福建省莆田市莆田第七中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

福建省莆田市莆田第七中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

2019—2020 学年上学期期中考试卷 高三数学（文科） 一、单选题（每小题 5 分） 1.集合  2| ( 1) 0A x x x   的子集个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合 A,再求集合 A 的子集的个数. 【详解】因为 {0,1}A  ， 所以其子集个数是 22 4 . 故选 C. 【点睛】本题主要考查集合的化简和子集的个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平. 2.函数   1 2 43 xf x x    的定义域是（ ） A.  2, B.  3, C.    2,3 3, D.    2,3 3, 【答案】C 【解析】 【分析】 求   1 2 43 xf x x    的定义域，只要注意分母不为 0，偶次方根大于等于 0，然后解不 等式组即可. 【详解】因为   1 2 43 xf x x    ，所以 3 0 2 4 0x x      ，解得 2 3x  或 3x  ，答案选 C. 【点睛】本题考查定义域问题，注意对不等式组进行求解即可，属于简单题. 3.已知 0.72( )3a  ， 1 4 log 9b  ， 1 25( )2c  ，则 a ，b ， c 的大小关系是( ) A. a b c  B. a c b  C. b a c  D. b c a  【答案】C 【解析】 【分析】 由题意比较所给的数与 0,1 的大小即可. 【详解】由指数函数的性质可知 0.72 3a       0,1 ， 1 25 2c      1 ， 由对数函数的性质可知 1 4 9b log 0 ， 据此可得 b a c  . 本题选择 C 选项. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因 幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方 法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据 指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解， 既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1” 为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 4.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知sin sin (sin cos ) 0B A C C   ，a=2， c= 2 ，则 C= A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵ π 2 ＜A＜π， ∴A= 3π 4 ， 由正弦定理可得 c sin sin a C A  ， ∵a=2，c= 2 ， ∴sinC= sinc A a = 22 12 =2 2  ， ∵a＞c， ∴C= π 6 ， 故选 B． 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正 弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理， 应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 ab 及 2b 、 2a 时，往往用 余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦 函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5.若函数    3sinf x x   5sin 2 x      ，且   2f   ，   0f   ，   的 最小值是 2  ，则  f x 的单调递增区间是（ ） A. 22 ,23 3k k        k Z B. 52 ,26 6k k        k Z C. 5 ,12 12k k        k Z D. ,3 6k k        k Z 【答案】A 【解析】 【分析】 本题首先要对三角函数进行化简，再通过   的最小值是 2  推出函数的最小正周期，然 后得出 的值，最后得出函数的单调递增区间． 【详解】    3sinf x x   5sin 2 x         3sin x  cos x   2sin 6x      再由   2f   ，   0f   ，   的最小值是 2  可知， 1  ．     2sin 6f x x      的单调递增区间为 2 22 6 2k x k         ，  k Z 22 ,23 3x k k         k Z ． 【点睛】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期 以及增区间． 6.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 12 1n nS S   （ 2n  ，且 *nN ）且 2 3S  ，则 5 5 S a  （ ） A. 63 32 B. 31 16 C. 123 64 D. 127 128 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 1 1S  ，由题得  11 2 1n nS S    ，所以 1nS  是以 1 1 2S   为首项，2 为公比的等 比数列，得 2 1n nS   ，再求 5 5 S a 的值. 【详解】由 2 3S  及 12 1n nS S   （ 2n  ，且 *nN ），得 2 12 1S S  ， 所以 13 2 1S  ， 所以 1 1S  . 因为 12 1n nS S   ， 所以  11 2 1n nS S    ， 则数列 1nS  是以 1 1 2S   为首项，2 为公比的等比数列. 所以 11 2 2n nS    . 则 2 1n nS   ， 即   5 5 5 5 4 5 5 4 2 1 2 1 31 162 1 2 1 S a S S        . 故选 B. 【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和通项的求法，考查数列的前 n 项和和 na 的关系， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 7.在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量 ( ,cos )a B α ， (cos , )A b  β ， 若   ，则 ABC 一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 由   和正弦定理得到sin 2 sin 2A B ，所以 2 2A B 或 2 2A B   ，化简即得解. 【详解】因   ，所以 cos cos 0a A b B  ，所以 cos cosb B a A ， 由正弦定理可知sin cos sin cosB B A A ， 所以sin 2 sin 2A B . 