高考数学二轮考点专题三数列突破检测

高考数学二轮考点专题三数列突破检测

专题达标检测三 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9等于 (　　)‎ A．30 B．40 C．60 D．80‎ 解析：由等差数列性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，故a2＋2a6＋a10＝4a6‎ ‎＝120，故a6＝30，a3＋a9＝2a6＝2×30＝60.‎ 答案：C ‎2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若 a1＝1，则S4等于 (　　)‎ A．7 B．8 C．15 D．16‎ 解析：设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列．得4a2＝4a1＋a3.∴4a1q ‎＝4a1＋a1q2.∴q2－4q＋4＝0‎ ‎∴q＝2，∴S4＝＝15.‎ 答案：C ‎3．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Πn表示它的前n项之积：Πn＝a1·a2·…·an，‎ 则Πn中最大的是 (　　)‎ A．Π11 B．Π10 C．Π9 D．Π8‎ 解析：Πn＝a1a2…an＝a·q1＋2＋…＋n－1＝29n＝(－1)2，∴当 n＝9时，Πn最大．故选C 答案：C ‎4．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，‎ ‎∴m＝2，a＝1，‎ ‎∴f(x)＝x2＋x＝x(x＋1)，‎ ‎∴＝＝－，‎ ‎∴Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.‎ 答案：A ‎5．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2，n∈N*)，则这个数列的 第10项等于 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵1－＝－1，∴＋＝2，＝＋，∴是首项为，公 差为的等差数列，‎ ‎∴＝n，∴a10＝，故选D.‎ 答案：D ‎6．数列{an}中，a1＝1，an、an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前 n项和Sn＝ (　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意得an＋an＋1＝2n＋1，‎ 又∵an－n＝－[an＋1－(n＋1)]，a1＝1‎ ‎∴an＝n，‎ 又an·an＋1＝，∴bn＝.‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＝.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且该自然数之前未出现过，则 用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝________.‎ 解析：∵a1－2＝－1∉N，∴a2＝3a1＝3.∵a2－2＝1＝a1，‎ ‎∴a3＝3a2＝9，∵a3－2＝7，∴a4＝7，∵a4－2＝5，∴a5＝5，∵a5－2＝3＝a2，∴a6＝3a5＝15.‎ 答案：15‎ ‎8．已知数列{an}满足＝(n∈N*)，且a1＝1，则an＝________.‎ 解析：由已知得＝，‎ ＝，‎ ‎…‎ ＝，‎ a1＝1，‎ 左右两边分别相乘得 an＝1·····…···＝.‎ 答案： ‎ ‎9．如图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)图 中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2‎ 个数是________．‎ 解析：设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{an}，则 有a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…，an－an－1＝n－1，‎ 相加得an－a2＝2＋3＋…＋(n－1)＝×(n－2)＝，‎ an＝2＋＝.‎ 答案： ‎10．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列 的前n项和的公式是________．‎ 解析：∵y＝xn(1－x)，‎ ‎∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn ‎＝n·xn－1(1－x)＋(－xn)．‎ f′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.‎ ‎∵函数在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.‎ ‎∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)，与y轴交点纵坐标为y＝(n＋1)·2n＝an ‎∴＝2n，∴数列成等比数列，首项为2，公比为2，‎ ‎∴前n项和为＝2(2n－1)＝2n＋1－2.‎ 答案：2n＋1－2‎ 三、解答题 ‎11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列， b1＝1，‎ 且b2S2＝64，b3S3＝960.‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)求＋＋…＋的值．‎ 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，‎ an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，‎ 依题意有，‎ 解得 或(舍去)，‎ 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ‎＝ ‎＝＝－.‎ ‎12．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(An2＋Bn＋C)·2n，试推断是否存在常数A、B、C，使得对一切n∈N*，an＝bn＋1－bn恒成立？若存在，求出A、B、C的值；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)求证：i<(n2－2n＋2)·2n＋2.‎ ‎(1)解：由已知得＝2·，∴是公比为2的等比数列，且首项为2，∴＝2·2n－1，an＝2n·n2‎ ‎(2)解：∵bn＝(An2＋Bn＋C)·2n，∴bn＋1－bn＝[A(n＋1)2＋B(n＋1)＋C]·2n＋1－(An2＋Bn＋C)·2n＝[An2＋(4A＋B)n＋2A＋2B＋C]·2n.‎ 若an＝bn＋1－bn恒成立，则An2＋(4A＋B)n＋2A＋2B＋C＝n2恒成立，‎ ‎∴，解得A＝1，B＝－4，C＝6，‎ 故存在常数A＝1，B＝－4，C＝6满足条件．‎ ‎(3)证明：由(2)得，bn＝(n2－4n＋6)·2n，‎ ‎∴i＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn＋1－bn)‎ ‎＝bn＋1－b1＝[(n＋1)2－4(n＋1)＋6]·2n＋1－6＝(n2－2n＋3)·2n＋1－6<(n2－2n＋3)·2n＋1‎ ‎＝· 2n＋2＝·2n＋2‎ ‎＝·2n＋2≤(n2－2n＋2)·2n＋2，‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎13．(2010·四川)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1‎ ‎＝2am＋n－1＋2(m－n)2.‎ ‎(1)求a3，a5；‎ ‎(2)设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；‎ ‎(3)设cn＝(an＋1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎(1)解：由题意，令m＝2，n＝1可得a3＝2a2－a1＋2＝6.‎ 再令m＝3，n＝1可得a5＝2a3－a1＋8＝20.‎ ‎(2)证明：当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8.于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，即bn＋1－bn＝8.‎ 所以，数列{bn}是公差为8的等差数列．‎ ‎(3)由(1)、(2)的解答可知{bn}是首项b1＝a3－a1＝6，公差为8的等差数列．