课时 平行线分线段成比例 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握“平行线分线段成比例”的基本事实；（重点） 2.掌握平行于三角形一边的直线的性质； (重点) 3.能根据以上掌握的内容解决相关问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 什么是成比例线段？ 问题2 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两 部分的比是2:3？ 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线 m,n于 （1）计算 你有什么发现？1 2 1 2 2 3 2 3 ,A A B B A A B B .,,,, 321,321 BBBAAA 讲授新课 平行线分线段成比例一 1 2 1 2 2 3 2 3 A A B B A A B B  华师版九年级数学上册教学课件 （2）　将直线ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ 与直线ｂ的交点分别为 .你在问题（１）中发现的结 论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？ (图2） 22 , BA 成立，直线b平移到其他位置依然成立. 华师版九年级数学上册教学课件 （３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线， 截得的线段成比例吗？ 归纳： 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所 截，所得的对应线段成比例. 若a ∥b∥ c ，则 符号语言： 成比例 华师版九年级数学上册教学课件 1.如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 议一议 华师版九年级数学上册教学课件 如图3，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1， B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2， C3.如图4 ，图4中有哪些成比例线段？ （图3） (图4） m n m n A1 A2 A3 B1 B2 B3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 a b c a b c 平行于三角形一边的直线的性质二 华师版九年级数学上册教学课件 推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长 线），所得的对应线段成比例. 华师版九年级数学上册教学课件 如图，在△ABC中， EF∥BC. （1）如果E、F分别是AB和AC上的点， AE = BE=7, FC = 4 ， 那么 AF的长是多少？ （2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？ A B C E F 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？ 当堂练习 DE=EF, MN=ON 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC. （1）如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC的长是 多少？ （2）如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm ，那么EC的长是多少？ A B C D E     3 2 2 41 1 2 0 9 32 5 4 2 4 4 2 4 1 6 AD AE . .DE BC ,BD EC . EC EC . . AD AE AEDE BC ,AB AC AE . ,EC AC AE . . .                    解: ∥ ， ∥ ， 华师版九年级数学上册教学课件 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2.平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得 的对应线段成比例. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 23.2 相似图形 第23章 图形的相似 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解相似多边形的定义，并能根据定义判断两个多边形是 否相似；（重点） 2.掌握相似比的概念并会求相似比； (重点) 3.理解并且掌握相似多边形的性质与判定.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 请观察下面几组图片,是我们前面学过的相似图形吗？ 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 下图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应 边之间有什么关系呢？对应角之间又有什么关系？ 讲授新课 相似多边形的性质一 华师版九年级数学上册教学课件 再看看下图中两个相似的五边形，是否与你观察前面 的图所得到的结果一样？ 华师版九年级数学上册教学课件 由此可以得到两个相似多边形的性质：　 实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果 _________________________，那么这两个多边形相似． 对应边成比例，对应角相等． 对应边成比例，对应角相等 华师版九年级数学上册教学课件 在图所示的相似四边形中，求未知边x的长度和角度α的大小． 图 24.2.5 思考 两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个 等边三角形呢？ 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 A B C A1 B1 C1 缩小 下面两个等边三角形对应角有什么关系？对应边有什么关 系？两个等边三角形又有什么关系？ ∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1 AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 AB = BC = AC ，A1B1 = B1C1 = A1C1 60° 60° 对应角相等 对应边成比例 根据定义判定相似多边形二 两三角 形相似 华师版九年级数学上册教学课件 放大120° 120° ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1 对应角相等 A B C A1 B1 C1 F E D F1 E1 D1 ∠D =∠D1，∠E =∠E1，∠F =∠F1 正六边形 华师版九年级数学上册教学课件 正六边形 放大 A B C A1 B1 C1 F E D F1 E1 D1 AB = BC = CD = DE = EF = FA ， A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1 对应边成比例 AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 =DE : D1E1 =EF : E1F1 =FA : F1A1 华师版九年级数学上册教学课件 相似比:相似多边形对应边的比（相似比大于零）. 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由． 当堂练习 不相似，因为这两个多边形对应角相等，但对应边不成比例. 华师版九年级数学上册教学课件 2．如图，正方形的边长a＝10，菱形的边长b＝5，它们相 似吗？请说明理由． 不相似，因为这两个四边形对应边成比例，但对应角不相等. 华师版九年级数学上册教学课件 3．如图所示的两个矩形是否相似？ 不相似，因为这两个多边形对应角相等，但对应边对应不 成比例. 华师版九年级数学上册教学课件 3.相似比:相似多边形对应边的比（相似比大于零）. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 23.3 相似三角形 第1课时 相似三角形 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解并掌握相似三角形的定义；（重点） 2.掌握由平行线判定两个三角形相似； (重点) 3.经历三角形相似的定义及由平行线判定两个三角形相似的 探究过程.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 相似多边形的主要特征是什么？ 问题2 相似比的定义是什么？ 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 我们就说△ABC与△A′B′C′______，记作 __________________，△ABC与△A′B′C′的相似比是k， △A′B′C′与△ABC的相似比是____. 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, △ABC∽△A′B′C′ 相似 讲授新课 相似三角形的性质及有关概念一 kCA AC CB BC BA AB ////// 且 华师版九年级数学上册教学课件 反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有 ∠A=_____,∠B=_____,∠C=____, 且 . ∠A′ ∠B′ ∠C′ 相似比为1时，相似的 两个图形有什么关系？ / / / / / / AB BC AC kA B B C A C    华师版九年级数学上册教学课件 当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种 特殊的相似. 华师版九年级数学上册教学课件 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. A B C D 解:相似，在△ADE与△ABC中， ∠A= ∠A. ∵ DE//BC， ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， 过E作EF//AB交BC于F F E 由平行线判定两个三角形相似二 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 ∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF. ∴△ADE∽△ABC 华师版九年级数学上册教学课件 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线) 相交,所构成的三角形与原三角形相似. “A”型 “X”型 （图2） D E O B C A B C D E （图1） 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____. 2.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′= 4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____ . 3.若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一 个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△ A′B′C′的最大边长是 _____. 4.已知△ABC的三条边长为3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A1B1C1，那 么△A1B1C1的形状是__________，又知△A1B1C1的最大边长为 25cm，那么△A1B1C1的面积为________. 全等 4︰3 24cm 直角三角形 150cm2 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 5.若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那 么∠ C′的度数是（ ） A.55° B.100° C.25° D.不能确定 6.把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′， 下列结论不能成立的是（ ） A.△ABC∽△A′B′C′ B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等 C.△ABC与△A′B′C′的相似比为 D.△ABC与△A′B′C′的相似比为 C C 华师版九年级数学上册教学课件 2.当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种 特殊的相似； 3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相 交,所构成的三角形与原三角形相似. 课堂小结 1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于 对应边的比； 华师版九年级数学上册教学课件 23.3 相似三角形 第2课时 利用两角判定两个三角形相似 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握相似三角形的判定定理1；（重点） 2.经历相似三角形的判定定理1的探究过程.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会相似 吗？测量测量，得出你的猜想. 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 2. 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75° . ①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形相似吗? 华师版九年级数学上册教学课件 如图，△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B′，探究 下列问题： （1）你认为∠C和∠C′相等吗？ （2）请你借助刻度尺度量AB,BC,AC, A′B′, B′C′, A′C′的长，并计算出对应边的比值是否相等？ （3）试证明△ABC∽△A′B′C′. C A A' B B' C' 讲授新课 利用两角对应相等判定两个三角形相似 华师版九年级数学上册教学课件 （1）解：在△ABC中，∠C=180°－∠A － ∠B 在△A′B′C′中，∠C′=180° － ∠A′ － ∠B′ ∵ ∠A=∠A′, ∠B=∠B′ ∴ ∠C= ∠C′ （2）解：借助刻度尺度量发现， 华师版九年级数学上册教学课件 （3）证明：在△ABC的边 AB（或AB的延长线）上，截 取AD=A′B′，过点 D 作DE//BC，交AC于点 E，则有 △ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵∠A=∠A′, AD=A′B′， ∴△ADE≌ △A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC. 华师版九年级数学上册教学课件 C A A' B B' C' ∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ △ABC ∽ △A'B'C' (两个角分别相等的两个三角形相似) 相似三角形的识别 归纳： 华师版九年级数学上册教学课件 1.判断题： ⑴所有的直角三角形都相似.（ ） ⑵所有的等边三角形都相似.（ ） ⑶所有的等腰直角三角形都相似.（ ） ⑷有一个角相等的两等腰三角形相似.（ ） × √ √ × 华师版九年级数学上册教学课件 2.已知：如图，∠1=∠2=∠3， 求证：△ABC∽△ADE． 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC， ∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE. 又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. 在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E ∴ △ABC∽△ADE 华师版九年级数学上册教学课件课堂小结 相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别 与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形相似 （可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）. 证明两个三角形相似，目前来说可以有如下三种方法： 定义法：三组对应边成比例，三组对应角分别相等的两 个三角形叫做相似三角形. 常用结论：平行于三角形的一边，截其他两边或两边的 延长线，所得的三角形与原三角形相似. 华师版九年级数学上册教学课件 23.3 相似三角形 第3课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握相似三角形的判定定理2与判定定理3；（重点） 2.经历相似三角形的判定定理2与判定定理3的推导过程. （难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 两个三角形全等有哪些判定方法？ 问题2 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是 原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相 等吗？这两个三角形相似吗？ D C B A E 解：相等，因而相似. 利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似一 华师版九年级数学上册教学课件 如图，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′ , A′B′:AB=A′C′:AC.