又 , (0, )A B  ，且 (0, )A B   ， 所以 2 2A B 或 2 2A B   ， 所以 A B 或 2A B   ， 则 ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故选 D. 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化和三角形形状的判定，考查平面向量垂直的坐标表 示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.若向量 (0, 2)m   ， ( 3,1)n  ，则与 2m n  共线的向量可以是（ ） A. ( 3, 1) B. ( 1, 3) C. ( 3, 1)  D. ( 1, 3)  【答案】B 【解析】 【分析】 先利用向量坐标运算求出向量 2m n  ,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】    0, 2 , 3,1m n     2 3, 3m n        31, 3 3, 33     故选 B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与 横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 9.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我 cong ，周四丈 八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺， 高 1 丈 1 尺，问它的体积是多少？”（注：1 丈=10 尺，取 3  ）（ ） A. 704 立方尺 B. 2112 立方尺 C. 2115 立方尺 D. 2118 立方 尺 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积. 【详解】设圆柱体底面圆半径为 r ，高为 h ，周长为C . 因为 2C r ，所以 2 Cr  ， 所以 2 2 2 2 2 48 11 4 4 12 C C hV r h h          2112 （立方尺）. 故选 B 项. 【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题. 10.已知 (cos2 ,sin ), (1,2sin 1), ,2a b              ，若 2 5a b   ，则 tan 4     的值为（ ） A. 1 3 B. 2 7 C. 1 7 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 运用平面向量数量积的坐标表示公式，结合 2 5a b   ，可以求出 3sin 5   ，结合 ,2      ， 根据同角三角函数的关系式，可以求出 3tan 4    ，最后利用两角和的正切公式求出 tan 4     的值. 【详解】 2 2 2cos2 sin (2sin 1) 1 2sin 2sin sin 1 sin 5a b                   ， 所以 3sin 5   . 因为 ,2      ，所以 4cos 5    ， 所以 3tan 4    ，所以 tan 1 1tan 4 1 tan 7           . 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查 了两角和的正切公式，考查了数学运算能力. 11.已知实数 x ， y 满足 4 1x y     ， 1 4 5x y    ，则 9x y 的取值范围是（ ） A. [ 7,26] B. [ 1,20] C. [4,15] D. [1,15] 【答案】B 【解析】 【分析】 令 m x y  ， 4n x y  ，得到关于 ,x y 的二元一次方程组，解这个方程组，求出9x y 关 于 ,m n 的式子，利用不等式的性质，结合 ,m n 的取值范围，最后求出9x y 的取值范围. 【详解】解：令 m x y  ， 4n x y  ， ,3 4 3 n mx n my      , 则 8 5 5 5 209 4 1 ,3 3 3 3 3z x y n m m m            又 8 8 401 5 3 3 3n n      ，因此 8 031 59 23z x y n m      ，故本题选 B. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性 是解题的关键. 12.若函数   lnf x kx x  在区间 1, 上单调递增，则实数 k 的取值范围是（ ） A.  , 2  B.  , 1  C.  2, D.  1, 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： ，∵函数   lnf x kx x  在区间  1, 单调递增， ∴ 在区间  1, 上恒成立．∴ ，而 在区间  1, 上单调递减， ∴ ．∴ 的取值范围是 1, ．故选 D． 考点：利用导数研究函数的单调性. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.在△ABC 中，D 是 BC 的中点，AD＝8，BC＝20，则 AB AC  的值为 ． 【答案】－36 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 在 △ABC 中 ， D 是 BC 的 中 点 ， 结 合 向 量 加 减 运 算 可 得 ： ,AB DB DA AC DC DA         ， 则 2 ( ) ( ) ( ) 100 64 36AB AC DB DA DC DA DB DC DA DB DC DA                          ． 考点：向量的运算 14.已知等差数列{ }na 是递增数列， nS 是{ }na 的前 n 项和，若 2 4,a a 是方程 2 6 5 0x x   的 两个根，则 6S 的值为_________ 【答案】24 【解析】 因为 2 4,a a 是方程 2 6 5 0x x   的两个根且 na 是递增数列，所以解得 2 41, 5a a  ，所以 5 1 24 2d   ， 1 1 2 1a     ， 6 6 5 26 ( 1) 242S       ，故填 24 . 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 n 项和，主要利 用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的 和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 15.已知正数 ,x y 满足 1,x y  则 4 1 2 1x y   的最小值为__________． 【答案】 9 4 【解析】 【分析】 将 1x y  变 形 为 2 1 4x y    后 ， 可 将 4 1 2 1x y   变 形 为    4 1 12 1 42 1 x yx y              ，展开并用基本不等式求解即可. 【详解】由题可知： 2 1 4x y    ， 故 4 1 2 1x y   =    4 1 12 1 42 1 x yx y              = 1 2 1 1 1 25 4 5 9 4 2 42 1 42 14 y x y x x y x y                         当且仅当 x=y 时取得等号 【点睛】本题考查了 “乘 1 法”和基本不等式求最值，考查了变形的能力，计算能力，是中 档题. 16.