天津市宝坻区大钟庄高级中学2019-2020学年高一6月月考数学试题

天津市宝坻区大钟庄高级中学2019-2020学年高一6月月考数学试题

高一数学6月阶段考试题 一、选择题（本大题共10小题，共50分）‎ ‎1.已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋‎2m－8)i(i为虚数单位),若z<6,则实数m＝（ ）‎ A. 2 B. 2或－‎4 ‎C. 4 D. －2或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据虚数不能比较大小与z<6可知为实数,故虚部为0,进而求得的值,再根据z<6‎ ‎【详解】因为z<6,故为实数,故,即,解得或.‎ 当时成立；当时, 不满足.故. 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了复数的性质以及根据参数的类型求解参数的问题,属于基础题.‎ ‎2.一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：‎ A. 100 B. ‎80 ‎C. 60 D. 40‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，故选B.‎ 考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.‎ ‎4. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．‎ 考点：古典概型及其概率的计算．‎ ‎5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．‎ 详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，‎ 在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；‎ 在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；‎ 在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，‎ 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；‎ 在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.‎ ‎6.已知等边的边长为1，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系．‎ ‎【详解】解：因为三角形是等边三角形，边长为1，各内角为，‎ 所以.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补．‎ ‎7.如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为（ ）‎ A. 2S B. S C. 2S D. S ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可得梯形OABC的面积.‎ ‎【详解】由，可得梯形OABC的面积.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题,‎ ‎8.在中.已知是延长线上一点.点为线段中点.若.且.则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】,,,‎ 可得:‎ 由 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎9.如图，三棱锥中，，，M，N分别为，的中点，则异面直线与所成角余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点,连接,即可得,则将异面直线与所成角转化为 与所成的角,再利用解三角形的方法求解夹角余弦值即可.‎ ‎【详解】‎ 取中点,连接,又因为为中点,故,故与所成角即为与所成的角.由题得,又为的中点, ,,所以,.‎ 故,又.‎ 又,故 ‎ 所以异面直线与所成角余弦值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用空间直线夹角的问题,需要根据题意利用平行转换异面角为三角形中的角度再计算,属于基础题.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由四棱锥的体积是三棱柱体积的，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．‎ 详解：四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号．‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．‎ 二、填空题（本大题共5小题，共20分）‎ ‎11.计算复数_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】解：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎12.已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是________．‎ ‎【答案】4.7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把这组数据按从小到大的顺序排列，根据第p百分位数的定义可得答案.‎ ‎【详解】把这组数据按从小到大的顺序排列，可得：4.2，4.7，5.0，5.3，5.5，6.1共6个数据，‎ 由 ，所以这组数据的第25百分位数是第2项，即4.7.‎ 故答案为：4.7.‎ ‎【点睛】本题考查第p百分位数的定义，属于基础题.‎ ‎13.已知向量，，则向量的坐标是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，代入点坐标，即可．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本道题考查了向量加减法运算，代入点坐标，即可．‎ ‎14.如图，点在正方形所在的平面外，，则与所成角的度数为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为坐标原点，DA所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，DP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，令，求得，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，以D为坐标原点，DA所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，DP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 因为点P在正方形ABCD所在平面外，平面，‎ 令，所以，‎ 所以,‎ 所以，所以，‎ 即异面直线PA与BD所成的角为 ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.