陕西省渭南市韩城市教学研究室2020届高三上学期12月月考数学试题

陕西省渭南市韩城市教学研究室2020届高三上学期12月月考数学试题

‎2019-2020学年度第一学期第二次月考 高三数学（文）试卷 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（　　）‎ A. [﹣1，+∞） B. （﹣1，+∞） C. （2，3] D. （1，3）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，‎ N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查集合并集的计算，一元二次不等式解法，关键是求出集合M、N，属于基础题．‎ ‎2.若，且为第二象限角，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用诱导公式，求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，得，‎ 又由为第二象限角，所以，‎ 所以．故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.函数的零点所在一个区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点存在定理判断．‎ ‎【详解】，，，在上有零点．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查零点存在定理，在上连续的函数，若，则在上至少有一个零点．‎ ‎4.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与中间值0，1比较可得．‎ ‎【详解】∵，，，∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对于这种不同类型的数的大小比较，一般借助于中间值，如0，1，2等，与中间比较后可得他们之间的大小．‎ ‎5.以下三个命题正确的个数有（ ）个.①若，则或；②定义域为的函数，函数为奇函数是的充分不必要条件；③若，且 ‎，则的最小值为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据原命题与逆否命题真假关系；②根据奇函数的定义与性质判断；③根据基本不等式判断.‎ ‎【详解】当且时，成立，‎ 根据原命题与逆否命题真假一致，故①正确；‎ 定义域为的奇函数必有，‎ 定义域为函数且满足不一定是奇函数，如，故②正确；‎ 若，且，‎ 则 当且仅当即时等号成立，故③正确；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查命题，充分必要条件，及基本不等式.原命题的真假比较难判断时，可借助逆否命题来判断；基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” .‎ ‎6.已知是定义在R上的奇函数，当时(m为常数)，则的值为( 　)‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（﹣log35）=﹣f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值.‎ ‎【详解】由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），‎ ‎∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1‎ ‎∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（）=﹣4‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用f（0）=0求出参数m的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想．‎ ‎7.已知有极大值和极小值，则a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导数f′（x），由f（x）有极大值、极小值可知f′（x）＝0有两个不等实根，求解即可．‎ ‎【详解】解：函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，‎ 所以f′（x）＝3x2+2ax+（a+6），‎ 因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根，‎ 即3x2+2ax+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＞0，∴（‎2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，‎ 解得：a＜﹣3或a＞6．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根是解题的关键．‎ ‎8.函数的图象大致是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性定义求得函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；利用时，的符号可排除，从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意可得：定义域为：‎ 由得：为偶函数，图象关于轴对称，可排除 当时，， ，可排除 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是能够利用函数的奇偶性和特殊位置的符号来进行排除，属于常考题型.‎ ‎9.已知，是关于的方程的两个实根，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，是关于的方程的两个实根，‎ ‎∴+=k，tanα•=k2﹣3=1．‎ ‎∵，∴k＞0，∵k2 =4，∴k=2，∴tanα=1，∴α=3π+，‎ 则cosα=﹣，sinα=﹣，则cosα+sinα=，‎ 故选C．‎ ‎10.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.‎ ‎【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.‎ ‎11.将函数的图像上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．‎ ‎【详解】由图象知A＝1，（），即函数的周期T＝π，‎ 则π，得ω＝2，‎ 即g（x）＝sin（2x+φ），‎ 由五点对应法得2φ＝π，得φ，‎ 则g（x）＝sin（2x），‎ 将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，‎ 即f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)‎ 时ωx＋φ＝.‎ ‎12.已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且．则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，由确定单调性，利用的单调性解题设不等式．‎ ‎【详解】设，则，当时，，即，在上是增函数，，又是偶函数，∴，‎ ‎∴不等式化为且，即且，∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查用导数解不等式，即由导数确定函数的单调性，由单调性解函数不等式．解题关键是构造新函数．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分．‎ ‎13.已知函数，则______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数的定义求解．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎．‎ 故答案为：－2．‎ ‎【点睛】本题考查导数的定义，导数定义是：，注意分子分母中的增量是一致的，如果不一样，必须配成一样，结合极限的性质就可符合导数的定义．‎ ‎14.若函数 是R上的单调函数，则实数的取值范围是____________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎ 在 上是单调函数； 对于 恒成立； ，所以实数 的取值范围为 ，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ② 求解的．‎ ‎15.