高考数学一轮复习核心素养测评三十五7-4直接证明与间接证明文含解析北师大版

高考数学一轮复习核心素养测评三十五7-4直接证明与间接证明文含解析北师大版

核心素养测评三十五　直接证明与间接证明 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2019·太原模拟)下列说法不正确的是 (　　)‎ A.综合法是由因导果顺推证法　‎ B.分析法是执果索因逆推证法　‎ C.综合法和分析法都是直接证法　‎ D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用 ‎【解析】选D.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即A,B,C正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确.‎ ‎2.(2020·长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a,b全为‎0”‎,其反设正确的是 (　　)‎ A.a,b全为0‎ B.a,b中只有一个为0　‎ C.a,b至少有一个为0‎ D.a,b至少有一个不为0‎ ‎【解析】选D.“a,b全为0(a,b∈R)”的否定为:“a,b至少有一个不为‎0”‎.‎ ‎3.要证a2+b2-1-a2b2≥0,只要证明 (　　)‎ A.2ab-1-a2b2≥0‎ B.(a2-1)(b2-1)≤0　‎ C.-1-a2b2≥0‎ D.a2+b2-1-≤0‎ ‎【解析】选B.要证a2+b2-1-a2b2≥0,只要证明(a2-1)(1-b2)≥0,‎ 只要证明(a2-1)(b2-1)≤0.‎ ‎4.设n∈N,则-与-的大小关系是 (　　)‎ A.->-‎ B.-<-‎ C.-=-‎ D.不能确定 ‎【解析】选B.由题意知,(-)-(-)=‎ ‎(+)-(+),‎ 因为(+)2-(+)2‎ ‎=2[-]‎ ‎=2(-)<0,‎ 所以-<-.‎ ‎5.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,mβ,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.‎ 其中正确命题的个数是 世纪金榜导学号(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ ‎【解析】选B.若l⊥α,mβ,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;若l⊥α,mβ,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;若l⊥α,mβ,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;若l⊥α,mβ,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.等式“=”的证明过程:“等式两边同时乘以得,左边=·===1,右边=1,左边=右边,所以原不等式成立”,应用了　　　　的证明方法.(填“综合法”或“分析法”) ‎ ‎【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法.‎ 答案:综合法 ‎7.(2020·南通模拟)用反证法证明命题:“若(a-1)·(b-1)·(c-1)>0,则a,b,c中至少有一个大于‎1”‎时,要做的假设是“假设a,b,c　　　　”. ‎ 答案:都不大于1‎ ‎8.用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”时,假设内容是　　　　. 世纪金榜导学号 ‎ ‎【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于”.‎ 答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.求证抛物线y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.‎ ‎【证明】如图,作AA′、BB′垂直于准线,取AB的中点M,作MM′垂直于准线.‎ 要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|=|AB|,‎ 由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,‎ 所以|AB|=|AA′|+|BB′|,‎ 所以只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|),‎ 由梯形的中位线定理知上式是成立的.‎ 所以,以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.‎ ‎10.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根. 世纪金榜导学号 ‎【证明】假设f(x)=0有整数根n,则 an2+bn+c=0,‎ 由f(0)为奇数,知c为奇数,‎ f(1)为奇数,知a+b+c为奇数,‎ 所以a+b为偶数,又an2+bn=-c为奇数,‎ 所以n与an+b均为奇数,又a+b为偶数,‎ 所以an-a为奇数,即(n-1)a为奇数,‎ 所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.‎ 所以f(x)=0无整数根.‎ ‎(15分钟　30分)‎ ‎1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是 (　　)‎ A.x2>2 B.x2>4‎ C.x2>0 D.x2>1‎ ‎【解析】选C.因为x>0,所以要证<1+,‎ 只需证()2<,即证0<,即证x2>0,‎ 因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.‎ ‎2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:‎ ‎①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;‎ ‎②a>b与a0,所以cos C<0, 即△ABC一定是钝角三角形.‎ ‎4.(5分)(2019·太原模拟)用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=‎1”‎时,应假设　　　　. ‎ ‎【解析】“x=-1或x=‎1”‎的否定是“x≠-1且x≠‎1”‎.‎ 答案:x≠-1且x≠1‎ ‎5.(10分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列. 世纪金榜导学号 ‎(1)证明:,,,依次构成等比数列.‎ ‎(2)是否存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.并说明理由.‎ ‎【解析】(1)由已知,==2d是常数(n=1,2,3),‎ 所以,,,依次构成等比数列.‎ ‎(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列,则=a1,且=,即a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.‎ 令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(-

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