求证:△ABC∽△A′B′C′. A′ B′` C′ A B C ED 证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A′B′,AE=A′C′,连结DE. ∠A=∠A′, 这样,△ADE≌ △A′B′C′. ∵A′B′:AB=A′C′:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A′B′C′∽△ABC 华师版九年级数学上册教学课件 如果一个三角形的两边长与另一个三角形的两边长对应成 比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 . (两边对应成比例且夹角相等，两个三 角形相似) A B C A′ B′ C′ ∵A′B′:AB=A′C′:AC,∠A=∠A′ ∴△A′B′C′∽△ABC 归纳： 华师版九年级数学上册教学课件 如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边 的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量. A B C D E F 不相似 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不 是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 华师版九年级数学上册教学课件 如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. △ABC∽△ADE. 练一练 证明： 华师版九年级数学上册教学课件 △ABC∽△DCA 3.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6， BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．  A B C D 华师版九年级数学上册教学课件 下面两个三角形中， ，求证△ABC∽△A′B′C′. A B C C′B′ A′ 利用三边对应成比例判定两个三角形相似二 AC C'A' BC C'B' AB B'A'  华师版九年级数学上册教学课件 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, A′ B′ C′ A B C D E 过点D作DE∥BC交AC于点E. 又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA, ∴AD:AB=AE:AC. ∵∠A=∠A′，∴△ADE∽△ABC. ∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB. ∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA. 因此DE=B′C′, EA=C′A′. ∴△A′B′C′∽△ABC. ∴△ADE≌ △A′B′C′, 华师版九年级数学上册教学课件 △ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似. A B C C′B′ A′ 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图,已知 ，试说明∠BAD=∠CAE. A D C E B 解：∵ ∴△ABC∽△ADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC 即∠BAD=∠CAE AE AC DE BC AD AB  练一练 华师版九年级数学上册教学课件 2.已知AB=10，BC=8 ，AC=16，A′B′=16，B′C′=12.8， C′A′=25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 华师版九年级数学上册教学课件 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形 的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等， 计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 方法归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1.根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否相似， 并说明理由： ∠A=120°，AB=3cm，AC=6cm,∠A´=120°， A´B´=6cm，A´C´=12cm. ∴A′B′:AB=A′C′:AC,∠A=∠A′ ， ∴△A′B′C′∽△ABC 解：∵A′B′: AB=2 , A′C′: AC=2, ∠A=∠A′=120°. 华师版九年级数学上册教学课件 (2) AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm,A´B´=12cm ， B´C´=18cm ，A´C´=21cm 华师版九年级数学上册教学课件 2.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？ 解：∵ ∴△AEB∽△FEC. ∵∠1＝∠2， 54 30 36 45 E A F C B 1 2 ∴ 华师版九年级数学上册教学课件 相似三角形的判定定理3： 如果一个三角形的三条边和另一 个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的判定定理： 课堂小结 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理2： 如果两个三角形两边对应成比例， 两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 华师版九年级数学上册教学课件 23.3 相似三角形 第4课时 相似三角形的性质 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握相似三角形的性质；（重点） 2.经历探索相似三角形性质的过程.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 判定两个三角形相似的方法有哪些？ 问题2 相似多边形的对应角、对应边的性质是什么？ 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 如图，△ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC， 上 的高AD， ．求证： 证明: ∵△ ∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ =∠ADB =90°， ∴△ ∽△ABD. (两角对应相等的两个三角形相似) 从而 A D A B k .AD AB      (相似三角形的对应边成比例) 讲授新课 相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比一 华师版九年级数学上册教学课件 相似三角形的性质定理1： 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相 似多边形呢？ A B C A' B' 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 kAC CA CB BC BA AB  '''''' 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A' C' 相似三角形周长的比二 华师版九年级数学上册教学课件 从而 kACCBBA AkCCkBBkA ACCBBA CABCAB    '''''' '''''' '''''' 相似三角形周长的比等于相似比. 相似多边形周长的比等于相似比. 归纳 同理得： 华师版九年级数学上册教学课件 如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为k，它们的面积比是 多少？ A B C A' B' C'D'D 解：如图，分别作出△ABC和△A' B' C' 的高AD和A' D' ． ∵ ∠ADB =∠A' D' B' ∠B＝∠B' ∴ △ADB∽△A' D' B' 相似三角形面积的比等于相似比的平方三 华师版九年级数学上册教学课件 kBA AB DA AD  '''' ''''2 1 2 1 ''' DACB ADBC S S CBA ABC    △ △ 2 ''''2 1 ''''2 1 k DACB DAkCBk     相似三角形面积的比等于相似比的平方． 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k， 它们面积的比是多少？ 相似多边形面积比等于相似比的平方. A B C A′ B′ C′ D D′ 延伸探究 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝ ∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积． A B C D E F 华师版九年级数学上册教学课件 ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 又 ∠D＝∠A 解：在△ABC和△DEF中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF ∴ ∴△DEF的周长= △ABC的周长， △DEF的周长=12. 华师版九年级数学上册教学课件 2.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的 周长也扩大为原来的5倍； 解： （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5 扩大5倍周长＝5×原周长 华师版九年级数学上册教学课件 （2）一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9 边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积 （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍． 华师版九年级数学上册教学课件 3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是 30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的 蛋糕够多少人吃（假设两种蛋糕高度相同）？ 两种蛋糕是相似的， 相似比是1：2， 面积的比为 设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1：4＝2：x x = 8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃． 解： 华师版九年级数学上册教学课件 4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的 2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形 的面积发生了怎样的变化？ 解： 放大比例为 华师版九年级数学上册教学课件 2.相似三角形周长的比等于相似比； 相似多边形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方; 相似多边形面积的比等于相似比的平方. 华师版九年级数学上册教学课件 23.3 相似三角形 第5课时 相似三角形的应用 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握相似三角形的应用；（重点） 2.进一步了解数学建模思想，提高分析问题、解决问题的能 力.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 判定两三角形相似的方法有哪些？ 问题2 相似三角形的性质有哪些？ 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 乐山大佛 华师版九年级数学上册教学课件 世界上最高的树 —— 红杉 华师版九年级数学上册教学课件 台湾最高的楼 ——台北101大楼 怎样测量这些非常 高大物体的高度？ 华师版九年级数学上册教学课件 世界上最宽的河 ——亚马逊河 怎样测量河宽？ 华师版九年级数学上册教学课件 利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体 的高度及两物之间的距离问题. 华师版九年级数学上册教学课件 据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似 三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光 线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA长为 201m,求金字塔的高度BO. 利用相似三角形测量高度一 华师版九年级数学上册教学课件 解：太阳光是平行的光线,因此∠BAO=∠EDF. 因此金字塔的高为134m. 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA长为201m, 求金字塔的高度BO. 又 ∠AOB=∠DFE=90°， ∴△ABO∽△DEF. 华师版九年级数学上册教学课件 AF E B O ┐┐ 还可以有其他方法测量吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 华师版九年级数学上册教学课件 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P, 在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接 着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q 且垂直PS的直线b的交点为R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m, 求河的宽度PQ. 利用相似三角形测量宽度二 华师版九年级数学上册教学课件   90° 60 45 90 90 45 60 90                    PQR PST P P PQR PST , PQ QR ,PS ST PQ QR ,PQ QS ST PQ PQ PQ PQ PQ . 解： ， ， △ △ 即 ， ， 解得 因此河宽大约为90m. 华师版九年级数学上册教学课件 测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 方法归纳 华师版九年级数学上册教学课件 例：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和 CD=12m,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与左边较低的 树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点? 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人的身 高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线 FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C点．类似地, ∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ都在观 察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了. 华师版九年级数学上册教学课件 解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛 的位置点F与两棵树的顶端点 A、C恰在一条直线上． 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的 距离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C 在观察者的盲区之内，观察者看不到它． 8 1 6 6 4 5 12 1 6 10 4 =8 AB l,CD l AB CD, AFH CFK , FH AH ,FK CK FH . . FH . . FH .         ⊥ ⊥ ， ∥ △ △ 即 ， 解得 华师版九年级数学上册教学课件 1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降 0.5m时,长臂端点升高______m. 8 O B D C A ┏ ┛1m 16m 0.5m ？ 2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的 影长为3米,则树高为______米. 4 华师版九年级数学上册教学课件 解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的 高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边 长为 x 毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的 边长是多少？ N MQ P E D CB A AE AD = PN BC 因此 ，得 x=48（毫米）.80–x 80 = x 120 华师版九年级数学上册教学课件 1. 相似三角形的应用主要有两个方面： （1）测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. （不能直接使用皮尺或刻度尺测量） （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一 时刻物高与影长成比例”的原理解决. （2）测距 华师版九年级数学上册教学课件 2. 