江苏省苏州市吴江汾湖中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题
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高一数学试卷
一、选择题(每小题只有一个正确答案，共25题，每题3分）
1.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是
A. 0 B. 2
C. 0或2 D. 0或1或2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合包含关系，确定实数m的值.
详解】∵集合A={0，1，2}，B={1，m}，B⊆A，∴m=0或m=2
∴实数m的值是0或2．故选C．
【点睛】本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力.
2.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用周期的求解公式可求.
【详解】因为，所以其最小正周期为,故选C.
【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期求解，题目较为简单.
3.化简的结果是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项．
【详解】因为为第二象限角，
所以，故选D.
【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．
4.幂函数的图象过点 ，那么的值为（ ）
A. B. 64 C. D.
【答案】A
【解析】
设幂函数的解析式为 ∵幂函数的图象过点
.
选A
5.下列诱导公式中错误是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合诱导公式，对每个选项逐一验证，可得错误的使用公式的选项.
【详解】对于选项，由可得正确；
对于选项，由可得错误；
对于选项，由可得正确；
对于选项，由可得正确.
故选.
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”是正确记忆诱导公式的口诀.
6.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：利用二次函数的性质即可得出答案.
解析：，
对称轴为，抛物线开口向上，
，
当时，，
距离对称轴远，
当时，，
.
故选：D.
点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论
7.已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为 ( )
A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4
【答案】C
【解析】
试题分析：设扇形的圆心角为，半径为，则解得或，故选C．
考点：1、弧度制的应用；2、扇形的面积公式.
8.设，则（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算，再计算．
【详解】由题意，∴．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的计算，计算复合函数值，要从里往外计算．
9.已知向量，若则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的模长公式求解即可.
【详解】，．
故选D
【点睛】本题主要考查了向量的模长公式，属于基础题.
10.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦函数在上为增函数，在上为减函数，从而可得结果.
【详解】因为正弦函数在上为增函数，
在上为减函数，
所以当时有最大值此时的最大值为1；
当时有最小值此时的最小值为；
所以函数的值域为.
【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，利用单调性求最值，属于基础题.
11.已知，那么的值是（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．
【详解】由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，
得5，
∴tanα．
故选D．
【点睛】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
12.已知角的终边经过点，则的值是
A. 1或 B. 或 C. 1或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求得后可得结论．
【详解】由题意得点与原点间的距离．
①当时，，
∴，
∴．
②当时，，
∴，
∴．
综上可得的值是或．
故选B．
【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．
13.如果点位于第三象限，那么角位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据即可得到，进而得到的范围．
【详解】点位于第三象限，
是第二象限角．
【点睛】本题考查了三角函数值在各象限内的符号．解题的关键是熟记三角函数值在各个象限内的符号．
14.若函数的图象经过点,则函数的图象必定经过的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令求解．
【详解】令，则，∴图象过点，
故选：B．
【点睛】本题考查函数的概念，需要用整体思想求解．也可从图象平移变换求解．
15.已知集合 , ，则等于（ ）
A. B. C. D. R
【答案】B
【解析】
【分析】
分析集合可得，A={y|y>0}，B={y|0
1时,有y=>0,即A={y|y>0}，
由指数函数的性质,当x>1时,有0<<1,即B={y|00}，
故选B.
【点睛】本题主要考察集合的运算，属于高考必考题，注意集合代表元素，熟悉指数对数的图像是作答本题的关键
16.在中，若，则一定是（ ）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
试题分析：由于，化简得，因此.
考点：判断三角形的形状.
17.要得到的图象，只需将的图象 ( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.
【详解】将的图象向左平移个单位后，得到的图象，故选D.
【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x的系数对平移单位的影响.
18.函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由于函数是上的偶函数，所以其图象关于轴对称,然后利用单调性及得 ,即可求得的取值范围.
【详解】函数是上的偶函数，
的图象关于轴对称，
又在上是增函数，
所以可得在上是减函数，
等价于
或，故选D.
