上海市格致中学2020届高三上学期期中考试数学试题

上海市格致中学2020届高三上学期期中考试数学试题

格致中学高三期中数学卷 一.填空题 ‎1.直线的一个法向量可以是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线的法向量的意义即可得出．‎ 详解】由直线方程x＝3y+1，可得斜率k．‎ ‎∴直线的法向量可以取（1，﹣3）．‎ 故答案为：（1，﹣3）．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题．‎ ‎2.函数的反函数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反函数定义直接求解即可．‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴，即 ‎∴函数的反函数为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．‎ ‎3.已知的展开式中，含项的系数等于280，则实数________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数，再根据含x3项的系数等于280，求得实数a的值．‎ ‎【详解】解：∵（1+ax）７的展开式为 Tr+1•（ax）r，令r＝3，可得含x3项的系数等于a3•280，‎ 解得 a＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎4.已知，，则的值等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合同角基本关系式可得，进而利用两角和正切公式可得结果.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及同角基本关系式与两角和正切公式，考查计算能力，属于常考题型.‎ ‎5.已知双曲线（，）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用行列式求出a，b的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线 的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程．‎ ‎【详解】解：由，可得，‎ ‎∴‎ ‎∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，‎ ‎∴c，‎ ‎∵c2＝a2+b2，‎ ‎∴a＝1，b，‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，求出几何量是关键．‎ ‎6.某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为3，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体，该几何体为五面体ABCDEF，其中面ABCD，AEFD为直角梯形，且EF＝BC＝3，DC＝DF＝3，AD＝6．再由梯形面积公式求解．‎ ‎【详解】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为五面体ABCDEF，其中面ABCD，AEFD为直角梯形，‎ 且EF＝BC＝3，DC＝DF＝3，AD＝6．‎ ‎∴梯形的面积之和为2．‎ 故答案为：27．‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎7.已知集合，，若，则实数取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：在上恒成立，参变分离，转求最值即可.‎ ‎【详解】由题意可知：在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 而，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式在闭区间上恒成立问题，考查参变分离及均值不等式，属于常考题型.‎ ‎8.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率．‎ ‎【详解】解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，‎ 基本事件总数n126，‎ 其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，‎ 所以包含的基本事件个数m72，‎ ‎∴其中三种颜色的球都有的概率是p．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎9.设复数满足（是虚数单位），则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用模的运算性质，即可得到结果.‎ ‎【详解】设 ‎∵，‎ ‎∴，即 ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10.中，角的对边分别为，重心为，若则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为三角形重心，化简已知等式，得到，再利用余弦定理求出，进而角可求．‎ ‎【详解】由的重心为，可得，则，‎ 代入可得.‎ 显然不共线，所以，则.‎ 由余弦定理可得，则.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理和余弦定理.的重心满足，这个基本结论要牢记并灵活运用.‎ ‎11.设定义域为的递增函数满足：对任意的，均有，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得为一常数，进而可得函数的解析式，将x＝10代入可得答案．‎ ‎【详解】解：∵对任意的，均有，且在上递增，‎ 故＝k，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 解得：，或 ‎ 又 ‎∴，即 ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数解析式的求法，函数求值，其中根据已知得到函数的解析式，是解答的关键．‎ ‎12.