已知函数，若函数存在两个零点,则实数的取值范围是__________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由g(x)=f(x)−k=0，‎ 得f(x)=k，‎ 令y=k与y=f(x)，‎ 作出函数y=k与y=f(x)的图象如图：‎ 当x⩽0时，00时，f(x)∈R，‎ ‎∴要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，‎ 则k∈(0,1].‎ 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎16.关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在闭区间上是增函数； ⑤已知，，则的最大值是．写出所有正确的命题的题号_____.‎ ‎【答案】③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各个命题逐个分析，结合三角函数性质判断．‎ ‎【详解】在第一象限的每一个区间 上是增函数，在第一象限内不能说是增函数，①错；‎ 是奇函数，②错；‎ ‎，，时，，∴是函数一个对称中心，③正确；‎ 当时，，因此函数在上不是增函数，④错；‎ 由于，可设，则，其中是锐角，而的最大值是，∴最大值是，⑤正确．‎ 故答案为：③⑤．‎ ‎【点睛】本题考查判断命题的真假，实质是考查三角函数的性质，考查三角函数的单调性、对称性、最值． 掌握三角函数的性质是解题基础．本题还用到了三角换元法，解题时注意在出现平方和为1的条件时可选用三角换元．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若角满足，求的值．‎ ‎【答案】（1） （2） （3）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角函数定义得，由正切的二倍角公式求得；‎ ‎（2）用诱导公式化简，可用同角关系式化为正切的式子，再代入求值，也可直接代入求值；‎ ‎（3）由平方关系求得，再由两角差的余弦公式求得．‎ ‎【详解】（1）角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）；‎ ‎（3）若角满足，∴.‎ 当时，‎ ‎.‎ 当时，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，考查正切的二倍角公式，考查诱导公式、同角间的三角函数关系、两角差的余弦公式，公式较多，掌握三角函数公式是解题基础．解题时要注意在用平方关系求值时如果不能确定角的范围，请分类讨论．‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在上的最值．‎ ‎【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，得切线斜率，从而写出切线方程；‎ ‎（2）由导函数确定在上的单调性，注意比较两端点处函数值大小后可得最值．‎ ‎【详解】解：（1），，‎ ‎，，‎ 故点处的切线方程：；‎ ‎（2）由，可得在递增，在递减．‎ ‎，，.‎ ‎∵，且．‎ ‎∴函数在上的最大值为，最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．属于基础题．‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)，对称中心；‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把化简成一角一名一次式即的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ)由求出的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得的最值，得解.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）‎ ‎∴的最小正周期为，‎ 令，则，‎ ‎∴的对称中心为；‎ ‎（Ⅱ）∵∴∴‎ ‎∴‎ ‎∴当时，最小值为；‎ 当时，的最大值为．‎ 考点：二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.‎ ‎【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要注意区分两个公式，同时要注意两个特殊角的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错到底，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在可惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清楚其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，直接代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响认识肤浅、不到位.‎ ‎20.已知函数， ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式，分段解不等式即可；（2）根据题意将问题转化为2≤f（x）min，由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可．‎ 解析：‎ ‎（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，‎ 即有f（x）=‎ 不等式f（x）≤4即为 或 或.‎ 即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，则为0≤x≤4，‎ 则解集为[0，4]；‎ ‎（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，‎ ‎∴2≤f（x）min；‎ 由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，‎ 即f（x）min=|1﹣a|，‎ ‎∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，‎ 解得a≥3或a≤﹣1．‎ ‎∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．‎ ‎21.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程； ‎ ‎（Ⅱ）直线与圆交于两点，点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为.（Ⅱ）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求直线的普通方程，消去参数即可；求圆的直角坐标方程利用互化即可.‎ ‎（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中的几何意义求解的值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）直线普通方程为，‎ 圆的直角坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得，‎ 化简可得. ‎ 则.‎ ‎【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：；‎ ‎（2）直线过定点，与圆锥曲线的交点为，利用直线参数方程中的几何意义求解：，则有，.‎ ‎22.已知函数（其中，且）.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（1）的极大值为，极小值为． （2）当时，在，上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在，上递增，在上递减；当时，在上递减，在上递增．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，解方程，并确定的单调性得极值．‎ ‎（2）由（1）的解题过程知对按分类讨论可得单调性．‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以当时，，随变化的变化情况为 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 可知的极大值为，极小值为．‎ ‎（2）由（1）知当时，在，上递增，在上递减；‎ 当时，在上递增；‎ 当时，在，上递增，在上递减；‎ 当时，在上递减，在上递增．‎ ‎【点睛】本题考查用导数求极值、研究函数的单调性．过程：‎ ‎（1）求出导函数；（2）解方程；（3）由的解分段讨论的正负；（4）得单调性，得极值．‎