解相似三角形实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）构建图形； （3）利用相似解决问题. 华师版九年级数学上册教学课件 23.4 中位线 第23章 图形的相似 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解中位线的概念和性质；（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点) 3.经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？ 问题2 相似三角形有哪些方面的应用？你会解决下面的问 题吗？ 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 A BC 测出MN的长，就可知A、B两点的距离. M N 在AB外选一点C，使C能直接到达A和B， 连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N. 华师版九年级数学上册教学课件 A B C E F . . D . 中位线 中 线 什么是三角形的中线？（连结顶点与对边中点的线段） 设疑：如果连结两边中点的线段呢？ 三角形的中位线及其性质一 华师版九年级数学上册教学课件 A B C D E DE是三角形ABC的中位线. 华师版九年级数学上册教学课件 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. A B C 画出三角形的所有中线并说出中位线 和中线的区别. D E F 华师版九年级数学上册教学课件 理解三角形的中位线定义的两层含义: ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、 AC的 . ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 ； CB A ED 中位线 中点 华师版九年级数学上册教学课件 在△ABC中，中位线DE和 边BC什么关系? DE和边BC的关系 数量关系： 位置关系： DE∥BC A B C D E 平行 DE是BC的一半 华师版九年级数学上册教学课件 结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. D A B C E 如图：在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点. 则有： DE∥BC, DE= BC.2 1 华师版九年级数学上册教学课件 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点. 则有： DE∥BC, DE= BC. D A B C E F 用不同的 方法证明 1 2 华师版九年级数学上册教学课件 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 用符号语言表示 D A B C E ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2 1 华师版九年级数学上册教学课件 如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°， 则∠B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm， 则DE= cm，为什么？ 如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是 各边中点 AB=6cmAC=8cm,BC=10cm， 则△DEF的周长= cm 图1 图2 60 4 12 A B C D E B A C D E F 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相 交于G．求证：　 3 1 AD GD CE GE ∵　D、E分别是边BC、AB的中点， ∴　DE∥AC， ∴　△ACG∽△DEG， 三角形的重心二 华师版九年级数学上册教学课件 ● 如果在上图中，取ＡＣ的中点Ｆ，假设ＢＦ与ＡＤ 交于Ｇ`，如下图，那么我们同理有， 所以有 ，即两图中的点G与G`是重合的. ● 于是我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心与一边 中点的连线的长是对应中线长的 . 3 1``  BF FG AD DG 3 1`  AD DG AD GD A B CD F G` A G` 归纳 1 3 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图：EF是△ABC 的中位线，BC=20，则 EF=________; B C A FE 华师版九年级数学上册教学课件 2.在△ABC中，中线CE、BF相交点O、M、N分别是 OB、OC的中点，则EF和MN的关系是 _______________. 平行且相等 N B C A FE O M 华师版九年级数学上册教学课件 3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的 四边形是平行四边形. A BE C F D G H A BE C F D G H 华师版九年级数学上册教学课件 A B C D H G F E 华师版九年级数学上册教学课件 1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并 且等于它的一半. 华师版九年级数学上册教学课件 23.5 位似图形 第23章 图形的相似 华师版九年级数学上册教学课件 1.了解位似图形及其有关概念；（重点） 2.理解位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于 位似比；（重点） 3.会画位似图形并会利用位似解决一些简单的问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 我们学过的图形变换形式有哪些？ 问题2 什么叫相似？相似图形有哪些性质？ 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到 屏幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师 通过照相机，把人物的形象缩小在底片上． 在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形， 这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的 图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图 片和满意的照片．这种相似有什么共同的特征吗？ 华师版九年级数学上册教学课件 图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？ O O O 位似图形的概念及性质一 问题引导 华师版九年级数学上册教学课件 图中每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶 点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心． 概念形成： 华师版九年级数学上册教学课件 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之 比等于相似比. ' 'OAB OA B△ ∽△ ， .' ' A'B' OA OB AB OA OB  则 探究归纳 从左图中我们可以看到， 右图呢？你得到了什么？ 华师版九年级数学上册教学课件 2) 分别在线段OA、OB、OC、 OD上取点A' 、B' 、C' 、D' ,使得 3) 顺次连结点 A' 、B' 、C' 、D' ， 所得四边形A' B' C' D' 就是所要求 的图形． 2 1''''  OD OD OC OC OB OB OA OA O D A B C A' B' C' D' 利用位似，可以将一个图形放大或缩小． 1.把四边形ABCD 缩小到原来的1/2. 1) 在四边形外任选一点O（如图）， 位似图形的画法二 华师版九年级数学上册教学课件 对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A ' ，B ' 、C ' 、 D ' ，使得 呢？如果点O取在四边形ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形． 2 1''''  OD OD OC OC OB OB OA OA O D A B C A' B' C' D' O D A B C 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图，△ABC，画△A’B’ C‘ ，使△A’ B‘ C’ ∽△ABC， 且使相似比为1：4， 要求:（1）位似中心在△ABC的一条边AB上； （2）以点C为位似中心． B A C 华师版九年级数学上册教学课件 （1）位似中心在△ABC的一条边AB上 B A CB A B A B A B A （2）以点C为位似中心 B A CB A B A B A B A 假设位似中心点O在AB上， 相似比1:4，点O位置如图 （1）所示 o ● ● A` B` C` ● ● ● A` B` (C`) ● ● 华师版九年级数学上册教学课件 2.利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． 3.位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连结 两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连结两个对 应点的线段之外. 1.画位似图形的一般步骤: 1)确定位似中心; 2)分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点; 3)根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点; 4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，△OAB 和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？ 为什么？ O A B C D 解：AB∥CD. ∵△OAB与△OCD是位似图形， ∴△OAB ∽△OCD， ∴∠OAB=∠C， ∴AB∥CD. 华师版九年级数学上册教学课件 2. 如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍． O A B C 解：①作射线OA 、OB 、 OC ， ②分别在OA、OB 、OC 上 取点A' 、B' 、C' 使得 ③顺次连结A' 、B' 、C' 就是所要求图形. A' B' C' 华师版九年级数学上册教学课件 3.画出以O为位似中心，将五边形ABCDE缩小到原来的0.5 倍的五边形A`B`C`D`E`. D B E CO ● A ● ● ● ● ● A` B` D` C` E` 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 23.6 图形与坐标 第1课时 用坐标确定位置 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握确定物体位置的几种常用方法；（重点） 2.能灵活地选用合适的方法确定物体的位置.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 有序实数对(a,b) 点P可记作P(a，b)． · P O x y 1-2 -1 1 -1 a b 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 问题2 美伊战争美军从地中海，红海，波斯湾三艘航空母舰 上对巴格达发射了战斧式巡航导弹，当时巴格达一片火海， 美国的导弹为何会打得那么准？ 华师版九年级数学上册教学课件 夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图所 示，地图上画了一个平面直角坐标系，作为定向标记，给出 了四座农舍的坐标是： （1， 2）、（－3， 5）、（4，5）、 （0，3）． 目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四 座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就 到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置． 用坐标确定位置一 华师版九年级数学上册教学课件 ●四座农舍的坐标是： （1，2） （－3，5） （4，5） （0，3） 农舍1 农舍4 农舍2 农舍3 · ·· · · A 点A为目的地的位置． 华师版九年级数学上册教学课件 怎样确定某个地方的位置？ 可以建立平面直角坐标系，用坐标表示各地的位置. 平面直角坐标系的位置不同，用坐标表示某地的位置也不同. 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 如图是某乡镇的示意图．试建立平面直角坐标系，用坐标表示 各地的位置： 用平面直角 坐标来表述 各地的位置 这是用什 么方法来 表述各地 的位置? (1,3) (3,3) (-1,1) (-3,-1) (2,-2) (-3,-4) (3,-3) 和同学比较 一下,大家 建立的平面 直角坐标系 的位置是一 样的吗? (4,4)(2,4) (0,2) (-2,0) (-2,-3) (3,-1) (4,-2) O x y 华师版九年级数学上册教学课件 下图是某乡镇的示意图．试建立平面直角坐标系，用坐标 表示各地的位置： 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一 个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用： 1. 如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置； 2.电影院的座位用几排几座来表示； 3.国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等． 方法归纳 华师版九年级数学上册教学课件 下图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置?又如何描述A、B、 C的位置? 华师版九年级数学上册教学课件 E2在什么位置?又如何描述A、B、C的位置? E2 E3 E4 C7 华师版九年级数学上册教学课件 我们还可以用其他方式来表示物体的位置． 例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的 信息： “悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向， 距离此处3千米的地方； “明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距 离此处2.4千米的地方； “321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此 处1.1千米的地方． 根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图： 用“角度（方向）+距离”表示地理位置二 华师版九年级数学上册教学课件 看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置．这 种方式在军事和地理中较为常用． 华师版九年级数学上册教学课件 图 18.5.3 东 南 西 北 悠悠日用化工品厂 明天调味品厂 321号水库 华师版九年级数学上册教学课件 下图是小明所在 学校的平面示意 图，小明可以如 何描述他所住的 宿舍的位置呢？ （第 7 题） 　　　 x y O 华师版九年级数学上册教学课件 1. 小明家O，学校A和公园C的平面示意图如下，图上距离 OA=2cm，OC=2.5cm． （1）学校A、公园C分别在小明家O的什么方向上？ （2）若学校A到小明家O的实际距离是400m，求公园C到小 明家O的实际距离． 华师版九年级数学上册教学课件 解：（1）∵∠NOA=90°﹣45°=45°，∠CON=90°﹣ 60°=30°， ∴学校A在小明家的北偏东45°方向，公园C在小明家的 北偏西30°方向； （2）设公园C到小明家O的实际距离是x米，依题意得 ， 解得 x=500． 答：公园C到小明家O的实际距离是500米． 华师版九年级数学上册教学课件 4.已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且 依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？ （0，2），（0，0），（1，3）， （2，3），（3，2），（3， 0），（1，-1），（2，-1）,（1，-3） （0，-1）， （-1，-3）（-2，-1），（-1，-1）,（-3，0）,（－3，2）， （-2，3），（0，0）. 华师版九年级数学上册教学课件 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一 个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用： 1. 如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置； 2.电影院的座位用几排几座来表示； 3.国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等； 4.表示某些地理位置时，还可以用角度（方向）、距离这两 个量刻画物体的位置. 华师版九年级数学上册教学课件 23.6 图形与坐标 第2课时 图形的变换与坐标 华师版九年级数学上册教学课件 1.在同一平面坐标系中，感受图形上的点的变化与图形的变化 的关系；（重点） 2.掌握图形变化前后坐标之间的规律.