2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第5讲函数的单调性与最值课件

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第5讲函数的单调性与最值课件

第 5 讲　函数的单调性与最值 课标要求 考情风向标 1. 通过已学过的函数特 别是二次函数，理解函 数的单调性、最大 ( 小 ) 值及其几何意义 . 2. 学会运用函数图象理 解和研究函 数的性质 函数的单调性、奇偶性常与函数的其他 性质，如与周期性、对称性相结合求函 数值或参数的取值范围，是高考的热点 及重点 . 常与函数的图象及其他性质交 汇命题 . 题型多以选择题、填空题形式 出现，若与导数交汇，则多为解答题 1. 函数的单调性 ( 续表 ) 前提 设函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 条件 ① 对于任意 x ∈ I ，都有 f ( x ) ≤ M ； ② 存在 x 0 ∈ I ，使得 f ( x 0 ) ＝ M ① 对于任意 x ∈ I ，都有 f ( x ) ≥ M ； ② 存在 x 0 ∈ I ，使得 ____________ 结论 M 为最大值 M 为最小值 2. 函数的最大 ( 小 ) 值 f ( x 0 ) ＝ M 1.(2019 年北京 ) 下列函数中，在区间 (0 ，＋∞ ) 上单调递增 的是 ( ) A 2.(2018 年北京 ) 能说明“若 f ( x )> f (0) 对任意的 x ∈(0,2] 都成 立，则 f ( x ) 在 [0,2] 上是增函数”为假命题的一个函数是 ________ __ _____ ________. y ＝ sin x [0,4) 2 ( 答案不唯一 ) 考点 1 函数单调性的判断 考向 1 利用定义 ( 或性质 ) 判断函数的单调性 例 1 ： (1) (2017 年新课标 Ⅱ ) 函数 f ( x ) ＝ ln( x 2 － 2 x － 8) 的单调 递增区间是 ( ) A.( －∞，－ 2) C.(1 ，＋∞ ) B.( －∞，－ 1) D.(4 ，＋∞ ) 解析： x 2 － 2 x － 8>0 ， x < － 2 或 x >4 ， f ( x ) ＝ ln( x 2 － 2 x － 8) 的 定义域为 ( －∞，－ 2)∪(4 ，＋∞ ). 又 y ＝ x 2 － 2 x － 8 ＝ ( x － 1) 2 － 9 ， 当 x <1 时单调递减， 当 x >1 时单调递增，∴函数 f ( x ) ＝ ln( x 2 － 2 x － 8) 的单调递增区间是 (4 ，＋∞ ). 故选 D. 答案： D (2)(2019 年江苏无锡模拟 ) 函数 f ( x ) ＝ | x － 2| x 的单调递减区 间是 ( ) A.[1,2] C.[0,2] B.[ － 1,0] D.[2 ，＋∞ ) 函数的单调减区间是 [1,2]. 答案： A 考向 2 利用导数判断函数的单调性 例 2 ： (1) 函数 f ( x ) ＝ (3 － x 2 )e x 的单调递增区间是 ( ) A.( －∞， 0) C.( － 3,1) B.(0 ，＋∞ ) D.( －∞，－ 3) 和 (1 ，＋∞ ) 解析： f ′( x ) ＝ (3 － 2 x － x 2 )e x >0 得 x 2 ＋ 2 x － 3 ＝ ( x ＋ 3)( x － 1)<0 ，即－ 3< x <1. ∴ 所求函数的增区间为 ( － 3,1) ，故选 C. 答案： C 答案： (0 ， e) 考点 2 函数单调性的应用 考向 1 比较大小 例 3 ： (1) (2018 年河南许昌、平顶山期中 ) 已知 f ( x ) 是偶函数， 在 ( －∞， 0) 上满足 xf ′( x )>0 恒成立，则下列不等式成立的是 ( ) A. f ( － 3)< f (4)< f ( － 5) B. f (4)< f ( － 3)> f ( － 5) C. f ( － 5)< f ( － 3)< f (4) D. f (4)< f ( － 5)< f ( － 3) 解析： x ∈( －∞， 0) 时， xf ′( x )>0 ，即 f ′( x )<0 ， ∴ f ( x ) 在 ( －∞， 0) 上单调递减，又 f ( x ) 为偶函数， ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递增 . ∴ f (3)< f (4)< f (5) ， ∴ f ( － 3)< f (4)< f ( － 5) ，故选 A. 答案： A (2)(2019 年新课标 Ⅲ ) 设 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数，且在 (0 ，＋∞ ) 单调递减，则 ( ) 答案： C 考向 2 解不等式 例 4 ： (1) (2017 年新课标 Ⅰ ) 函数 f ( x ) 在 ( －∞， ＋∞ ) 上单调 递减，且为奇函数 . 若 f (1) ＝－ 1 ，则满足－ 1 ≤ f ( x － 2) ≤ 1 的 x 的取值范围是 ( ) A.[ － 2,2] B.[ － 1,1] C.[0,4] D.[1,3] 解析： ∵函数 f ( x ) 为奇函数， f (1) ＝－ 1 ， f ( － 1) ＝ 1 ，－ 1 ≤ f ( x － 2) ≤ 1⇔ f (1) ≤ f ( x － 2) ≤ f ( － 1) ，函数 f ( x ) 在 ( －∞，＋∞ ) 单调 递减，有－ 1 ≤ x － 2 ≤ 1 ，解得 1 ≤ x ≤ 3. 