定义：若函数图像上的点到定点的最短距离小于3，则称函数是点的近点函数，已知函数在上是增函数，且是点的近点函数，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上是增函数，可知；由函数是点的近点函数，可得，从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意可得：又函数在上是增函数，‎ ‎∴ ‎ 求出函数的导函数，‎ 设函数图像上离A最近的点 ‎ 则，‎ 令，即，‎ ‎ ‎ 解得： （舍）或 ‎ ‎∴=，即 ‎ ‎∵函数是点的近点函数，‎ ‎∴‎ ‎，即，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 综上可得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性与最值，考查了转化能力与运算能力，属于难题.‎ 二.选择题 ‎13.曲线的参数方程为，则曲线是（ ）‎ A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由代入消去参数t 得 又所以表示线段。故选A ‎14.已知数列的前项和（，），则“”是“数列为等比数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得：，结合等比数列定义即可得到结果.‎ ‎【详解】解：∵，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（）﹣（）＝，‎ ‎∴ ‎ 又，‎ ‎∴当n≥2时，数列为等比数列，‎ 要使数列为等比数列，则 ‎ 即 ，∴；‎ 反之，显然，又，‎ ‎∴数列为等比数列，‎ ‎∴“”是“数列为等比数列”的充要条件 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．‎ ‎15.若，且使为整数，则满足条件的实数有（ ）个 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 明确函数的单调性，从而得到整数的个数.‎ ‎【详解】令，，‎ 显然为增函数，且，，‎ ‎∴的值域为 ，其中共有14个整数，‎ ‎∴满足条件的实数有14个 故答案为：B ‎【点睛】本题考查函数的单调性，考查推理能力与转化能力，属于中档题.‎ ‎16.定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案．‎ ‎【详解】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y，‎ 故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1，‎ 当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，‎ 故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，‎ 当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，‎ 故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，‎ 当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx，‎ 故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，‎ 故函数y＝x的曲径最小，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题以新定义﹣﹣函数的曲径为载体，考查了函数的图象，函数的最值，难度中档．‎ 三.解答题 ‎17.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．‎ ‎（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）100千件.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分两种情况进行研究，当时，当时，分别根据年利润等于销售收入与成本的差，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．‎ ‎【详解】（1）∵每件商品售价为0.05万元，‎ ‎∴千件商品销售额为万元，‎ ‎①当时，根据年利润=销售收入-成本，‎ ‎∴；‎ ‎②当时，根据年利润=销售收入-成本，‎ ‎∴‎ 综合①②可得，；‎ ‎（2）①当时，，‎ ‎∴当时，取得最大值万元；‎ ‎②当时，，‎ 当且仅当，即时，取得最大值万元．‎ 综合①②，由于，‎ ‎∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．‎ ‎【点睛】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).‎ ‎18.如图，已知△的内角、、的对边分别为、、，其中，且，延长线段到点，使得，.‎ ‎（1）求证：是直角；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理以及二倍角公式即可证明，‎ ‎（2）如图所示：过点C作CE⊥AC，根据平行线分线段成比例定理，设CE＝x，则AB＝5x，ADx，再根据勾股定理可得x的值，再由正弦定理，sinD，再根据同角的三角函数的关系即可求出答案．‎ ‎【详解】1）由正弦定理可得sinBcosB＝sinCcosC，‎ 即sin2B＝sin2C，‎ ‎∵b≠c，‎ ‎∴2B+2C＝180°，‎ ‎∴B+C＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°，‎ ‎（2）如图所示：过点C作CE⊥AC，‎ ‎∵BC＝4，BC＝4CD，‎ ‎∴CD＝1，BD＝5，‎ ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴CE∥AB，‎ ‎∴，‎ 设CE＝x，则AB＝5x，‎ ‎∵∠CAD＝30°，‎ ‎∴AE＝2x，ACx，‎ ‎∴，‎ ‎∴DEx，‎ ‎∵AB2+AC2＝BC2，‎ ‎∴25x2+3x2＝16，‎ 解得x，‎ 在△CED中，∠CED＝120°，CE，CD＝1，‎ 由正弦定理可得，‎ 即sinD，‎ cosD，‎ ‎∴tanD．‎ ‎【点睛】本题考查了解三角形的有关知识以及平行线分线段成比例定理和正弦定理和同角的三角函数的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.‎ 试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.