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 作位似图形有哪些步骤？ 问题2 怎样用坐标来确定位置？ 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 矩形公园ABCD的长宽分别是6 千米, 4千米 ,以公园中心为原点 建立坐标系, 写出各顶点的坐标.找出各点的关系 . B C D A 解: 公园各顶点坐标为A( 3 , 2),B( -3 , 2 ),C( -3 , -2 ), D( 3 , -2 ) . x y O (-3, -2 ) ( -3 , 2) ( 3, 2 ) ( 3 , -2) 1 1 点A与点 D关于x轴对称 横坐标相同,纵坐标互为相反数 点A与点 B关于y轴对称 纵坐标相同,横坐标互为相反数 点A与点 C关于原点对称 横坐标、纵坐标均互为相反数 图形的变换与坐标一 华师版九年级数学上册教学课件 B C D A x y 0 (-3, -2 ) ( -3 , 2) ( 3, 2 ) ( 3 , -2) 1 1 观察：(1)由点B到点A是 怎样移动得到的？它们 的坐标有何关系？ (2)在图中，你还能 看到哪些点的移动？ 华师版九年级数学上册教学课件 如果是△AOB 向右移动3个单位长度，得到△A ’O’ B ’ ，各顶 点的坐标又有什么变化？你能用自己的语言归纳这个规律吗？ A B 你能画图说明△AOB向左移动 时，对应点的坐标又有什么规 律吗？ O’ B’ y x A’ 规律(1)左右移动时，横坐标 左减右加，纵坐标不变. O 华师版九年级数学上册教学课件 A 2 4 B 将△AOB向上或向下移动几个单位长度，你能探索出图形上下 移动的规律吗？ 规律:（ 2 ）上下移动时， 横坐标不变,纵坐标上加 下减. y x -5 4 O 华师版九年级数学上册教学课件 将△AOB沿着x轴对折，得到△A ’ OB,画图并说明对应顶点有什 么变化？ 规律：对应点关于x轴对称. 即对应点的横坐标相等、纵 坐标互为相反数. y x A B A’ O 华师版九年级数学上册教学课件 画出△ABC，A（2，1），B（4，0），C（5，2）沿y 轴对折 后的△A ’ B’ C ’，并观察对应顶点又有什么样的变化？ 规律：对应点关于 y 轴对称.即对应点的 横坐标互为相反数、 纵坐标相等. y x A B CC’ B’ A’ O 华师版九年级数学上册教学课件 画△AOB关于原点对称的△A ’O B ’ 你有什么发现？ 0 规律：对应点关于原点对称.即对应点的横坐标和纵坐标互为 相反数. x y A BB’ A’ O 华师版九年级数学上册教学课件 如果将△AOB缩小，变成△COD，它们的相似比是多少？对 应点的坐标有什么变化？ 规律： 横坐标和纵坐标都缩小相同的倍数. x 6 2 0 2 6 y C D A B O 华师版九年级数学上册教学课件 O x y 4 -4 -2 A B C 2 4 -4 1.画出△ABC向下平移4个单位后的图形； 2 .画出△ABC关于原点对称的图形； 3.以O为位似中心，将△ABC放大2倍. 华师版九年级数学上册教学课件 如图，在平面直角坐标 系中，有两点 A（6，3）， B（6，0）．以原点O为 位似中心，相似比为 ， 把线段AB缩小，观察对 应点之间坐标的变化， 你有什么发现？ 位似变换后A，B的对应点为A ' （ ， ），B' （ ， ）；A"（ ， ），B"（ ， ）． 2 1 2 0 － 2 － 1 － 2 0 2 4 6 8 2 4 6 8-2 -4 -6 -8 -2-4-6-8 O A BA' B' A" B" x y 1 3 图形的位似变换与坐标二 华师版九年级数学上册教学课件 2 4 6 8 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2-4-6-8 O 910 12-10-12 如图，△ABC三个顶点 坐标分别为A（2，3）， B（2，1）,C（6, 2）， 以点O为位似中心，相似 比为2，将△ABC放大， 观察对应顶点坐标的变 化，你有什么发现？ A B C 位似变换后A，B，C的对应点为 A '（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ）； A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）． 4 6 4 2 12 4 －4 －6 －4 －2 －4－12 A' B' C' A" B" C" y x 华师版九年级数学上册教学课件 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． 归纳： 华师版九年级数学上册教学课件 2 4 6 8 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2-4-6-8 O 9101112-9-10-12 1. 如图，△ABC三个顶点坐标 分别为A（2，－2），B（4， －5），C（5，－2），以原 点O为位似中心，将这个三角 形放大为原来的2倍． A B C 解： A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ），4 － 4 － 108 －410 A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）.4－ 4 － 8 10 －10 4 A' B ' C ' A" B" C" 华师版九年级数学上册教学课件 2.至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转 和位似，你能说出它们之间的异同吗？在图所示的图案中， 你能找到这些变换吗？ 华师版九年级数学上册教学课件 图形左右移动时，对应的横坐标左减右加，纵坐标不变. 图形上下移动时，对应的横坐标不变,纵坐标上加下减. 对应点关于x轴对称.即对应点的横坐标相等、纵坐标互为相 反数. 对应点关于 y 轴对称.即对应点的横坐标互为相反数、纵坐标 相等. 规律：对应点关于原点对称.即对应点的横坐标和纵坐标都互 为相反数. 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． 华师版九年级数学上册教学课件 复习和小结 第23章 图形的相似 华师版九年级数学上册教学课件 相似图形 位似图形 相似多边形 相似三角形 对应角相等 对应边的比相等 周长比等于相似比面 积比等于相似比平方 应 用 相似三角形的判定 华师版九年级数学上册教学课件 1. 类似于全等，相似也是图形之间的一种特殊关系，与平 移、轴对称、旋转一样，位似也是图形的一种基本变换．在 本章，我们学习了有关相似图形、相似多边形、相似三角形、 位似的一些知识． 相似图形一 华师版九年级数学上册教学课件 2. 相似多边形有哪些性质？ 相似多边形对应对角线的比和周长的比都等于相似比， 相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边平行或在 一条直线上，位似图形是特殊的相似图形． 位似图形呢？ 面积的比等于相似比的平方， 以相似多边形三个对应顶点为顶点的对应三角形相似． 华师版九年级数学上册教学课件 O A B CD E A' B ' C'D' E' 例如，把图中的多边形ABCDE放大1.8倍. 4. 连接A'B'、B'C'、· · ·，得多边形A'B'C'D'E' 1. 任取一个点O 2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、· · · 3. 分别在射线OA、OB、OC、· · ·上取点A'、B'、C'、···， 使OA'：OA=OB': OB = OC': OC = · · · =1.8 利用位似将图形放大或缩小二 华师版九年级数学上册教学课件 判定两个三角形相似的方法有： （1）三角形相似的定义； （2）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的 延长线）相交构成的三角形与原三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （5）三边对应成比例，两三角形相似． （4）两角对应相等，两三角形相似； 判定两个三角形相似三 华师版九年级数学上册教学课件 （6）斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形．两个三角形 相似的判定与性质与三角形全等的判定与性质相类似，后者 是前者的特例，判定两个三角形相似和研究相似三角形时， 同样要注意角，边的对应关系． 除上面方法外，还有下面的方法． 华师版九年级数学上册教学课件 例如用相似测物体的高度 A B C E D 1.6m 8.4m 1.2m 测山高 测楼高 相似三角形的应用四 华师版九年级数学上册教学课件 测内孔直径 A B D E F G H 求最大值与最小值 华师版九年级数学上册教学课件 到现在为止，我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位 似等变换，你能说出它们之间的异同吗？举出一些它们的实 际应用的例子，并结合以上内容，体会从运动的角度研究图 形的方法． 华师版九年级数学上册教学课件 1. △ABC的三边长分别为5、12、13，与它相似的△DEF的最 小边长为15，求△DEF的其他两条边长和周长． 解：∵ △ABC∽ △DEF， 设△DEF另两边分别为x, y， 则 x = 36， y = 39， ∴周长为15+36+39=90. 华师版九年级数学上册教学课件 2. 根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似， 并求出x和y的值 F G H J I 3 5 6 8 y x 1 2 ∠1=∠2 解： （1）∠1=∠2 ∠HGF = ∠JIH=90° ∴△FGH∽△JIH 则有 x = 4 y = 10 华师版九年级数学上册教学课件 3. 如图，AB、CD相交于点O，AC//BD，求证OA·OD＝OB·OC. A B C D O 证明： ∵AC//BD ∴△DOB∽△COA ∴OA·OD＝OB · OC 华师版九年级数学上册教学课件 4. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上， 然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球 落地点离墙的距离是6m，假设球反弹后沿直线运动，球能碰 到墙面离地多高的地方？ A B O C D2m 6m 1.8m 解：∠ABO=∠CDO=90° ∠AOB=∠COD ∴△AOB∽△COD ∴ CD=5.4m 答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方． 华师版九年级数学上册教学课件 相似三角形：如果两个三角形对应角相等，对应边成比例， 那么这两个三角形叫做相似三角形. 相似比：三角形对应边的比为k，叫做相似比（或叫做相似系数）. （5）斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 判定两个三角形相似的方法有： （1）三角形相似的定义； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似; （3）两角对应相等，两三角形相似； 华师版九年级数学上册教学课件 相似多边形的性质： 2）相似多边形对应对角线的比和周长的比都等于相似比， 1）相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 3）面积的比等于相似比的平方， 4）以相似多边形三个对应顶点为顶点的对应三角形相似． 相似多边形应用 构建两个图形相似模型，寻找对应边成比例（或对应角 相等），解决实际问题．重点是构建两个三角形相似． 两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边平行是 位似图形，位似图形是相似图形． 华师版九年级数学上册教学课件 第24章 解直角三角形 24.1 测 量 华师版九年级数学上册教学课件 1.能够借助刻度尺等工具进行测量；（重点） 2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度； (重点) 3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬 的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相 似三角形的知识来解 决这个问题． 你能设计出一种测 量的方案吗？ 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 要求 ：（1）画出测量图形； （2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量 的数据)； （3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式. 用不同的方案进行测量 华师版九年级数学上册教学课件 旗杆影长 A B C D E F DF BC ED AB  标杆影长 影长法 比例式: 华师版九年级数学上册教学课件 人 平面镜 AB AE CD CE  平面镜法 比例式: 华师版九年级数学上册教学课件 A B C D E F G H GE GF AE HF  标杆法 人 标杆 比例式: ∴AB=AE+EB 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E 1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°； C 2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米； 3.量出测倾器的高度AD=1.5米. 34° 你能利用 这些数据 算出旗杆 的高度吗？ 测倾器法 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E 1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°； C 2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米； 3.量出测倾器的高度AD=1.5米. 34° B′ C′A′ BC AC B C A C     (精确到0.1米) 你知道计 算的方法 吗？ 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E 实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的 高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系． C 我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾 股定理），那么它的边与角又有什么关系？ 34° 本章主要 探究的内 容就是直 角三角形 中的边角 关系 华师版九年级数学上册教学课件 （朝阳中考）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老 师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡 住的E处停止行走； ④测得DE的长就是河宽AB． 请你证明他们做法的正确性． 华师版九年级数学上册教学课件 【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全 等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的 正确性． 【解答】证明：如图，由做法知： 在Rt△ABC和Rt△EDC中， ∴Rt△ABC≌ Rt△EDC（ASA）， ∴AB=ED， 即他们的做法是正确的． 090 , , , ABC EDC BC DC ACB ECD           华师版九年级数学上册教学课件课堂小结 利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻， 物高与影长成比例. 利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理. 构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角 相等. 华师版九年级数学上册教学课件 24.2 直角三角形的性质 第24章 解直角三角形 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解直角三角形及在实际生活中的应用；（重点） 2.经历直角三角形的性质的猜想、演绎推理、证明过程，体会 探究过程中的乐趣.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 直角三角形可表示为：Rt△ABCA C B 斜边 直角边 直 角 边 想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之 间有什么关系？ 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 （1）直角三角形的两个锐角_________；互余 （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的 平方. 等于 下面我们探索直角三角形的其 他性质 问题2 你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？ 华师版九年级数学上册教学课件 1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？ ∠A＋∠B=90° 2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B= 90º ，那么△ABC是直角 三角形吗？ 是 3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间 有什么关系？ AB2=AC2+BC2 A B C 讲授新课 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半一 问题引导 华师版九年级数学上册教学课件 任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规 比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个 直角三角形试一试，你的发现相同吗？ 