高中数学人教a版选修1-1学业分层测评19生活中的优化问题举例word版含解析

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学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱，所用材料最省时，它 的高为( ) A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m 【解析】 设底面边长为 x m，高为 h m，则有 x2h＝256，所以 h＝256 x2 .所用材料的面积设为 S m2，则有 S＝4x·h＋x2＝4x·256 x2 ＋x2＝ 256×4 x ＋x2.S′＝2x－256×4 x2 ，令 S′＝0 得 x＝8，因此 h＝256 64 ＝4(m)． 【答案】 C 2．某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位 的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系 是 R(x)＝－ x3 900 ＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产 品单位数是( ) A．150 B．200 C．250 D．300 【解析】 由题意可得总利润 P(x)＝－ x3 900 ＋300x－20 000， 0≤x≤390. 由 P′(x)＝0，得 x＝300. 当 0≤x＜300 时，P′(x)＞0；当 300≤x≤390 时，P′(x)＜0， 所以当 x＝300 时，P(x)最大．故选 D. 【答案】 D 3．某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可 以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材 料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( ) A．32,16 B．30,15 C．40,20 D．36,18 【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短． 设场地宽为 x 米，则长为512 x 米， 因此新墙总长 L＝2x＋512 x (x＞0)， 则 L′＝2－512 x2 . 令 L′＝0，得 x＝16 或 x＝－16(舍去)． 此时长为512 16 ＝32(米)，可使 L 最小． 【答案】 A 4．某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品．若该商 品零售价定为 P 元，销售量为 Q 件，且销量 Q 与零售价 P 有如下关 系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进 货支出)( ) A．30 元 B．60 元 C．28 000 元 D．23 000 元 【解析】 毛利润为(P－20)Q， 即 f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)， f′(P)＝－3P2－300P＋11 700 ＝－3(P＋130)(P－30)． 令 f′(P)＝0，得 P＝30 或 P＝－130(舍去)． 又 P∈[20，＋∞)，故 f(P)max＝f(P)极大值， 故当 P＝30 时，毛利润最大， ∴f(P)max＝f(30)＝23 000(元)． 【答案】 D 5．三棱锥 O－ABC 中，OA，OB，OC 两两垂直，OC＝2x，OA ＝x，OB＝y，且 x＋y＝3，则三棱锥 O－ABC 体积的最大值为( ) A．4 B．8 C.4 3 D.8 3 【解析】 V＝1 3 ×2x2 2 ·y＝x2y 3 ＝x23－x 3 ＝3x2－x3 3 (0＜x＜3)， V′＝6x－3x2 3 ＝2x－x2＝x(2－x)． 令 V′＝0，得 x＝2 或 x＝0(舍去)． ∴x＝2 时，V 最大为4 3. 【答案】 C 二、填空题 6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π，且用料最 省，则圆柱的底面半径为________． 【解析】 设圆柱的底面半径为 R，母线长为 L，则 V＝πR2L＝ 27π，所以 L＝27 R2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S 表＝πR2 ＋2πRL＝πR2＋2π·27 R ，令 S′表＝2πR－54π R2 ＝0，得 R＝3，即当 R＝3 时，S 表最小． 【答案】 3 7．已知某矩形广场面积为 4 万平方米，则其周长至少为________ 米. 【导学号：26160099】 【解析】 设广场的长为 x 米，则宽为40 000 x 米，于是其周长为 y＝2 x＋40 000 x (x>0)，所以 y′＝2 1－40 000 x2 ，令 y′＝0，解得 x ＝200(x＝－200 舍去)，这时 y＝800.当 0200 时，y′>0.所以当 x＝200 时，y 取得最小值，故其周长至少为 800 米． 【答案】 800 8．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1(万元)与仓库到车站 的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2(万元)与到车站的距离成正 比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万 元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ 千米处． 【解析】 设仓库与车站相距 x 千米，依题意可设每月土地占用 费 y1＝k1 x ，每月库存货物的运费 y2＝k2x，其中 x 是仓库到车站的距离， k1，k2 是比例系数，于是由 2＝k1 10 得 k1＝20；由 8＝10k2 得 k2＝4 5. ∴两项费用之和为 y＝20 x ＋4x 5 (x＞0)， y′＝－20 x2 ＋4 5 ，令 y′＝0， 得 x＝5 或 x＝－5(舍去)． 当 0＜x＜5 时，y′＜0； 当 x＞5 时，y′＞0. ∴当 x＝5 时，y 取得极小值，也是最小值． ∴当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小． 【答案】 5 三、解答题 9．(2016·武汉高二检测)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入) 为 2 500 元，已知每生产 x 件这样的产品需要再增加可变成本 C(x)＝ 200x＋ 1 36x3(元)，若生产出的产品都能以每件 500 元售出，要使利润 最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？ 【解】 设该厂生产 x 件这种产品利润为 L(x)， 则 L(x)＝500x－2 500－C(x) ＝500x－2 500－ 200x＋ 1 36x3 ＝300x－ 1 36x3－2 500(x∈N)， 令 L′(x)＝300－ 1 12x2＝0， 得 x＝60(件)， 又当 0≤x≤60 时，L′(x)>0， x>60 时，L′(x)<0， 所以 x＝60 是 L(x)的极大值点，也是最大值点． 所以当 x＝60 时，L(x)max＝9 500 元． 10．用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果 所制作的容器的底面的一边比另一边长 0.5 m，那么高为多少时容器 的容积最大？并求出它的最大容积． 【解】 设容器底面较短的边长为 x m，则容器底面较长的边长 为(x＋0.5)m，高为14.8－4x－4x＋0.5 4 ＝3.2－2x(m)， 由 3.2－2x>0 和 x>0，得 00； 当 10，f(x)是递增的； x∈ 2 3 ，2 时，f′(x)<0，f(x)是递减的， ∴当 x＝ 2 3 时，f(x)取最大值4 3 9 . 【答案】 4 3 9 4．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元 /辆，出厂价为 13 万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档 次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为 x(00； 当 x∈ 5 9 ，1 时，f′(x)<0. 所以，当 x＝5 9 时，f(x)取得极大值，f 5 9 ＝20 000. 因为 f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值． 故当 x＝5 9 时，本年度的年利润最大，最大利润为 20 000 万元．