新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第三次质量监测理科数学（问卷）试题

新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第三次质量监测理科数学（问卷）试题

乌鲁木齐地区2020年高三年级第三次质量监测 理科数学（问卷）‎ ‎（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.‎ ‎2. 答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一.项是符合题目要求的.‎ ‎1. 计算复数得（ ）‎ A . B. C. D. ‎ ‎2. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 设命题：，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ， ‎ ‎4. 已知等差数列满足，，则（ ）‎ A. 20 B. 24 C. 26 D. 28‎ ‎5. 若角的终边过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.‎ ‎ 某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（ ）‎ A. 85 B. 85.5 C. 86 D. 86.5‎ ‎7. 如图，正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 在中，，点满足，则（ ）‎ A. -1 B. C. D. 1‎ ‎9. 直线与抛物线交于，两点，若，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎10. 在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 是双曲线：上位于第二象限的一点，，分别是左、右焦点，.轴上的一点使得，，两点满足，，且，，三点共线，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 定义在上的函数，当时，，且对任意实数 ‎，都有，若有且仅有5个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 已知定义在上的奇函数满足：当时，，则______.‎ ‎14. 如图，在边长为1的正方形内随机取一点，则此点恰好取自曲线下方与正方形所围成阴影部分的概率为______.‎ ‎15. 若函数在上的最大值为，则的值为______.‎ ‎16. 黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.‎ 三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 在中，，，是，，所对的边，，，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若为边上一点，且，求的面积.‎ ‎18. 在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：‎ ‎（Ⅰ）是否有的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；‎ ‎（Ⅱ）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19. 如图，将等腰直角三角形沿斜边上的高翻折，使二面角的大小为，翻折后的中点为.‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知椭圆：右焦点为，为椭圆上异于左右顶点，的一点，且面积的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与直线交于点，线段的中点为，证明直线平分.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 选考题：共10分，请考生在22. 23 两题中任选-题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分，作答时用28鉛笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ 选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设与交点为，，求的面积.‎ ‎23. 设，均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ 乌鲁木齐地区2020年高三年级第三次质量监测 理科数学（答案）‎ 一、选择题：每小题5分.‎ ‎1-5：ADCBD 6-10：ADABB 11-12：AC 二、填空题：每小题5分 ‎13. -2 14. 15. 16. 18‎ 三、解答题： .‎ ‎17.（Ⅰ）由，得，∴，又∵，，‎ 又，即，解得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.（Ⅰ）依题意，得列联表 数学成绩 分 分 合计 在线学习时长 小时 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 小时 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 合计 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ ‎∵，‎ ‎∴没有的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”；‎ ‎（Ⅱ）从上述列联表中可以看出，这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为，则，∴，.‎ ‎19.（Ⅰ）∵折叠前，是斜边上的高，∴是的中点，∴，又因为折叠后是的中点，∴，折叠后，∴，，∴平面；‎ ‎（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，不妨设，易知二面角的平面角是，则，∴，，，，‎ 设平面的法向量为，得，即，‎ 得，同理得平面的法向量，‎ ‎∴.‎ ‎20.（Ⅰ）由题意得，解得，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入，得，‎ 解得或，∴，∴，‎ 易知直线与的交点，∴线段的中点，‎ 设，则，∴，‎ ‎，‎ ‎∵，，，∴，‎ 即直线平分.‎ ‎21.（Ⅰ），‎ 令，即，，‎ ‎∵，①当时，，，，‎ ‎∴在，上单调递减，‎ 在上单调递增，‎ ‎②当时，，在上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）当时，在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，在上，都有，，‎ 即恒成立，与题意矛盾；‎ 当时，令，，‎ 当时，恒成立，‎ 当时，，在上单调递减，，‎ ‎①若，即，时，，‎ ‎∴，在上单调递减，∴成立，‎ ‎②当，即，，‎ ‎∴存在使得，，，，，‎ 在单调递增，∴存在使得与题意矛盾，‎ 综上所述.‎ ‎22.（Ⅰ）由题意得，曲线：；‎ ‎（Ⅱ）联立方程，得，，‎ ‎∴，，∴.‎ ‎23.（Ⅰ）∵，要证，只需要证明，‎ 也就是要证明，即证，‎ ‎∵，均为正数，∴，∴； ‎ ‎（Ⅱ）∵，均为正数，∴，∴，‎ ‎∴，又∵，∴.‎