‎ 延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：‎ 由已知，BC∥ED，且BC=ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形. ‎ 从而CM∥EB.‎ 又EB平面PBE，CM平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 从而CD⊥PD.‎ 所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.‎ 所以PDA=45°.‎ 设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.‎ 过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.‎ 易知PA⊥平面ABCD，‎ 从而PA⊥CE.‎ 于是CE⊥平面PAH.‎ 所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.‎ 所以APH是PA与平面PCE所成的角.‎ 在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，‎ 所以AH=.‎ 在Rt△PAH中，PH==，‎ 所以sinAPH==.‎ 方法二：‎ 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 于是CD⊥PD.‎ 从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.‎ 所以PDA=45°.‎ 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC=1，则Rt△PAD中，PA=AD=2.‎ 作Ay⊥AD，以A为原点，以,‎ 的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，‎ 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）‎ 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，‎ 由得设x=2，解得n=(2,-2,1).‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα==.‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ 考点：线线平行、线面平行、向量法.‎ ‎20.已知抛物线（），过点（）的直线与交于、两点.‎ ‎（1）若，求证：是定值（是坐标原点）；‎ ‎（2）若（是确定的常数），求证：直线过定点，并求出此定点坐标；‎ ‎（3）若的斜率为1，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）定值为，证明见解析；（2）证明见解析；定点；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）a时，设过点M的直线l为x＝ty，与抛物线方程联立消去x，得关于y的一元二次方程，由根与系数的关系和数量积的坐标运算即可求出•为定值；‎ ‎（2）设出直线AB的方程为x＝ty+n，与抛物线方程联立消去x，得关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得出y1y2的值，再由题意列出方程求出n的值，即可得出直线AB过定点；‎ ‎（3）由题意写出直线AB的方程为y＝x﹣a，与抛物线方程联立消去y，得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系以及判别式△＞0，即可求出a的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）当a时，点M（，0），‎ 设直线l：x＝ty，‎ 由，消去x，得 y2﹣2pty﹣p2＝0，‎ 所以y1y2＝﹣p2，‎ 则x1x2；‎ ‎•x1x2+y1y2p2为定值；‎ ‎（2）设直线AB：x＝ty+n，‎ 由，消去x，得 y2﹣2pty﹣2pn＝0，‎ 所以y1y2＝﹣2pn，‎ 又y1•y2＝m，则﹣2pn＝m，即n；‎ 则直线AB过定点（，0）；‎ ‎（3）由题意：直线AB的方程为：y＝x﹣a，‎ 代入抛物线得：x2﹣2（a+p）x+a2＝0，‎ 由△＝4（a+p）2﹣4a2＞0得：a；‎ x1+x2＝2（a+p），x1x2＝a2，‎ 所以|AB||x1﹣x2|＝22p，‎ 解得a；‎ 所以a的取值范围是（，]．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了直线过定点以及弦长公式的应用问题，考查了二元二次方程组的应用问题，是综合性题目．‎ ‎21.对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中．‎ ‎（1）若，求数列；‎ ‎（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；‎ ‎（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）成立，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用新定义，可求数列的通项公式；（2）分类讨论，利用，即可求符合要求的实数构成的集合；（3）由是有理数，可知对一切正整数，为或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且，互质），利用反证法可得结论．‎ 试题解析：（1），，‎ 若，则，‎ 所以.‎ ‎（2），所以，所以，‎ ‎①当，即时，，所以，‎ 解得（，舍去）.‎ ‎②当，即时，，所以，‎ 解（，舍去）.‎ ‎③当，即时，，所以，‎ 解得（舍去）.‎ 综上.‎ ‎（2）成立.由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，‎ 可设（是非负整数，是正整数，且既约）.‎ ‎①由，可得；‎ ‎②若，设（，，是非负整数），‎ 则，而由得，‎ ‎，故，,可得.‎ 若则，‎ 若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，‎ 但小于的正整数共有个，矛盾.‎ 故中至少有一个为0，即存在，使得.‎ 从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.‎ 考点：（1）新定义；（2）数列递推式.‎ ‎ ‎