‎ 则bn＝8n－2，即a2n＋1－a2n－1＝8n－2.‎ 另由已知(令m＝1)可得，an＝－(n－1)2.‎ 那么，an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n.‎ 于是，cn＝2nqn－1.‎ 当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)．‎ 当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋…＋2n·qn－1.‎ 两边同乘q可得 qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋…＋2(n－1)·qn－1＋2n·qn.‎ 上述两式相减即得 ‎(1－q)Sn＝2(1＋q1＋q2＋…＋qn－1)－2nqn＝2·－2nqn ‎＝2·，‎ 所以Sn＝2·.‎ 综上所述，‎ Sn＝ 高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）‎ ‎［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.‎ 选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.‎ 解：(1)当m=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α= ‎ ‎(2)当m≠2时，直线l的斜率k=∵m＞2时，k＞0.‎ ‎∴α=arctan,α∈（0，），‎ ‎∵当m＜2时，k＜0‎ ‎∴α＝π＋arctan，α∈(,π).‎ 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围.‎ ‎［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（，m）共线，求m的值.‎ 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.‎ 解：∵A、B、C三点共线，‎ ‎∴ｋAB＝ｋAC，‎ 解得m=.‎ 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.‎ ‎［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.‎ 选题意图：强化斜率公式.‎ 解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan2α=ｋAB=‎ 即3tan2α+8tanα－3=0，‎ 解得tanα＝或tanα＝－3.‎ ‎∵tan2α＝＞0,∴0°＜2α＜90°,‎ ‎0°＜α＜45°，‎ ‎∴tanα＝.‎ 因此，直线l的斜率是 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.‎ 命题否定的典型错误及制作 在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．‎ 一、典型错误剖析 错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论 在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：是无理数，其否定是：不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．‎ 例1 写出下列命题的否定：‎ ‎⑴ 对于任意实数x，使x2＝1；‎ ‎⑵ 存在一个实数x，使x2＝1．‎ 错解：它们的否定分别为 ‎⑴ 对于任意实数x，使x2≠1；‎ ‎⑵ 存在一个实数x，使x2≠1．‎ 剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．‎ 正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；‎ ‎⑵对于任意实数x，使x2≠1．‎ 错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词 在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．‎ 例2 写出下列命题的否定：‎ ‎⑴ 线段AB与CD平行且相等；‎ ‎⑵ 线段AB与CD平行或相等．‎ 错解：⑴ 线段AB与CD不平行且不相等；‎ ‎⑵ 线段AB与CD不平行或不相等．‎ 剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．‎ 正解：⑴ 线段AB与CD不平行或不相等；‎ ‎⑵ 线段AB与CD不平行且不相等．‎ 错误3——认为“都不是”是“都是”的否定 例3 写出下列命题的否定：‎ ‎⑴ a，b都是零；‎ ‎⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员．‎ 错解：⑴ a，b都不是零；‎ ‎⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员．‎ 剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．‎ 正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．‎ ‎⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．‎ 错误4——认为“命题否定”就是“否命题”‎ 根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．‎ 例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．‎ 错解：不满足条件C的点不都在直线F上．‎ 剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．‎ 正解：满足条件C的点不都在直线F上．‎ 二、几类命题否定的制作 ‎1．简单的简单命题 命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．‎ 例5 写出下列命题的否定：‎ ‎⑴ 3＋4＞6；‎ ‎⑵ 2是偶数．‎ 解：所给命题的否定分别是：‎ ‎⑴ 3＋4≤6；‎ ‎⑵ 2不是偶数．‎ ‎2．含有全称量词和存在量词的简单命题 全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于 “存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．‎ 全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．‎ 例6 　写出下列命题的否定：‎ ‎⑴ 不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．‎ ‎⑵ 存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．‎ ‎⑶ 至少有一个整数是自然数．‎ ‎⑷ 至多有两个质数是奇数．‎ 解：⑴ 原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．‎ ‎⑵ 原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．‎ ‎⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．‎ ‎⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．‎ ‎3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定 ‎“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；‎ 例7 　写出下列命题的否定：‎ ‎⑴ 他是数学家或物理学家．⑵ 他是数学家又是物理学家．‎ ‎⑶≥0．‎ 解：⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．‎ ‎⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．‎ ‎⑶若认为┐p：＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括＜0或＝0．‎ 或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．‎