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
19.已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由复合函数单调性及函数的定义域得不等关系．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意对数函数的定义域．
20.为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为 （ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：由,两边平方得,即,又,则,所以为第三、四象限角或轴负半轴上的角,所以为钝角．故正确答案为B．
考点：1．三角函数的符号、平方关系;2．三角形内角．
21.关于函数在以下说法中正确的是（ ）
A. 上是增函数 B. 上是减函数
C. 上是减函数 D. 上是减函数
【答案】B
【解析】
【分析】
用诱导公式化简后结合余弦函数的性质判断．
【详解】，它在上是减函数．
故选：B．
【点睛】本题考查诱导公式，考查余弦函数的性质，属于基础题．
22.函数的单调递增区间是（ ）
A B C D
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．
【详解】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，
由二次函数的性质和复合函数的单调性可得
函数的单调递增区间为：（-∞，1）
故选A．
【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．
23.若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，是奇函数，则a＋b的值是
A. B. 1 C. D. －1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性求得a,b的值，然后计算a+b的值即可.
【详解】偶函数满足，即：，解得：，
奇函数满足，则，解得：，
则.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查奇函数的性质，偶函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
24.函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的定义域可得，求得，由此求得的范围，即为函数的定义域.
【详解】由⩾0得,∴，k∈Z.
故选D.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义域以及简单的三角不等式，属于简单题.
25.(2016·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，可以是“好点”的个数为 ( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
设指数函数为y＝ax(a>0，a≠1)，显然不过点M、P，
若设对数函数为y＝logbx(b>0，b≠1)，显然不过N点，选C．
点睛：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.本题利用指对数函数图像性质进行解题.
二、填空题(共12题，每题3分）
26.弧度= _________度.
【答案】
【解析】
【分析】
由弧度与角度互化公式变形．
【详解】弧度＝度＝105度．
故答案为：105．
【点睛】本题考查弧度与角度的互化，属于基础题．
27.若函数是偶函数，则_________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据偶函数定义，结合恒等式的知识求解．
【详解】∵是偶函数，
∴，恒成立，∴．
故答案为：0．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，由偶函数的定义结合恒等式知识求解是解这类题的常用方法．
28.若向量，，且，则_____
【答案】6
【解析】
【分析】
本题首先可通过题意得出向量以及向量的坐标表示和向量与向量之间的关系，然后通过向量平行的相关性质即可得出结果．
【详解】因为，，且，
所以，解得．
【点睛】本题考查向量的相关性质，主要考查向量平行的相关性质，若向量，，，则有，锻炼了学生对于向量公式的使用，是简单题．
29.计算:_________.
【答案】
【解析】
【分析】
分别计算式子中每一个三角函数值，然后化简．
【详解】原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题基础．
30.计算：________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用对数运算法则，及幂的运算法则计算．
【详解】原式
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查对数的运算，分数指数幂的运算．掌握运算法则是解题基础．对数运算中注意运算法则的灵活运用，如．
31.设，则的大小关系为_________（按从小到大顺序排列）.
【答案】
【解析】
【分析】
把这三个数与0和1比较，即可得解．
【详解】由题意，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，这类大小比较一般是借助中间值，与中间值比较后可得它们的大小．
32.下列几种说法：(1)所有的单位向量均相等；(2)平行向量就是共线向量；(3)平行四边形中，一定有；(4)若，则.其中所有的正确的说法的序号是_________.