我们来验证一下！ A B C D 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 直角三角形的性质之一 Ø在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 数学语言表述为： 在Rt△ABC中 ∵CD是斜边AB上的中线, ∴CD＝AD＝BD＝ AB. （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 华师版九年级数学上册教学课件 A B C ∟ D 【证明】 思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍. 延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE. E∵ CD是斜边AB的中线， ∴ AD=BD. 又∵ DE=CD， ∴ 四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90⁰ ， ∴ ACBE是矩形， ∴ CE=AB. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线. 求证：CD= AB. 华师版九年级数学上册教学课件 CB D 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 1 2 1 2 CB A D 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半二 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC, AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______. D C A B 9 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为 点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______. E D C A B 8cm 华师版九年级数学上册教学课件 3.如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、 ED的中点，试说明：MN⊥DE. 解：连结EM、DM. ∵BD、CE是高，M是BC中点， ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中， ∴EM=DM. 又∵N是ED的中点， ∴MN⊥ED 华师版九年级数学上册教学课件 性质1 直角三角形两个锐角互余 性质2 直角三角形的勾股定理 性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半 性质4 直角三角形30⁰ 角所对直角边等 于斜边的一半 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解锐角三角函数的定义；（重点） 2.掌握三角函数之间的关系并会计算.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=______. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm,则 BC= ，理由是 . 导入新课 回顾与思考 8 5 30°所对直角边是斜边的一半 华师版九年级数学上册教学课件 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝ ∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？ AB BC '' '' BA CB A B C A' B' C' 讲授新课 锐角三角函数定义及三角函数之间的关系 华师版九年级数学上册教学课件 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个 固定值． 华师版九年级数学上册教学课件 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边 与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 2 130sinsin  A 当∠A＝45°时，我们有 2 245sinsin  A A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 引出定义： 华师版九年级数学上册教学课件 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是 否也确定了呢？为什么？ B 对边a A C邻边b 斜边c 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝ ∠B'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' AB AC A' C' A' B' 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 华师版九年级数学上册教学课件 这就是说，在直角三角形中，当锐角∠B的度数一定时，不管 三角形的大小如何，∠B的对边与斜边的比也是一个固定值． 当锐角∠B的大小确定时，∠B的邻边与斜边的比也是固定的， 我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作 cosB，即 引出定义： 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形 结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关. 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 正弦 余弦 华师版九年级数学上册教学课件 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻 边比值也是唯一确定的吗？ 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值. BC B′C′ A′C′ AC＝所以 如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α， 问： 有什么关系？ 由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′ AC BC A′C′ B′C′与 即 AC BC A′C′ B′C′＝ 华师版九年级数学上册教学课件 如图,在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫 做∠A的 正切，记作 tanA. 一个角的正切 表示定值、比 值、正值. , , .    A a B b C c 的对边记作 的对边记作 的对边记作 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 A B C ┌ 思考：锐角∠A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大 于1吗？ 对于锐角∠A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定 的值与它对应. 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；可以大于1. 延伸 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB 可由哪两条线段比求得. D C BA 解：在Rt△ABC中， 在Rt△BCD中， 因为∠B=∠ACD，所以 求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为 求和它相等角的正弦值. 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6， 求sinA、cosA、tanA的值． 解：∵ 又 A B C 6 10 华师版九年级数学上册教学课件 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、 tanA的值． 15 17 解：∵ A B C设AC=15k，则AB=17k 所以 华师版九年级数学上册教学课件 4.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.完成下列填空. A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 华师版九年级数学上册教学课件 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ， 求：sinA、cosB的值． 4 3 A B C 8 解： 华师版九年级数学上册教学课件 在Rt△ABC中 = a b的邻边 的对边 A A  tanA= 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐 角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角 三角形的边长无关. 华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第2课时 特殊角的三角函数值 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握特殊锐角的三角函数值；（重点） 2.掌握30°，45°，60°角的三角函数值的推导过程并会计 算.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= , BC=8，则 AB=_______，AC=_______，sinB=_______，△ABC的周长 是______. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，则∠A=_____，设 AB=k，则AC=_____，BC=_____，sinB= sin45°=____， cosB =cos45°=____，tanB= tan45°= ____. 5 3 导入新课 回顾与思考 10 6 24 45° 2 2 k 2 2 k 2 2 2 2 1 华师版九年级数学上册教学课件 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 讲授新课 特殊角的三角函数一 华师版九年级数学上册教学课件 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝  2 22 3a a a  1sin30 2 2 a a    3 3cos30 2 2 a a   3tan30 33 a a   30° 华师版九年级数学上册教学课件 3 3sin 60 2 2 a a    1cos60 2 2 a a   3tan 60 3a a   设两条直角边长为a，则斜边长＝ 2 2 2a a a  2cos45 22 a a   tan 45 1a a   2sin 45 22 a a    60° 45° 华师版九年级数学上册教学课件 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 归纳： 华师版九年级数学上册教学课件 1.求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260° （2）    45tan45sin 45cos  解： （1） cos260°＋sin260° ＝1 （2） ＝0 特殊三角函数值的运用三 华师版九年级数学上册教学课件 2.操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明 站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线 的夹角为30°，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗 杆的高度了. 1.65米 10米 ? 30° 你想知道小明怎样算出的吗？ 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，在△ABC中，∠A=30°， 求AB. 3tan , 2 3,2B AC  A B C D 解：过点C作CD⊥AB于点D ∠A=30°， 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60° （3）   30tan 1 60sin1 60cos  解： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60° 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求∠A、∠B的度数． 21,7  ACBC B A C 7 21 解： 由勾股定理 ∴ ∠A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60° 华师版九年级数学上册教学课件 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（α为锐角） 对于cosα，角度越大，函数值越小. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第3课时 用计算器求锐角三角函数值 华师版九年级数学上册教学课件 1.会用计算器求锐角三角函数值；（重点） 2.会用计算器根据三角函数值求锐角度数.（重点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.同学们,前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函 数值,一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又 怎么求呢? 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 20m tan tan42 DC EB ACADC ,DC       解：由已知得 ， ,42tan  DCAC A 1.6m D BE 20m 42° C 2.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗 升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图），若小 明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ .6.142tan20  CBACAB 这里的tan42°是多少呢？ 华师版九年级数学上册教学课件 1.求sin18°． 第一步：按计算器 键，sin 第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键） 讲授新课 用计算器求锐角三角函数值一 华师版九年级数学上册教学课件 tan第一步：按计算器 键， 2.求 tan30°36'. 第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 键），°＇ ″ 屏幕显示答案：0.591 398 351 第一种方法： 第二种方法： tan第一步：按计算器 键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351 华师版九年级数学上册教学课件 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应 的锐角． 根据三角函数值求锐角度数二 华师版九年级数学上册教学课件 例：已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法 操作： 还可以接着按 键，进一步得到 ∠A＝30°7'8.97 " 第一步：按计算器 键，SHIFT sin 第二步：然后输入函数值0. 501 8 屏幕显示答案： 30.119 158 67° （按实际需要进行精确） °＇″ 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 1．用计算器求下列锐角三角函数值； （1） sin20°= ， cos70°= ； （2）tan3°8 ' = ，tan80°25'43″= sin35°= ，cos55°= ； sin15°32 ' = ，cos74°28 ' = 分析第1（1） 题的结果， 你能得出什 么猜想，你 能说明你的 猜想吗？ 拓广探索 华师版九年级数学上册教学课件 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 归纳： 华师版九年级数学上册教学课件 1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： （1）sinA=0.6275，sinB＝0.0547； （2）cosA＝0.6252，cosB＝0.1659； （3）tanA＝4.8425，tanB＝0.8816. 当堂练习 ∠A=38°51′57.3 ″， ∠B=3°8′8.32 ″ ∠A=51°18′11.27 ″， ∠B=80°27′1.72 ″ ∠A=78°19′55.74 ″， ∠B=41°23′57.84 ″ 华师版九年级数学上册教学课件 A2.下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75°＞tan48°＞tan15° B. tan75°＜tan48°＜tan15° C. cos75°＞cos48°＞cos15° D. sin75°＜sin48°＜sin15° 华师版九年级数学上册教学课件 1.我们可以用计算器求锐角三角函数值. 2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角. 3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用 华师版九年级数学上册教学课件 1.