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 是对角线 1AC 上的动点（点 M 与 1A C、 不重合），则下列结论正确的是____. ①存在点 M ，使得平面 1A DM  平面 1BC D ； ②存在点 M ，使得 DM / / 平面 1 1B CD ； ③ 1A DM 的面积不可能等于 3 6 ； ④若 1 2,S S 分别是 1A DM 在平面 1 1 1 1A B C D 与平面 1 1BBC C 的正投影的面积，则存在点 M ， 使得 1 2S S= . 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 逐项分析. 【详解】①如图 当 M 是 1AC 中点时，可知 M 也是 1AC 中点且 1 1B C BC ， 1 1 1A B BC ， 1 1 1 1A B B C B ， 所以 1BC  平面 1 1A B C ，所以 1 1BC A M ，同理可知 1BD A M ，且 1BC BD B ，所以 1A M  平面 1BC D ，又 1A M  平面 1A DM ，所以平面 1A DM  平面 1BC D ，故正确； ②如图 取 1AC 靠近 A 的一个三等分点记为 M ，记 1 1 1 1AC B D O ， 1OC AC N ，因为 1 1AC AC ，所以 1 1 1 2 OC C N AC AN   ，所以 N 为 1AC 靠近 1C 的一个三等分点，则 N 为 1MC 中 点，又O 为 1 1AC 中点，所以 1A M NO ，且 1 1A D B C ， 1 1 1A M A D A ， 1NO B C C ， 所以平面 1A DM  平面 1 1B CD ，且 DM  平面 1A DM ，所以 DM 平面 1 1B CD ，故正确； ③如图 作 1 1A M AC ，在 1 1AAC 中根据等面积得： 1 1 2 6 33 A M   ，根据对称性可知： 1 6 3A M DM  ，又 2AD  ，所以 1A DM 是等腰三角形，则 1 2 2 1 6 2 322 3 2 6A DMS                  ，故错误； ④如图 设 1AM aAC ， 1A DM 在平面 1111 DCBA 内的正投影为 1 1 1A D M ， 1A DM 在平面 1 1BBC C 内的正投影为 1 2B CM ，所以 1 1 11 1 2 22 2 2A D M aS S a     ， 1 22 1 2 1 22 22 2 2B CM aS S a       ，当 1 2S S= 时，解得： 1 3a  ，故正确. 故填：①②④. 【点睛】本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位 置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线 段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比 值为  ，然后统一未知数  去分析问题. 三、解答题（共 70 分） 17.已知集合 { | 2 10 1}A x m x m     ， { | 2 6}B x x   . （1）若 4m  ，求 A B ； （2）若 A B ，求 m 的取值范围. 【答案】（1） | 2 3x x  ；（2） 6 7m  或 9m  . 【解析】 【分析】 （1）由题意，代入 4m  ，得到集合 ,A B ，利用交集的运算，即可得到答案； （2）由题意，集合 A B ，分 A  和 A  两种情况讨论，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，代入 m 4 ，求得结合    A x 2 x 3 ,B x 2 x 6       ， 所以  A B x 2 x 3    . （2）因为 A B ①当 A , 2m 10 m 1   即 ，解得 m 9 ，此时满足题意. ② A , 2m 10 m 1, m 9    当 即 且 ，则 2 10 2 1 6 m m      则有 6 m 7  ， 综上： 6 m 7  或 m 9 . 【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及利用集合之间的包含关系求解参数问题，其中解 答中熟记集合的交集的运算，以及合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与 运算能力，属于基础题. 18.已知函数 ( ) sin( ) 0,| | 2f x A x           的图象的一部分如图所示. （1）求 ( )f x 的解析式； （2）当 5( , )3 6x   时，求函数 ( )f x 的值域. 【答案】(1) ( ) sin( )f x x  2 2 3 (2)  3  ，2 【解析】 【分析】 （1）从图像可以看出，此函数的最大和最小值分别为 2 和-2，则 2A  ，算出周期可以解出 的值，最后代入最高点 5 ,212      ，依据 的取值范围求出结果. （2）通过 x 的取值范围，求出 x  的取值范围，从图像中解出值域. 【详解】（1）由图可知 2A  ， 3 5 9( )4 12 3 12 T T         ， 又 2 2T    可得 ( ) 2sin(2 )f x x   ，代入最高点 5 ,212      ，可知 52 ( )12 2 3k k k Z              ，又 2 3       ， 故 ( ) sin( )f x x  2 2 3 . （2）由 5( , )3 6x   可得 423 3 3x     ， 故正弦函数 3sin(2 ) ,1 2sin(2 ) 3,23 2 3x x             . 【点睛】1、从图像求解三角函数解析式时首先可以由最大值剪最小值除以 2 求出 A 的值； 2、求解 时一般先由图像算出周期后得到； 3、求解 时要注意只能够代入最高或最低值所在的点，否则其它点代入得到的值并不唯一. 19.已知 A 、 B 、C 为 ABC 的三内角，且其对边分别为 a 、b 、 c ，若 1cos cos sin sin 2B C B C  ． （1）求角 A 的大小； （2）若 2 3, 4a b c   ，求 ABC 的面积． 【答案】（1） 2 3A  ；（2） 3 . 【解析】 【分析】 （1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出  cos B C 的值，确定出 B C 的 度数，即可求出 A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a 与 b c 的值代入求出bc 的值，再由 sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的 面积. 【详解】(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝ ， ∴cos(B＋C)＝ . ∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝ .∴cosA＝－ . 又∵0

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