高中物理--圆周运动--最全讲义及典型习题及答案详解
第三节 圆周运动
【知识清单】
（一） 匀速圆周运动的概念
1、 质点沿圆周运动，如果______________________________，这种运动叫做匀速圆周
运动。
2、 匀速圆周运动的各点速度不同，这是因为线速度的______时刻在改变。
（二） 描述匀速圆周运动的物理量
1、 匀速圆周运动的线速度大小是指做圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值。
方向沿着圆周在该点的切线方向。
2、 匀速圆周运动的角速度是指做圆周运动的物体与圆心所连半径转过的角度跟所用
时间的比值。
3、 匀速圆周运动的周期是指____________________________所用的时间。
（三） 线速度、角速度、周期
1、 线速度与角速度的关系是 V=ωr ，角速度与周期的关系式是ω=2π/T。
2、 质点以半径 r=0.1m 绕定点做匀速圆周运动，转速 n=300r/min，则质点的角速度为
_______rad/s,线速度为_______m/s。
3、 钟表秒针的运动周期为_______s，频率为_______Hz，角速度为_______rad/s。
（四） 向心力、相信加速度
1、 向心力是指质点做匀速圆周运动时，受到的总是沿着半径指向圆心的合力，是变力。
2、 向心力的方向总是与物体运动的方向_______，只是改变速度的_______，不改变线
速度的大小。
3、 在匀速圆周运动中，向心加速度的_______不变，其方向总是指向_______，是时刻
变化的，所以匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
4、 向心加速度是由向心力产生的，在匀速圆周运动中，它只描述线速度方向变化的快
慢。
5、 向心力的表达式_______________。向心加速度的表达式_______________。
6、 向心力是按照效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使
物体产生_______，它就是物体所受的向心力。
7、 火车拐弯时，如果在拐弯处内外轨的高度一样，则火车拐弯所需的向心力由轨道对
火车的弹力来提供，如果在拐弯处外轨高于内轨，且据转弯半径和规定的速度，恰
当选择内外轨的高度差，则火车所需的向心力完全由__________和________的合力
来提供。
8、 汽 车 通 过 拱 桥 或 凹 的 路 面 时 ， 在 最 高 点 或 最 低 点 所 需 的 向 心 力 是 由
__________________的合力来提供。
【考点导航】
一、匀速圆周运动中，线速度、角速度、周期、频率、转速之间的关系
T=1/f ω=2π/T=2πf V=2πr/T = 2πrf ω=2πn n=f
二、匀速圆周运动的特点
加速度的大小不变，方向总是指向圆心，时刻在改变，是变加速曲线运动，做匀速
圆周运动的物体所受的合外力全部用来提供向心力，即合力的方向指向圆心。
三、向心加速度、向心力
1、 根据 F=ma 知，向心力和向心加速度的方向相同，都时刻指向圆心，时刻在发
生变化。
2、 向心力的来源：可以是任何一个力，可以是任何一个力的分力，也可以是某几
个力的合力。
一、描述圆周运动的物理量及其相互关系
1、线速度
⑴定义：质点做圆周运动通过的弧长 s 和所用时间 t 的比值叫做线速度.
⑵大小：
2s rv t T
单位为 m/s.
⑶方向：某点线速度的方向即为该点的切线方向.（与半径垂直）
⑷物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.
注：对于匀速圆周运动，在任意相等时间内通过的弧长都相等，即线速度大小不变，方向时
刻改变。
2、角速度
⑴定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度 跟 所 用 时
间 t 的比值，就是质点运动的角速度.
⑵大小： 单位:rad/s.
⑶物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢.
注：对于匀速圆周运动，角速度大小不变。
说明：匀速圆周运动中有两个结论：
⑴同一转动圆盘(或物体)上的各点角速度相同．
⑵不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
3、周期、频率、转速
⑴周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期。用 T 表示，单位为 s。
⑵频率：做匀速圆周运动的物体在 1 s 内转的圈数叫做频率。用 f 表示，其单位为转/秒(或
赫兹)，符号为 r/s(或 Hz)。
⑶转速：工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。转速是指物体单位
时间所转过的圈数，常用符号 n 表示，转速的单位为转/秒，符号是 r/s，或转/分(r/min)。
4、向心加速度
⑴定义：做圆周运动的物体，指向圆心的加速度称为向心加速度.
⑵大小：
2
t T
⑶方向：沿半径指向圆心.
⑷意义：向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢.
说明:
①向心加速度总指向圆心，方向始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不
改变速度的大小。
②向心加速度方向时刻变化，故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动(或称非
匀变速曲线运动).
