【数学】山东省潍坊一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版）

【数学】山东省潍坊一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版）

山东省潍坊一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的虚部为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，复数，‎ 所以复数的虚部为，故选B．‎ ‎2.已知向量，且，则的值是（　　）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，且，得，即．‎ ‎，故选A．‎ ‎3.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 ‎　　‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，‎ 所以OB，对应原图形平行四边形的高为：2，‎ 所以原图形的面积为：1×22．故选A．‎ ‎4.设两个单位向量的夹角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】两个单位向量的夹角为，，，，‎ ‎，‎ ‎.故选：B.‎ ‎5.圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆锥的高和底面半径之比，∴，‎ 又圆锥的体积，即，解得；‎ ‎∴，母线长为，‎ 则圆锥的表面积为．故选D．‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到 ‎．‎ 故选B．‎ ‎7.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A. 10海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 20海里 ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，‎ 由正弦定理，有，所以10.‎ 故选B.‎ ‎8.设，，是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，给定下列命题：‎ ‎①；②；③；‎ ‎④；⑤；⑥.‎ 其中为真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，错误，n可以在平面内；对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直；对于③根据课本推论知其结果正确；④直线m和n可以是异面的成任意夹角的两条直线；对于⑤根据课本线面垂直的判定定理得到其正确；对于⑥是错误的，当直线m与直线n,和平面平行并且和平面垂直，此时两条直线互相平行.‎ 故答案为B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.有下列说法，其中错误的说法为（ ）．‎ A. 若∥，∥，则∥‎ B. 若，则是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若∥，则存在唯一实数使得 ‎【答案】AD ‎【解析】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；‎ 对于选项B，由，得，所以，，‎ 同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；‎ 对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；‎ 对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.‎ 故选：AD ‎10.将函数的图象向左平移个单位.若所得图象与原图象重合，则的值可能等于（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 8 D. 12‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】将函数的图象向左平移个单位后，‎ 解析式变为，‎ 因为平移后图象与原来图象重合，‎ 所以，得.‎ 故选：ACD ‎11.在中，根据下列条件解三角形，其中无解的是（ ）．‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】AC ‎【解析】对于选项A，由正弦定理，得，所以此三角形无解，满足题意；‎ 对于选项B，由正弦定理，得，且，故此三角形有两解；‎ 对于选项C，由正弦定理，得，此三角形无解；满足题意；‎ 对于选项D，由正弦定理，得，且，所以，‎ ‎，，此时三角形的解只有一解.‎ 故选：AC ‎12.如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. B. 平面 C. 存在点E，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 ‎【答案】ABD ‎【解析】在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;‎ 在B中,因为,,故,‎ 故.故,又有,‎ 所以平面,故B正确；‎ 在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误.‎ 在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.‎ 故选：ABD.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.己知函数，，则的值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】函数，‎ 故答案为1‎ ‎14.已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则底面圆面积为，周长为 ，‎ 则 解得 ‎ 故填2‎ ‎15.函数在处取得最大值，则 ______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 其中，依题意可得，即，‎ ‎，所以 故答案为：‎ ‎16.如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若 ‎，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.‎ 故填：.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限．‎ ‎（Ⅰ）求复数；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【解】（Ⅰ）设，则，‎ ‎∴，解得或（舍），∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ 所以．‎ ‎18.已知，且向量与不共线.‎ ‎（1）若与的夹角为，求；‎ ‎（2）若向量与的夹角的钝角，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）与的夹角为，.‎ ‎.‎ ‎（2）向量与的夹角为钝角，‎ ‎，且不能反向共线，‎ ‎，解得 实数的取值范围是且 .‎ ‎19.如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点.求证：‎ ‎（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【解】证明：（1）如图，‎ 连接，分别是的中点，. ‎ 又平面平面，‎ 所以直线平面.‎ ‎（2）连接分别是的中点，‎ ‎.‎ 又∵平面平面 平面.‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎20.已知复数，，且，其中、、为的内角，、、为角、、所对的边.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【解】（1）∵‎ ‎∴①，‎ ‎②，‎ 由①得 即，‎ ‎∴，∵，∴；‎ ‎（2）∵，由余弦定理得，‎ 即，④，‎ 由②得⑤‎ 由④⑤得，‎ ‎∴.‎ ‎21.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，.‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥PD；‎ ‎（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD所以CD⊥PA.‎ 因为CD⊥AD，，所以CD⊥平面PAD.‎ 因为平面PAD，所以CD⊥PD.‎ ‎(II)因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD所以BD⊥PA.‎ 在直角梯形ABCD中，，‎ 由题意可得，‎ 所以，所以.‎ 因为，所以平面PAB.‎ ‎（Ⅲ）解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.‎ 证明：取PA的中点N，连接MN，BN，‎ 因为M是PD的中点，所以.‎ 因为，所以.‎ 所以MNBC是平行四边形，所以CM∥BN 因为平面PAB, 平面PAB.所以平面PAB.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足.‎ ‎（1）求值；‎ ‎（2）已知若的最小值为，求的最大值.‎ ‎【解】（1）由题意知三点满足，‎ 可得，所以，即 即，则，所以.‎ ‎（2）由题意，函数 因，所以，‎ 当时，取得最小值，‎ 当时，当时，取得最小值，‎ 当时，当时，取得最小值，‎ 综上所述，，可得函数的最大值为1，‎ 即的最大值为1.‎