会运用勾股定理解直角三角形；（重点） 2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形；（重点） 3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 B A C c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____. 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中 ∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° a c b ca b 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直 中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝ 54.5m. 所以∠A≈5°28′ 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直 中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ A BC A BC 讲授新课 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用一 华师版九年级数学上册教学课件 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多 少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ 华师版九年级数学上册教学课件 对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地 面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC ＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数 由于 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子 与地面所成的角大约是66°. 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的． A B C α 华师版九年级数学上册教学课件 在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ A B C α 6 =75° 已知一边和一锐角解直角三角形二 华师版九年级数学上册教学课件 在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ A B C α 6 2.4 华师版九年级数学上册教学课件 由 得 问题（2）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°， 斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． 问题（2）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端 与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m 所以 BC≈6×0.97≈5.8 由计算器求得 sin75°≈0.97 A B α C 华师版九年级数学上册教学课件 事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素． A Ba b c C 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素 的过程． 华师版九年级数学上册教学课件 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ,解 这个直角三角形. 6,2  BCAC 解： A BC 2 6 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分 线 ，解这个直角三角形.4 3AD  D A BC 6 4 3 解： 因为AD平分∠BAC 华师版九年级数学上册教学课件 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定理 A B Cb=20 a=30c 华师版九年级数学上册教学课件 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14. A B C b a c=14 解： 华师版九年级数学上册教学课件 4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾 斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时， 答：梯子的长至少3.5米 C A B 华师版九年级数学上册教学课件 （2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 （勾股定理）A Ba b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 1．数形结合思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出 直角三角形. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第2课时 仰角、俯角问题 华师版九年级数学上册教学课件 1.了解仰角、俯角的概念；（重点） 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 在三角形中共有几个元素？ 问题2 解直角三角形的应用问题的思路是怎样？ 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的 水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，α=30°,β=60° Rt△ABD中，α=30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C Dα β 仰角 水平线 俯角 讲授新课 仰角、俯角问题 华师版九年级数学上册教学课件 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． tan tanBD CD,AD AD    tan 120 tan30BD AD       3403 3120  60tan120tan  ADCD 31203120  3120340  CDBDBC 1.2773160  答：这栋楼高约为277.1m A B C Dα β 华师版九年级数学上册教学课件 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. A B CD 40m 54°45° A B CD 40m 54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：旗杆的高度为15.2m. 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上 一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的 水平距离BC=_________米. 2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD 的高为_____米. 100 当堂练习 图1 图2B C B C 华师版九年级数学上册教学课件 解：依题意可知，在Rt∆ADC中 所以树高为19.2+1.72≈20.9(米) 3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测 得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确 到0.1米）. A D BE C   tan tan52 15 1 280 15 19 2 AD ACD CD . .          米 华师版九年级数学上册教学课件 4.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB 等于 （根号保留）． 5.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°， 则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）． 图3 图4 华师版九年级数学上册教学课件 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 3.认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中 的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平 行四边形）与三角形来解决. 2.梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行 四边形与直角三角形）来处理. 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题 华师版九年级数学上册教学课件 1.了解坡度的概念；（重点） 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系: tanA＝ a bsinA＝ a c cosA＝ b c (必有一边) Ａ Ｃ Ｂ a b c 别忽略我哦！ 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 坡度i=1∶ 3 ，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ A D B C i=1:2.523 6 3:1i  讲授新课 坡度问题 华师版九年级数学上册教学课件 α l hi= h : l1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . 2.坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶ m的形式，如i=1∶ 6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=——h l 3.坡度与坡角的关系 tanh li   坡度等于坡角的正切值 坡 面 水平面 华师版九年级数学上册教学课件 1.斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度. 2.斜坡的坡角是45°，则坡比是 _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 3:1 α l h 30 1：1 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=1∶ 3，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）. E F A D B C i=1:2.5 23 6 1 3i : α 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线； 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形 BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度, 通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出； 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt△ ABE和Rt△ CDF. 解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知 E FA D B C i=1:2.5 23 6 1:3i  α BE=CF=23m ，EF=BC=6m. 在Rt△ABE中 华师版九年级数学上册教学课件 在Rt△DCF中，同理可得 =69+6+57.5=132.5m 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 (2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡 CD的坡角α约为22°. 华师版九年级数学上册教学课件 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）. B A D F E C 6m α β i=1:3i=1:1.5 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° 1tan 1.5 AF iBF     33.7   在Rt△CDE中，∠CED=90° tan 1:3DE iCE     18.4   探究归纳 完成第（2）题 华师版九年级数学上册教学课件 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而 山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ hh αα ll 华师版九年级数学上册教学课件 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段， 划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的， 可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出 这段山坡的高度h1=l1sina1. h α l 华师版九年级数学上册教学课件 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”， 把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直， 以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在 数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面 的内容． 方法归纳 华师版九年级数学上册教学课件 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的 高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就 不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长 度l. 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问 题的策略 华师版九年级数学上册教学课件 1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米， 路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下 底的宽（精确到0.1,米, ）. 45° 30° 4米 12米 A B C E F D 414.12,732.13  当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知 　 DE＝CF＝4（米）， 　 CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中，同理可得 因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）． 　　答： 路基下底的宽约为22.93米． 45° 30° 4米 12米 A B C E F D 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角 ∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝 的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D， 请你计算AD的长(精确到0.1 m)． 华师版九年级数学上册教学课件 [解析] 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡 角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构 造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长． 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直 角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 复习和小结 第24章 解直角三角形 华师版九年级数学上册教学课件 锐角三角 函数 特殊角的三 角函数 解直角三 角形 简单实际 问题 c a b A BC 知识构架 华师版九年级数学上册教学课件 锐角三角 函数 sin aA c  cos bA c  b aA tan （两边之比） 华师版九年级数学上册教学课件 特殊角的三 角函数 2 130sin  2 330cos  3 330tan  2 245sin  2 245cos  145tan  2 360sin  2 160cos  360tan  3 2 1 30° 21 1 45° 3 2 1 60° 30° ＋ 60° = 90° 华师版九年级数学上册教学课件 解直角 三角形 ∠A＋ ∠ B＝90° a2+b2=c2 三角函数 关系式 计算器 由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角 AbBcAca tancossin  A aBcAcb tansincos  B b A b B a A ac sincoscossin  华师版九年级数学上册教学课件 简单实 际问题 数学模型 解直角三角形 梯形 组合图形 三角形 构建 作高转 化为直 角三角 形 华师版九年级数学上册教学课件回顾思考 华师版九年级数学上册教学课件 (2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　　　＝　　　； (3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　　　＝　　　　. 