故选 D. 答案： D (2) 函数 y ＝ f ( x ) 是 R 上的增函数，且 y ＝ f ( x ) 的图象经过点 A ( － 2 ，－ 3) 和 B (1,3) ，则不等式 | f (2 x － 1)|<3 的解集为 ________. 解析： ∵ y ＝ f ( x ) 的图象经过点 A ( － 2 ，－ 3) 和 B (1,3) ， ∴ f ( － 2) ＝－ 3 ， f (1) ＝ 3. 又 | f (2 x － 1)|<3 ，∴－ 3< f (2 x － 1)<3 ，即 f ( － 2)< f (2 x － 1)< f (1). ∵ 函数 y ＝ f ( x ) 是 R 上的增函数， 考向 3 求参数的取值范围 例 5 ： (1) (2019 年北京 ) 设函数 f ( x ) ＝ e x ＋ a e － x ( a 为常数 ). 若 f ( x ) 为奇函数，则 a ＝ ________ ；若 f ( x ) 是 R 上的增函数，则 a 的取 值范围是 ____________. 解析： 若函数 f ( x ) ＝ e x ＋ a e － x 为奇函数，则 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， e － x ＋ a e x ＝－ (e x ＋ a e － x ) ， ( a ＋ 1)(e x ＋ e － x ) ＝ 0 对任意的 x 恒成立， ∴ a ＋ 1 ＝ 0 ， a ＝－ 1. 答案： － 1 　 ( －∞， 0] 若函数 f ( x ) ＝ e x ＋ a e － x 是 R 上的增函数， 则 f ′ ( x ) ＝ e x － a e － x ≥ 0 恒成立， a ≤ e 2 x ， a ≤ 0. 即实数 a 的取值范围是 ( － ∞ ， 0]. 答案： D 难点突破 ⊙ 函数的最值与值域 例题： 求下列函数的值域： (4) 方法一 ( 绝对值不等式法 ) ， 由于 | x ＋ 1| ＋ | x － 2| ≥ |( x ＋ 1) － ( x － 2)| ＝ 3 ， ∴ 函数值域为 [3 ，＋∞ ). 画出此分段函数的图象如图 2-5-1 ，可知值域为 [3 ，＋∞ ). 图 2-5-1 【 规律方法 】 常用的求值域的方法有： ① 代入法：适用于定义域为有限集的函数； ② 分离系数法：若函数 y ＝ f ( x ) 的解析式中含有 | x | ， x 2 ， ， sin x ， cos x 等元素，又能用 y 表示出来，则利用这些元素的有 界性解出 y 的范围； ③ 配方法：适用于二次函数类的函数； ④ 反函数法：适用于形如 y ＝ 类的函数； ⑤ 判别式法：适用于形如 y ＝ 类的函数； ⑥ 换元法：主要处理一些根式类的函数； ⑦ 不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求 最值； ⑧ 最值法：通过求导数进而求出最值； ⑨ 求三角函数的值域主要有三条途径：将 sin x 或 cos x 用 所求变量 y 来表示，如 sin x ＝ f ( y ) ，再由 |sin x | ≤ 1 得到一个关于 y 的不等式 | f ( y )| ≤ 1 ，从而求得 y 的取值范围 . 【 跟踪训练 】 求下列函数的值域： 1. 求函数的单调性或单调区间的方法 . (1) 利用已知函数的单调性 . (2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义 . (3) 图象法：如果 f ( x ) 是以图象形式给出的，或者 f ( x ) 的图象 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 . (4) 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 . (5) 复合函数 y ＝ f [ g ( x )] 根据“同增异减”判断 . 2. 利用定义判断或证明函数的单调性 . 函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变 化趋势，“任意”两个字是必不可少的 . 如果只用其中两点的函 数值 ( 比如说端点值 ) 进行大小比较是不能确定函数的单调性的 . 注意定义的如下两种等价形式： 3. 求函数的单调区间 . 4. 复合函数的单调性 . 对于复合函数 y ＝ f [ g ( x )] ，若 t ＝ g ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上是单调 函数，且 y ＝ f ( t ) 在区间 ( g ( a ) ， g ( b )) 或者 ( g ( b ) ， g ( a )) 上是单调函 数，若 t ＝ g ( x ) 与 y ＝ f ( t ) 的单调性相同 ( 同时为增或减 ) ，则 y ＝ f [ g ( x )] 为增函数；若 t ＝ g ( x ) 与 y ＝ f ( t ) 的单调性相反，则 y ＝ f [ g ( x )] 为减函数 . 简称：同增异减 . 5. 最值问题 . 并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最 小值，如 y ＝－ x 2 ；有的函数只有最小值而无最大值，如 y ＝ x 2 ；