③向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。对于匀速圆周运动，其所受的合外力
就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。对于非
匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动。如图所示，小球的合力不指向圆心，因而其实
际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，其只改变速度的方向。
而沿切线的分加速度只改变速度的大小。
5、向心力
⑴定义：做圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力，叫向心力。
⑵方向：向心力的方向沿半径指向圆心，始终和质点运动方向垂直，即总与圆周运动的线速
度方向垂直。
⑶大小:
⑷向心力的效果：向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
补充知识：同轴传动、皮带传动和齿轮传动
两个或者两个以上的轮子绕着相同的轴转动时，不同轮子上的点具有相同的角速度，通过
皮带传动的两个轮子上，与皮带接触的点具有相同的线速度，齿轮传动和皮带传动具有相同
的规律。
二、离心运动和向心运动
1、离心运动
⑴定义：做圆周运动的物体，在所受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力
的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
⑵本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向．
⑶受力特点
当 F＝mω2r 时，物体做匀速圆周运动；
当 F＝0 时，物体沿切线方向飞出；
当 F
mω2r，物体逐渐向圆心靠近．如
图所示．
三、圆周运动中的动力学问题分析
1、向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的
合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2、向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3、解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
(5)求解、讨论．
四、圆周运动当中的各种模型分析
1、汽车转弯问题
(1)路面水平时，转弯所需的向心力由静摩擦力提供，若转弯半径为 R，路面与车轮之间的
最大静摩擦力为车重的μ倍，汽车转弯的最大速度为
计算车辆通过倾斜弯道问题时应注意：
公路弯道倾斜或铁路弯道外轨高于内轨，如果车辆转弯时的速度大于设计速度，此时汽车受
到的静摩擦力沿斜面向内侧，火车受到外轨的压力沿斜面向内侧。（如图所示）这个力不是
全部用于提供向心力。只有其水平分力提供向心力。原因是车辆做圆周运动的轨道平面是水
平面。
θ
N
mg
f(N1)
O
θ
N
mg
y
x
f(N1)
O
受力分析如下图
θ
N
mg
y
x
f(N1)
O
受力分析如图所示，可得：
解得：
如果车辆转弯时的速度小于设计速度，同理可得：
2、水流星模型(竖直平面内的圆周运动——是典型的变速圆周运动)
研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。(圆周运动实例)
①火车转弯
②汽车过拱桥、凹桥 3
③飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。
④物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上
绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等）。
⑤万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、重
力与弹力的合力——锥摆、（关健要搞清楚向心力怎样提供的）
（1）火车转弯：设火车弯道处内外轨高度差为h，内外轨间距L，转弯半径R。由于外轨略高于内轨，使
得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力。
为转弯时规定速度）（得由 合 00
2
0sintan vL
RghvR
vmL
hmgmgmgF Rgv tan0
(是内外轨对火车都无摩擦力的临界条件)
①当火车行驶速率V等于V0时，F合=F向，内外轨道对轮缘都没有侧压力
②当火车行驶V大于V0时，F合F向，内轨道对轮缘有侧压力，F合-N'= R
2
m v
即当火车转弯时行驶速率不等于V0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度
不宜过大，以免损坏轨道。火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现
（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：
受力：由mg+T=mv2/L知,小球速度越小,绳拉力或环压力T越小,但T的最小值只能为零,此时小球以重力提供作向心力.
结论：通过最高点时绳子(或轨道)对小球没有力的作用(可理解为恰好通过或恰好通不过的条件)，此时只有
重力提供作向心力. 注意讨论：绳系小球从最高点抛出做圆周还是平抛运动。
能过最高点条件：V≥V临（当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）
不能过最高点条件：Vv0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为α，小球受力
如图丙所示．则
FTsin α＝mv 22
lsin α
⑤
FTcos α－mg＝0 ⑥
由⑤⑥两式解得 FT＝2mg
答案 (1)1.03mg (2)2mg
【例 25】如图所示，用细绳一端系着的质量为 M＝0.6 kg 的物体
A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质
量为 m＝0.3 kg 的小球 B，A 的重心到 O 点的距离为 0.2 m．若 A 与转
盘间的最大静摩擦力为 Ff＝2 N，为使小球 B 保持静止，求转盘绕中
心 O 旋转的角速度ω的取值范围．(取 g＝10 m/s2)
答案 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
解析 要使 B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心
力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆
心 O；角速度取最小值时，A 有向心趋势，静摩擦力背离圆心 O.设角速度ω的最大值为ω1，
最小值为ω2
对于 B：FT＝mg
对于 A：FT＋Ff＝Mrω 21
或 FT－Ff＝Mrω 22
代入数据解得ω1＝6.5 rad/s，ω2＝2.9 rad/s
所以 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.