华师版九年级数学上册教学课件 [易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前 提是在直角三角形中． 2．30°，45°，60°角的三角函数值 sin30°＝　　　，sin45°＝　　　，sin60°＝　　　； cos30°＝　　　，cos45°＝　　　，cos60°＝　　　； tan30°＝　　　，tan45°＝　　　，tan60°＝　　　. 3．解直角三角形的依据 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A， ∠B,∠C的对边． 1 华师版九年级数学上册教学课件 三边关系：　 　； 三角关系：　 ； 边角关系：sinA＝cosB＝　　　，cosA＝sinB＝ ， tanA＝　　　　　　，tanB＝　　　　　　. (2)直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是 边)，就可以求出其余的3个未知元素． a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 华师版九年级数学上册教学课件 解法：①一边一锐角，先由锐角关系求出另一锐角；知 斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一 直角边，再用正弦或勾股定理求斜边．②知两边：先用勾股 定理求另一边，再用边角关系求锐角．③斜三角形问题可通 过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD ＝BC，cos∠ADC= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值． 5 3 分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在 Rt△ACD和ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由 此可列方程求出CD． A B CD 随堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 解：（1）设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC= , 又BC－CD＝BD 解得x=6 ∴CD=6 A B CD 华师版九年级数学上册教学课件 (2) BC=BD+CD=4+6=10=AD 在Rt△ACD中 在Rt△ABC中 华师版九年级数学上册教学课件 [解析] 要求△ABC的周长，先通过解Rt△ADC求出CD和 AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长． 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 3.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼， 某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔 顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)． 华师版九年级数学上册教学课件 [解析] (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长； (2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出 BE的长，用AB的长减去BE的长度即可． 华师版九年级数学上册教学课件 A B Cb ac 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三 角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角 三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况 的答案． 解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余 弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的 图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、 公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起， 从而达到解题的目的． 华师版九年级数学上册教学课件 第25章 随机事件的概率 25.1 在重复试验中观察不确定现象 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解并掌握确定事件与不确定事件的含义与区别；（重点） 2.能够对于事件发生的情况进行判断； (重点) 3.运用事件的频率的稳定性估计事件发生的机会大小.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面 上分别刻有1到6个的点数，请考虑以下的问题：掷 一次骰子，在骰子向上的一面上，若你是小伟做一 做这个实验： ⑴可能出现哪些点数？ 每次掷结果不一定相同，从1至6都有可能出现，所以可 能出现这6种点数（1、2、3、4、5、6）. 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 ⑵出现的点数大于0吗？ ⑶出现的点数会是7吗？ ⑷出现的点数会是4吗？ 出现的点数肯定大于0. 出现的点数绝对不会大于6. 可能是4，也有可能不是4，事先不能确定. 华师版九年级数学上册教学课件 问题1：掷骰子过程中，能掷出大于7的点数吗？ （不能，不可能发生.） 像这样的事件，在试验过程中是不可能发生的. 我们称之为不可能事件. 讲授新课 必然事件、不可能事件和随机事件一 华师版九年级数学上册教学课件 问题2：在掷骰子过程中，能掷出4的点数吗？还有其 它的点（如1、2、3、5、6）呢？ （可能） 像这样的事件，在试验过程中是可能发生的，也可能不发 生.我们称之为随机事件. 华师版九年级数学上册教学课件 必然事件： 在一定条件下重复进行试验时，有的事件在每次试 验中必然会发生. 在一定条件下重复进行试验时，有的事件是不可能发生的. 不可能事件： 随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 确定事件和随机事件统称为事件. 归纳 必然事件和不可能事件统称为确定事件. 华师版九年级数学上册教学课件 袋子中装有4个黑球2个白球，这些球形状、大小、质 地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子 中摸出一个球. ⑴摸出的这个球是白球还是黑球？ ⑵如果两种球都有可能被摸出，那么“摸出黑球”和 “摸出白球”的可能性一样大吗？ 随机事件的可能性二 华师版九年级数学上册教学课件 试着做一做，再讨论一下，结果怎样？ 大家通过实践，不难发现，摸出的这个球可能是白 球，也有可能是黑球. 由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球”和“摸 出白球”的可能性的大小是不一样的， “摸出黑球” 的可能性大于“摸出白球”的可能性. 华师版九年级数学上册教学课件 通过从袋中摸球的实验，你能得到什么启示？ 一般地， 1.随机事件发生的可能性是有大小的； 2.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 华师版九年级数学上册教学课件 例：在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻 璃球共有120个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相 同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的 频率稳定在15%和55%，则口袋中白色球的个数很可能是 ________个．36 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 [解析] 大量试验下获得的频率可以近似地看成概率，本 题中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和55%，可以看作 红色、黑色球分别占玻璃球总数的15%和55%，因此白色球 的个数可能是120×(1－15%－55%)＝36(个)． 华师版九年级数学上册教学课件 1.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： （1）某地1月1日刮西北风； （2）当x是实数时，x2≥0； （3）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过50%. 当堂练习 随机事件 必然事件 不可能事件 随机事件 华师版九年级数学上册教学课件 2.指出下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不可 能发生的，哪些是随机事件； ⑴1标准大气压下，加热到100℃时，水沸腾； ⑵篮球队员在罚球线上投篮时，未投中； ⑶掷一次骰子，向上的一面是6点； ⑷度量三角形的内角和，结果是360°； ⑸经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； ⑹某射击运动员射击一次，命中靶心. （必然事件） （随机事件） （不可能事件） （随机事件） （随机事件） （随机事件） 华师版九年级数学上册教学课件 必然事件：在一定条件下，有的事件必然会发生. 不可能事件：在一定条件下，有的事件是不可能发生的. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事. 随机事件的特点： 1.随机事件发生的可能性是有大小的； 2.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的 频率逐渐稳定到的常数，可以估计这个随机事件发生的机会 的大小． 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 25.2 随机事件的概率 第1课时 概率及其意义 华师版九年级数学上册教学课件 1.在具体情境中了解概率的定义及意义；（重点） 2.会求简单的概率问题. (难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 必然事件:在一定条件下必然发生的事件. 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件. 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 导入新课 观察与思考 问题 回顾一下上节课学到的“必然事件”“不可能事 件”“随机 事件”的定义？ 华师版九年级数学上册教学课件 随机事件 华师版九年级数学上册教学课件 随机事件 华师版九年级数学上册教学课件 我可没我朋友 那么笨呢！撞 到树上去让你 吃掉，你好好 等着吧，哈哈! 随机事件 华师版九年级数学上册教学课件 小红生病了，需要动手术， 父母很担心，但当听到手术有百 分之九十九的成功率的时候，父 母松了一口气，放心了不少！ 小明得了很严重的病，动 手术只有百分之十的成功率， 父母很担心！ 讲授新课 概率的意义一 华师版九年级数学上册教学课件 百分之十的成功率. 百分之九十九的成功率. 用数值表示随机事件发生的可能性大小. 概率 华师版九年级数学上册教学课件 问题1：掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 1 2 华师版九年级数学上册教学课件 问题2：抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几种可能？ 1 6 华师版九年级数学上册教学课件 数值　， 反映了试验中相应随机事件发生的可 能性大小．对于一个事件Ａ，我们把刻画其可 能性大小的数值，称为随机事件Ａ发生的概率， 记为Ｐ（Ａ）．　 概率的定义： 华师版九年级数学上册教学课件 1 5 2 5 问题引导 求简单问题的概率二 华师版九年级数学上册教学课件 试验1： 掷一枚硬币，落地后: (1)会出现几种可能的结果？ (2)正面朝上与反面朝上的可能性会相等吗？ (3)试猜想：正面朝上的可能性有多大呢？ 开 始 正面朝上 反面朝上 两种 相等 华师版九年级数学上册教学课件 试验2：抛掷一个质地均匀的骰子 (1)它落地时向上的点数有几种可能的结果？ (2)各点数出现的可能性会相等吗？ (3)试猜想：你能用一个数值来说明各点数出现的可能性大 小吗？ 6种 相等 华师版九年级数学上册教学课件 试验3： 从分别标有1，2，3，4，5的5根纸签中随机抽取一根. (1)抽取的结果会出现几种可能？ (2)每根纸签抽到的可能性会相等吗？ (3)试猜想：你能用一个数值来说明每根纸签被抽到的可能性 大小吗？ 5种 相等 华师版九年级数学上册教学课件 1.试验具有两个共同特征： 具有上述特点的试验，我们可以用事件所包含的各种可能 的结果数在全部可能的结果数中所占的比，来表示事件发 生的概率. 在这些试验中出现的事件为等可能事件. 华师版九年级数学上册教学课件 从分别标有1，2，3，4，5的5根纸签中随机抽取一根. (4)你能用一个数值来说明抽到标有1的可能性大小吗？ (5)你能用一个数值来说明抽到标有偶数号的可能性大小吗？ 抽出的签上号码有5种可能，即1，2，3，4，5. 标有1的只是其中的一种，所以标有1的概率就为 . 抽出的签上号码有5种可能，即1，2，3，4，5. 标有偶数号的有2,4两种可能，所以标有偶数号的概率就为 .2 5 1 5 华师版九年级数学上册教学课件 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们 发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件 A发生的概率 ．  A mP n  等可能事件概率的求法: P（A）= 事件A发生的结果数 所有可能的结果总数 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 例：盒子中装有只有颜色不同的3个黑棋子和2个白棋子， 从中摸出一棋子，是黑棋子的可能性是多少？ 3 5 P(摸到黑棋子）= 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图,是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红 黄绿三种，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇 形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右 边的扇形）求下列事件的概率. （1）指向红色； （2）指向红色或黄色； （3）不指向红色. 当堂练习 3 7 5 74 7 华师版九年级数学上册教学课件 2.已知一纸箱中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球， 3个红球. （1）求从箱中随机取出一个球是白球的概率是多少？ （2）如果随机取出一个球是白球的概率为 ，则应往纸 箱内加放几个红球？ 1 6 解： （1）P（白球）= ； （2）设应加x个红球，则 解得x=7. 答：应往纸箱内加放7个红球. 2 5 2 1 5 6 ,x  华师版九年级数学上册教学课件 2.必然事件A，则P(A)＝１； 不可能事件B，则P(B)=0； 随机事件C，则0＜P(C)＜1. 1.概率的定义及基本性质 如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且他们 发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果， 那么事件A发生的概率P(A)= . 0≤m≤n，有0≤ ≤1 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 25.2 随机事件的概率 第2课时 频率与概率 华师版九年级数学上册教学课件 1.知道通过大量试验得到的频率可以作为事件发生概率的估计 值；（重点） 2.学会用列表法、画树形图发计算概率. (难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 ●必然事件 在一定条件下必然发生的事件. ●不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件. ●随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 概率的定义 事件A发生的频率接近于某个常数，这时就把 这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 0≤P(A)≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 等可能性事件 ●问题1 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 正面、反面向上2种，可能性相等 ●问题2 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几种可能？ 6种等可能的结果 ●问题3 从分别标有1,2,3,4,5的5根纸签中随机抽取一根， 抽出的签上的标号有几种可能？ 5种等可能的结果 华师版九年级数学上册教学课件 等可能性事件 等可能性事件的两个特征： 1.出现的结果有限多个； 2.各结果发生的可能性相等； 等可能性事件的概率可以用列举法而求得. 列表法就是把要求的对象一一用表格表示出来分析求解的 方法． 讲授新课 用列表法求概率一 华师版九年级数学上册教学课件 这个游戏对小亮和小明公平吗？ 