高考数学一轮复习第七章算法、复数、推理与证明7-4直接证明与间接证明、数学归纳法练习理北师大版
7.4 直接证明与间接证明、数学归纳法
核心考点·精准研析
考点一 反证法的应用
1.用反证法证明命题:
“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为 ( )
A.a,b,c,d至少有一个正数
B.a,b,c,d全为正数
C.a,b,c,d全都大于等于0
D.a,b,c,d中至多有一个负数
2.对于命题:“若ab=0(a,b∈R),则a=0或b=0”,若用反证法证明该命题,下列假设正确的是 ( )
A.假设a,b都不为0
B.假设a,b至少有一个不为0
C.假设a,b都为0
D.假设a,b中至多有一个为0
3.若数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比q≠1,
求证:1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.
【解析】1.选C.用反证法证明命题:
“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为a,b,c,d全都大于等于0.
2.选A.用反证法证明命题
“若ab=0(a,b∈R),则a=0或b=0”时,
假设正确的是:假设a,b都不为0.
3.假设1-an,1-an+1,1-an+2成等比数列,
则(1-an+1)2=(1-an)(1-an+2),
即1-2an+1+=1+anan+2-(an+an+2),
因为数列{an}是等比数列,所以=anan+2,
所以2an+1=an+an+2,所以数列{an}是等差数列,
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所以数列{an}是常数列,这与已知相矛盾,
故假设不成立,
所以1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.
用反证法证明数学命题需把握的三点
(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.
(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.
(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.
考点二 分析法的应用
【典例】1.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:
0;②a-c>0;③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0.
2.已知数列{an}是各项都是互不相等的正数的等差数列,
求证:+<2.
【解题导思】
序号
联想解题
1
由a+b+c=0,
想到 b=-a-c
由b>c,且a+b+c=0可得 b=-a-c,要证“0,
即证2a2-c2-ac>0,(a-c)(a+a+c)>0,
即证(a-c)(a-b)>0,
故“0.
答案:③
2.要证+<2,
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只要证a1+a3+2<4a2,
因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,
只要证0,且an≠2,故an+1=,
所以=
=
=,
显然an>0,+2>3,所以<<1,
数列{|an-2|}为单调递减数列.
本例中的分式是怎样进行变形的?
提示:利用分子有理化进行变形的.
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与函数有关的证明
【典例】已知函数f(x)=+aln x-2,g(x)=+x2+x.
(1)讨论函数f(x)在定义域上的单调性.
(2)当a=3时,求证:f(x)≤g(x)恒成立.
【解析】(1)f′(x)=(x>0),
当a≤0时,f′(x)<0,在递减,
当a>0时,x∈时,f′(x)<0,
x∈时,f′(x)>0,
故f(x)在递减,在递增.
(2)当a=3时,f(x)=+3ln x-2,
令h(x)=g(x)-f(x)=x2+x-3ln x+2,
则h′(x)=(x>0),
令h′(x)>0,解得:x>1,
令h′(x)<0,解得:0,所以f(x)>.
综上,-;
又计算:-2≈0.236,-≈0.213,-≈0.196,
所以-2>-,->-.
(1)分析以上结论,试写出一个一般性的命题.
(2)判断该命题的真假,并给出证明.
【解析】(1)一般性的命题:n是正整数,
则->-.
(2)命题是真命题.因为-=,
-=,
>,
所以->-.
考点四 数学归纳法的应用
【典例】(2019·福州模拟)设i为虚数单位,θ∈[0,2π).
已知(cos θ+isin θ)2=cos 2θ+isin 2θ,
(cos θ+isin θ)3=cos 3θ+isin 3θ,
(cos θ+isin θ)4=cos 4θ+isin 4θ.
(1)你能得到什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.
(2)已知z=+i,试利用(1)的结论求z10.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
①猜想结论
利用已知的式子观察、猜想
②数学归纳法证明
按照数学归纳法证明的步骤证明
(2)
求z10
将z化为三角形式代入计算
【解析】(1)猜想:(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ(n∈N*)成立.
证明:①当n=1时,左边=右边=cos θ+isin θ,所以猜想成立;
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②假设当n=k(k∈N*)时,(cos θ+isin θ)k=cos kθ+isin kθ成立,
则当n=k+1时,(cos θ+isin θ)k+1=(cos θ+isin θ)k(cosθ+isin θ)
=(cos kθ+isin kθ)(cosθ+isin θ)
=(cos kθcos θ-sin kθsin θ)+i(sin kθcosθ+coskθsin θ)
=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ,
当 n=k+1时,猜想也成立;
综上,由①②可得对任意n∈N*,猜想成立.
(2)z=+i=2=2,
可得z10=210
=1 024=1 024
=512-512i.
关于数学归纳法的应用
(1)涉及与正整数有关的命题,才可以考虑利用数学归纳法进行证明.
(2)利用数学归纳法证明的关键是证明从k到k+1时仍然成立,一是先要弄清n=k时式子的结构特征,再要弄清n=k+1时式子结构、项的变化,二是证明n=k+1时要充分利用假设,即n=k时的结论.
(2019·黄山模拟)已知函数f1(x)=sin ,x∈R,记fn+1(x)为fn(x)的导数,n∈N*.
(1)求f2(x),f3(x).
(2)猜想fn(x),n∈N*的表达式,并证明你的猜想.
【解析】(1)f2(x)=f1′(x)=cos ,
f3(x)=-sin =-sin.
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(2)猜想:fn(x)=sin,n∈N*.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,结论成立;
②假设n=k(k∈N*)时,结论成立,
即fk(x)=sin.
当n=k+1时,fk+1(x)=fk′(x)
=cos=sin .
所以当n=k+1时,结论成立.所以由①②可知对任意的n∈N*结论成立.
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