【例 26】如右图所示，轻线一端系一质量为 m 的小球，另一端穿过光滑小孔套在正下方的
图钉 A 上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为 a、角速度为ω的匀速圆周运动. 现拔掉
图钉 A 让小球飞出，此后细绳又被 A 正上方距 A 高为 h 的图钉 B 套住，达稳定后，小球又
在平台上做匀速圆周运动. 求：
(1)图钉 A 拔掉前，轻线对小球的拉力大小？
(2)从拔掉图钉 A 到被图钉B 套住前小球做什么运动？所用的时间为
多少？
(3)小球最后做圆周运动的角速度．
【例 27】如图 11 所示，竖直环 A 半径为 r，固定在木板 B 上，
木板 B 放在水平地面上，B 的左右两侧各有一挡板固定
在地上，B 不能左右运动，在环的最低点静放有一小球
C，A、B、C 的质量均为 m.现给小球一水平向右的瞬时
速度 v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通 图 11
过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满
足( CD )
A．最小值 4gr B．最大值 6gr
C．最小值 5gr D．最大值 7gr
解析 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足 mg＝mv 20
r
，由最低点到最高
点由机械能守恒得 1
2mv 2min＝mg·2r＋1
2mv 20 ，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为 5gr；
为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为 2mg，满足 3mg
＝mv 21
r
，从最低点到最高点由机械能守恒得：1
2mv 2max＝mg·2r＋1
2mv 21 ，可得小球在最低点
瞬时速度的最大值为 7gr.
答案 CD
【例 28】一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，
使小球在竖直面内做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列
说法正确的是 ( A )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是 gR
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
答案 A
解析 因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零，A 对；
在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零，B 错；随着速度增大，杆对球的
作用力可以增大也可以减小，C、D 错.
【例 29】如图甲所示，用一根长为 l＝1 m 的细线，一端系一质量为 m＝1 kg 的小球(可视为
质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面
内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线和张力为 T.(取 g＝10 m/s2，结果可用
根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0 至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为 60°，则小球的角速度ω′为多大？
(3)细线的张力 T 与小球匀速转动的角速度ω有关，请在如图乙所示的坐标纸上画出当ω的
取值范围在 0 到ω′之间时的 T－ω2 图像(要求标明关键点的坐标值)．
【例 30】如图所示，小球被长为 L 的细绳静止地悬挂着，给小球多大的水平初速度，才能
使绳在小球运动过程中始终绷紧？
第三节
第四节 圆周运动
创新训练
1．—个物体以角速度ω做匀速圆周运动时．下列说法中正确的是：（ A ）
A．轨道半径越大线速度越大 B．轨道半径越大线速度越小
C．轨道半径越大周期越大 D．轨道半径越大周期越小
2．下列说法正确的是：（ C ）
A．匀速圆周运动是一种匀速运动 B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动 D．物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改
变线速度大小
3．如图所示，小物体 A 与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则
A 的受力情况是：（ B ）
A．受重力、支持力 B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、向心力、摩擦力 D．以上均不正确
4．一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上，当车厢突然制动时，则：（ B ）
A．绳的拉力突然变小 B．绳的拉力突然变大
C．绳的拉力没有变化 D．无法判断拉力有何变化
5、如图—3 所示的皮带传动装置中，轮 A 和 B 同轴，A、B 、C 分别
是三个轮边缘的质点，且 RA=RC=2RB，则三质点的向心加速度之比 aA：
aB：aC 等于（ A ）
A．4：2：1 B．2：1：2 C．1：2：4 D．4：1：4
6．质量为 m 的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，
绳子所受的张力之差是：（ A ）
A、6mg B、5mg
C、2mg D、条件不充分，不能确定。
7. 两个质量分别是 m1 和 m2 的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为 L 的细线连
接，水平杆随框架以角速度ω做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图 5-18 所
示，求两球离转动中心的距离 R1 和 R2 及细线的拉力．
解析：绳对 m1 和 m2 的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意
R1＋R2＝L，R2＝L-R1