给出下列命题：‎ ‎①如果a，b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b的任何平面；‎ ‎②如果直线a和平面α满足a//α，那么直线a与平面α内的任何直线都平行；‎ ‎③如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b．‎ 其中错误命题的序号是___________．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题逐个分析，可得答案.命题（1），a，b可能在同一个平面内，故（1）错误；命题（2），直线a与平面α内的直线可能异面，故（2）错误；命题（3），a，b可能相交或异面，故（3）错误，即得答案.‎ ‎【详解】（1）如果a，b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b任何平面.不正确，a，b可能在同一个平面内；‎ ‎（2）如果直线a和平面α满足a//α，那么直线a与平面α内的任何直线都平行.不正确，直线a与平面α内的直线可能平行，也可能异面；‎ ‎（3）如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b．不正确，a，b的位置关系为：平行、相交或异面.‎ 故答案为：（1）（2）（3）.‎ ‎【点睛】本题考查线线、线面位置关系，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共50分）‎ ‎16.在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．‎ ‎（Ⅰ）求∠A；‎ ‎（Ⅱ）求AC边上的高．‎ ‎【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为 ‎【解析】‎ 分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．‎ 详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得 =，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．‎ ‎（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．‎ 如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎17.设，，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】∵，∴.又∵，∴.‎ ‎∴，则.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的模的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.掷红、白两颗骰子，事件A＝{红骰子点数小于3}，事件B＝{白骰子点数小于3}，求：‎ ‎（1）P（A∩B）；‎ ‎（2）P（A∪B）．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 掷红、白两颗骰子，列举出现的所有向上的点数.求出基本事件总数，事件，包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，即可求出.‎ ‎【详解】掷红、白两颗骰子，出现向上的点数如下表所示：‎ 白1‎ 白2‎ 白3‎ 白4‎ 白5‎ 白6‎ 红1‎ ‎（红1，白1）‎ ‎（红1，白2）‎ ‎（红1，白3）‎ ‎（红1，白4）‎ ‎（红1，白5）‎ ‎（红1，白6）‎ 红2‎ ‎（红2，白1）‎ ‎（红2，白2）‎ ‎（红2，白3）‎ ‎（红2，白4）‎ ‎（红2，白5）‎ ‎（红2，白6）‎ 红3‎ ‎（红3，白1）‎ ‎（红3，白2）‎ ‎（红3，白3）‎ ‎（红3，白4）‎ ‎（红3，白5）‎ ‎（红3，白6）‎ 红4‎ ‎（红4，白1）‎ ‎（红4，白2）‎ ‎（红4，白3）‎ ‎（红4，白4）‎ ‎（红4，白5）‎ ‎（红4，白6）‎ 红5‎ ‎（红5，白1）‎ ‎（红5，白2）‎ ‎（红5，白3）‎ ‎（红5，白4）‎ ‎（红5，白5）‎ ‎（红5，白6）‎ 红6‎ ‎（红6，白1）‎ ‎（红6，白2）‎ ‎（红6，白3）‎ ‎（红6，白4）‎ ‎（红6，白5）‎ ‎（红6，白6）‎ 共有36种可能.‎ ‎（1）事件包含（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2）4种，‎ ‎.‎ ‎（2）事件包含（红1，白1），（红1，白2），（红1，白3），（红1，白4），（红1，白5），（红1，白6），（红2，白1），（红2，白2），（红2，白3），（红2，白4），（红2，白5），（红2，白6），（红3，白1），（红4，白1），（红5，白1），（红6，白1），（红3，白2），（红4，白2），（红5，白2），（红6，白2）共20种，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.‎ ‎19.如图所示，已知平面，，分别是，的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）若，，求直线与平面所成的角.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中位线定理,可得,即可由线面平行判定定理证明平面;‎ ‎（2）根据题意可得,而又因为,所以平面,即可由平面与平面垂直的判定定理证明平面平面;‎ ‎（3）由题意可知为直线与平面所成的角,根据线段关系求得,即可求得直线与平面所成的角大小.‎ ‎【详解】（1）因为,分别是,的中点,‎ 所以.‎ 又平面且平面,‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面,平面,‎ 所以.‎ 又且,‎ 所以平面.‎ 又平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎（3）因为平面,所以为直线与平面所成的角.‎ 在直角中,,,‎ 所以.‎ 所以.‎ 故直线与平面所成的角为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的证明,直线与平面夹角的求法,属于基础题.‎ ‎20.有20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求频率直方图中a的值；‎ ‎（2）分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；‎ ‎（3）试求本次考试数学平均成绩．‎ ‎【答案】（1）；（2）2，3；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率直方图中所有小矩形的面积和等于1，可求a的值；‎ ‎（2）成绩落在[50，60)与[60，70)中频率分别与20相乘，即得学生人数；‎ ‎（3）频率直方图中每个小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标，即得本次考试数学的平均成绩．‎ ‎【详解】（1）由频率直方图可得.‎ ‎（2）成绩落在[50，60)中的学生人数为，‎ 成绩落在[60，70)中的学生人数为.‎ ‎（3）本次考试数学的平均成绩为 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，考查学生的基本计算能力，属于基础题.‎