【答案】(2) (3)
【解析】
【分析】
根据向量的概念判断．
【详解】（1）单位向量的方向可能不相同，因此单位向量不一定相等，（1）错；
（2）平行向量就是共线向量，（2）正确；
（3）平行四边形中，方向相同，大小相等，一定有，（3）正确；
（4）时，虽然有，，但的方向可能不相同，（4）错．
故答案为：（2）（3）．
【点睛】本题考查向量概念，掌握向量概念是解题基础．只要注意向量不仅有大小，还有方向，从两个方面考虑就不会出错．
33.已知，且，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由用诱导公式和同角间的三角函数关系可得．
【详解】∵，∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间的三角函数关系，解题时要注意确定角的范围，特别要研究“已知角”和“未知角”之间的联系，以确定选用哪个公式．
34.不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意，由于不等式，则根据正切函数周期为，那么可知一个周期内满足的解集为，那么在整个定义域内为，故答案为．
考点：三角函数的不等式
点评：解决的关键是利用三角函数的值域与定义域的关系，以及周期性来求解，属于基础题．
35.函数的最小值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出的范围，结合余弦函数性质可得最小值．
【详解】∵，∴，即上递增，在上递减，
，，
∴所求最小值为．
故答案：．
【点睛】本题考查余弦函数性质，解题时根据余弦函数的单调性确定原函数的单调性，从而可求得最小值和最大值．
36.在中，点分别在线段上，且，记，，则_________. (用表示)
【答案】
【解析】
【分析】
先用向量的加减法表示出，再把各个向量用表示并化简即可．
【详解】∵，∴
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查向量线性运算，解题时充分应用向量的加减法法则和数乘运算法则．
37.若函数恰有1个零点，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析两个函数和的零点，前一个函数有两个零点－3和1，后一个函数只有一个零点1，1是公共的零点，因此可确定只有一个零点，只能为1．
【详解】有两个零点－3和1，只有一个零点1，因此函数恰有1个零点，从函数的解析式来看，只能是1，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的零点分布问题，由零点个数确定参数取值范围．可结合函数图象考虑．
三、解答题(共4题，共39分）
38.已知集合，．
(1)分别求，；
(2)已知集合，若，求实数a的取值集合．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
【分析】
(1)根据题干解不等式得到，，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.
【详解】(1)因为，即，
所以，所以，
因为，即，所以，
所以，所以．
，所以．
(2)由(1)知，若，
当C为空集时，.
当C为非空集合时，可得.
综上所述.
【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.
39.设点,,为坐标原点，点满足=+，（为实数）；
（1）当点在轴上时，求实数的值；
（2）四边形能否是平行四边形？若是,求实数的值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）四边形OABP不是平行四边形
【解析】
试题分析：（1）设点P（x，0），由=+得（x，0）=（2，2）+t（3，2 ），解出t值．（2），设点P（x，y），假设四边形OABP是平行四边形，根据向量平行得出坐标间的关系，由=+，推出矛盾，故假设是错误的
试题解析：（1）设点P（x，0），=（3,2）,
∵=+，∴ （x,0）=（2,2）+t（3,2）,
∴
（2）设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形，
则有∥, Þ y=x―1,∥Þ2y=3x……①,
又由=+，Þ（x,y）=（2,2）+ t（3,2）,得 ∴…… ②,
由①代入②得：， 矛盾，∴假设是错误的，
∴四边形OABP不是平行四边形．
考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量
40.（1）已知，求的值.
（2）函数的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为，求此函数的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由求得，再由得，从而可求值；
（2）由相邻两个最高点和最低点的坐标首先求得，同时求得周期（两点的横坐标之差为半个周期）后可得，最后把最高点（或最低点）坐标代入可求得，得解析式．
【详解】(1)，, ，
而，，，
(2)由题意知，， 且，
， ,
函数，
把，代入上式得， ，
，，
解得：，，
又 ,
函数解析式是，.
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查由三角函数图象求三角函数解析式．应用同角关系时要注意角的范围，在用平方关系时需确定函数值的符号．求三角函数解析式时，可结合“五点法”中的五点，求得．
41.设是常数，函数.
(1)用定义证明函数是增函数；
(2)试确定的值，使是奇函数；
(3)当是奇函数时，求的值域.
【答案】(1) 详见解析(2)
【解析】
试题分析：（1）证明函数单调性可根据函数单调性定义取值，作差变形，定号从而写结论（2）因为函数是奇函数所以（3）由.故，∴
试题解析：
(1)设，
则.
∵函数是增函数，又，∴，
而，，∴式.
∴，即是上的增函数.
(2)∵对恒成立，
∴.
(3)当时，.
∴，∴，
继续解得，
∴，因此，函数的值域是.
点睛：本题考差了函数单调性，奇偶性的概念及其判断、证明，函数的值域求法，对于定义来证明单调性要注意做差后的式子的化简.