对 m1：F＝m1ω2R1
对 m2：F＝m2ω2R2＝m2ω2(L-R1)
所以 m1ω2R1＝m2ω2(L-R1)
即得：R1＝ 2
1 2
m L
m m
R2＝L-R1＝ 1
1 2
m L
m m
F＝m1ω2· 2
1 2
m L
m m
＝
2
1 2
1 2
m m L
m m
答案： 2
1 2
m L
m m
； 1
1 2
m L
m m
；F＝
2
1 2
1 2
m m L
m m
8．A、B 两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A 球的轨道半径是 B 球轨道半径的 2 倍，A
的转速为 30r/min，B 的转速为 15r/min。则两球的向心加速度之比为（ D ）
A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1
9、如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为 r，a 为它边缘上一点；左侧
是一轮轴，大轮半径为 4r，小轮半径为 2r，b 点在小轮上，到小轮中心的距
离为 r。c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打
滑，则：（ C ）
①a 点和 b 点的线速度大小相等
②a 点和 b 点的角速度大小相等
③a 点和 c 点的线速度大小相等
④a 点和 d 点的向心加速度大小相等
A.①③ B. ②③ C. ③④ D.②④
10、如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球 A 和 B，
在各自不同的水平布做匀速圆周运动，以下说法正确的是：（ A ）
A. VA>VB B. ωA>ωB C. aA>aB D.压力 NA>NB
11、半径为 R 的光滑半圆柱固定在水平地面上，顶部有一小物块，如图所示，
今给小物块一个初速度 gRv 0 ，则物体将：（ C ）
A. 沿圆面 A、B、C 运动
B. 先沿圆面 AB 运动，然后在空中作抛物体线运动
C. 立即离开圆柱表面做平抛运动
D. 立即离开圆柱表面作半径更大的圆周运动
12、如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于 O 点，在 O 点正下方的 P 点钉一
颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子
时：（ B ）
①小球的瞬时速度突然变大
②小球的加速度突然变大
③小球的所受的向心力突然变大
④悬线所受的拉力突然变大
A. ①③④ B. ②③④
C. ①②④ D.①②③
13、如图所示，汽车以速度 V 通过一半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力的说
法正确的是（ D ）
A. 汽车受重力、支持力、向心力
B. 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力
C. 汽车的向心力是重力
D. 汽车的重力和支持力的合力是向心力
14．在光滑的水平面上相距 40 cm 的两个钉子 A 和 B，如图所示，长 1 m 的细
绳一端系着质量为 0.4 kg 的小球，另一端固定在钉子 A 上，开始时，小球和钉
子 A、B 在同一直线上，小球始终以 2 m/s 的速率在水平面上做匀速圆周运动．若
细绳能承受的最大拉力是 4 N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是：
（ B ）
A．0.9π s B．0.8π s C．1.2π s D．1.6π s
解析：当小球绕 A 以 1 m 的半径转半圈的过程中，拉力是
F1＝m
2
1
v
r
＝0.4×
22
1
＝1.6 N，绳不断
当小球继续绕 B 以(1－0.4)＝0.6 m 的半径转半圈的过程中，拉力为
F2＝m
2sin / 2
cos
gs v
g
＝0.4×
22
0.6
＝2.67 N，绳不断
当小球再碰到钉子 A，将以半径
(0.6－0.4)＝0.2 m 做圆周运动，
拉力 F3＝m
2
3
v
r
＝0.4×
22
0.2
＝8 N．绳断
所以在绳断之间小球转过两个半圈，时间分别为
t1＝
1
1
2
2 12
2 2
r
s
v v
＝0.5π s
t2＝
2
2
2
2 0.62
2 2
r
s
v v
＝0.3π s
所以断开前总时间是
t＝t1＋t2＝(0.5π＋0.3π)s＝0.8π s
15．如图所示，质量 m=0.1kg 的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内做半径为 r=0.2m 的圆
周运动，已知小球在最高点的速率为 v1=2m/s，g 取 10m/s2，试求：
（1）小球在最高点时的细绳的拉力 T1=？
（2）小球在最低点时的细绳的拉力 T2=？
答案．（1）T﹦3N （2）T﹦7N
16．如图所示，半径为 R 的圆板置于水平面内，在轴心 O 点的正上方高 h 处，水
平抛出一个小球，圆板做匀速转动，当圆板半径 OB 转到与抛球初速度方向平行
时，小球开始抛出，要使小球和圆板只碰一次，且落点为 B，求：
(1)小球初速度的大小．
(2)圆板转动的角速度。
解析：(1)小球做平抛运动在竖直方向
h＝ 1
2 gt2
t＝ 2h
g
在水平方向：
s＝v1t＝v0
2h
g
＝R
所以 v0＝R
2
g
h
(2)因为 t＝nT＝n 2
即 2h
g
＝n 2
所以ω＝2πn
2
g
h
(n＝1，2，…)
答案：(1)R
2
g
h
(2)2πn
2
g
h
(n＝1，2，…)
如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好无碰撞地落在邻近平台的一倾角为α＝530 的光
滑斜面顶端，并沿光滑斜面下滑．已知斜面顶端与平台的高度差 h＝0.8 m，重力加速度 g
取 10 m/s2，sin530＝0.8，cos530＝0.6，求：
(1)小球水平抛出的初速度 v0 是多少？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 x 是多少？
(3)若斜面顶端高 H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间 t 到达斜面底端？
答案：3m/s 1.2m 2.4s