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃 和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃中抽取一张牌,你 从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分， 为偶数我得1分,先得到10分的获胜”.如果你是小亮,你愿 意接受这个游戏的规则吗? 思考: 你能求出小亮得分的概率吗? 华师版九年级数学上册教学课件 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 w用表格表示 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 华师版九年级数学上册教学课件 4 1 36 9  华师版九年级数学上册教学课件 现有A、B、C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个 糖包，B盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C 盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃 酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外）， 那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？ 用画树形图求概率二 华师版九年级数学上册教学课件 A B C 酸 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 韭 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 解：画树形图： 由树形图，得所以可能出现的结果有18种，它们出现的可能 性相等.选的包子全部是酸菜包的结果有3种，故P（全是酸菜 包)= 3 1 18 6 . 华师版九年级数学上册教学课件 从一定高度落下的图钉，会有几种可能的结果？ 它们发生的可能性相等吗？ 　做做试验 用频率估计概率三 华师版九年级数学上册教学课件 试验累计 次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 钉帽着地的 次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109 钉帽着地的 频率( %) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5 试验累计次 数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 钉帽着地的 次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224 钉帽着地的 频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56 华师版九年级数学上册教学课件 56.5 (%) 华师版九年级数学上册教学课件 国家在明年将继续实施山川秀美工程,各地将大力开展 植树造林活动. 并给农民发放养护补助费，为此林 业部要考查幼树在一定条件下的移植成活率,应采用 什么具体做法? 议一议 华师版九年级数学上册教学课件 如果某水果公司以2元/千克的成本进了10000千克柑橘, 则这批柑橘中完好柑橘的质量是________,若公司希望 这些柑橘能够获利5000元,那么售价应定为_______元/千 克比较合适. 华师版九年级数学上册教学课件 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的 可能性不相等时，我们一般可以通过统计频率来估计概率. 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的 频率逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率． 利用频率估计概率 归纳 华师版九年级数学上册教学课件当堂练习 1.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左 或向右转，如果这三种可能性的大小相同．三辆汽车经过 这个十字路口，（画树状图）求下列事件的概率： （1）三辆汽车继续直行的概率； （2）两辆车向右转，一辆车向左转的概率； （3）至少有两辆车向左转的概率． 解：画树状图得： ∴一共有27种等可能的情况； 华师版九年级数学上册教学课件 （1）∵三辆汽车继续直行的有1种情况， ∴三辆汽车继续直行的概率为： ； （2）两辆车向右转，一辆车向左转的有3种， ∴两辆车向右转，一辆车向左转的概率为 ； （3）至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直 左，左右左，左左直，左左右，左左左， 则至少有两辆车向左转的概率为： ． 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背 面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽 出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大 时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜 的机会是否相同． 华师版九年级数学上册教学课件 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，甲抽到的牌面数字比乙大的有5 种情况，小于等于乙的有7种情况， ∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ， ∴甲、乙获胜的机会不相同． 华师版九年级数学上册教学课件课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果 发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概 率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件 发生的频率的稳定值来估计这个事件发生概率. 华师版九年级数学上册教学课件 25.2 随机事件的概率 第3课时 列举所有机会均等的结果 华师版九年级数学上册教学课件 1.会用列表法、画树形图法计算概率；（重点） 2.并通过比较概率大小做出合理决策. (难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 什么时候用“列表法”方便？什么时候用“树状 图法” 方便？ 问题2 如何用“列表法”、“树状图法”？ 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多 时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法. 一个因素所包含的可能情况 另一个因素 所包含的可 能情况 两个因素所组合的所 有可能情况,即n 在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m,最后代 入公式计算. 列表法中表格构造特点: 华师版九年级数学上册教学课件 当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列表法就不 方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用 “树状图”. 一个试验 第一个因素 第二个 第三个 A B 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a b a b a b n=2×3×2=12 华师版九年级数学上册教学课件 1.同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率: (1) 三枚硬币全部正面朝上; (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; (3) 至少有两枚硬币正面朝上. 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 抛掷硬币试验 第①枚 ② ③ 解: 讲授新课 用树状图或列表法求概率 华师版九年级数学上册教学课件 由树状图可以看出,抛掷3枚硬币的结果有8种,它们出现的可 能性相等. ∴ P(A)= (1)满足三枚硬币全部正面朝上(记为事件A)的结果只有1种, ∴ P(B)= (2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上(记为事件B)的 结果有3种, (3)满足至少有两枚硬币正面朝上(记为事件C)的结果有4种, ∴ P(C)= 8 1 8 3 2 1 8 4  华师版九年级数学上册教学课件 2.在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机地抽取一张后放回,再 随机地抽取一张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出 的数字的概率是多少? 华师版九年级数学上册教学课件 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 第一次 第二次 w用表格表示 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 14 7 36 18  华师版九年级数学上册教学课件 (1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个和3个元音字母的概率分别 是多少? 1.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋 中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C,D和E;丙口袋中装有 2个相同的小球,它们分别写有字母H和I,从3个口袋中各随机地 取出1个小球. (2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少? 取球试验 甲 乙 丙 A B C D E C D E H I H I H I H I H I H I 解: A E E I I I I I I 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 由树形图可以看出,所有可能的结果有12种,它们出现的可 能性相等. ∴ P(一个元音)= (1)只有1个元音字母结果有5个, 5 12 ∴ P(两个元音)= 有2个元音字母的结果有4个, 4 12 1 3= ∴ P(三个元音)= 全部为元音字母的结果有1个, 1 12 ∴ P(三个辅音)= (2)全是辅音字母的结果有2个, 1 6=2 12 华师版九年级数学上册教学课件 2.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢?他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人 的概率是多少? 石剪布 石 游戏开始 甲 丙 乙 石 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布 剪 布 石 剪 布 石 剪 布 剪 布 解: 华师版九年级数学上册教学课件 由树形图可以看出,游戏的结果有27种,它们出现的可能性相等. 由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪”、“剪剪 布”、“布布石”三类. 而满足条件(记为事件A)的结果有9种 ∴P(A)= 1 3=9 27 华师版九年级数学上册教学课件 (1) 列表法和树状图法的优点是什么? (2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使用“树状图法” 方便? (1)优点:利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生 的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的 概率. (2)当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树 状图法; 当试验在三步或三步以上时,用树状图法方便. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 复习和小结 第25章 随机事件的概率 华师版九年级数学上册教学课件 随机事件 概 率 用列举法求概率 用频率估计概率 知识构架 华师版九年级数学上册教学课件 1.确定事件 （2）在一定条件下不可能发生的事件，叫做 2.随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件. 3.事件发生的概率与事件发生的频率有什么关系？ 必然事件.（1）在一定条件下必然要发生的事件，叫做 不可能事件. 回顾思考 华师版九年级数学上册教学课件 在多次试验中，某个事件出现的次数叫 ，某个事件出 现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的 ，一 个事件在多次试验中发生的可能性叫做这个事件发生 的 . 华师版九年级数学上册教学课件 （1）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数 P 附近，那么，这个常数 P就叫作事件A的 概率，事件A发生的频率是：在n次试验中，事件A发生的频 数m与 n 的比. （2）求一个事件的概率的基本方法是：进行大量的重复试验， 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率. （3）对于某些随机事件也可以不通过重复试验，而只通过一 次试验中可能出现的结果的分析来计算概率.例如：掷两枚硬 币，求两枚硬币正面向上的概率. 华师版九年级数学上册教学课件 　一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们 发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A 发生的概率为： 6.如何用列举法求概率？ 　5.在什么条件下适用P(A）＝　 得到事件的概率？ 当事件要经过一步完成时列举出所有可能情况，当事件要经 过两步完成时用列表法，当事件要经过三步及以上完成时用 树状图法. m n 华师版九年级数学上册教学课件 1.下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个 相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色（红色与蓝色能配 成紫色）游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗? A 红 红 蓝 （红，红）（蓝，红） （蓝，红） （红，红）（蓝，红） （蓝，红） （红，蓝）（蓝，蓝） （蓝，蓝） 红 蓝 蓝 B 随堂练习 A B 华师版九年级数学上册教学课件 一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，(红，蓝）能 配紫色的有5种，概率为 ；不能配紫色的有4种，概率为 ，它们的概率不相同. 5 94 9 华师版九年级数学上册教学课件 2.一个桶里有60个弹珠,一些是红色的，一些是蓝色的，一些 是白色的.拿出红色弹珠的概率是35%，拿出蓝色弹珠的概 率是25%,桶里每种颜色的弹珠各有多少？ 解：60×35%=21（个）， 60×25%=15（个）， 60-21-15=24（个）. 答：桶内有红色弹珠21个，蓝色弹珠15个，白色弹珠 24个. 华师版九年级数学上册教学课件 3.将一枚硬币连掷3次，出现“两反，一正”的概 率是多少？ 开始 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 解:根据题意，画出如下树状图， 故P（两反，一正）= 3 8 华师版九年级数学上册教学课件 4.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术 节文艺演出专场的主持人，请用列表法或树状图法，求选出的 恰为一男一女的概率． 解：列表如下： 男 男 男 女 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男） （男，男） （女，男）（女，男） 男 （男，男） ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男）（女，男） 男 （男，男） （男，男）﹣﹣﹣ （女，男）（女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）﹣﹣﹣ 华师版九年级数学上册教学课件 所有等可能的情况有20种，其中一男一女的情况有12种， 则P(一男一女）= ． 华师版九年级数学上册教学课件 2.必然事件A，则P(A)＝１； 不可能事件B，则P(B)=0； 　随机事件C，则0＜P(C)＜1. 1.概率的定义及基本性质 如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且他们 发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果， 那么事件A发生的概率P(A)= . 0≤m≤n，有0≤ ≤1 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 当事件要经过一步完成时列举出所有可能情况，当事件要经 过两步完成时用列表法，当事件要经过三步以上完成时用树 状图法. 当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能 结果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估 计概率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机 事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生概率.