陕西省西安交通大学附中上学期2020届高三第四次诊断数学（文）试题

陕西省西安交通大学附中上学期2020届高三第四次诊断数学（文）试题

交大附中2019～2020学年第一学期 高三第四次诊断考试数学试题（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）‎ ‎1.复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，虚部为-1.‎ 考点：复数的概念和运算.‎ ‎2.双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知双曲线方程，找出方程中，代入离心率的公式即可.‎ ‎【详解】因为双曲线，‎ 所以，，‎ 因为，‎ 所以离心率.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线方程的离心率，属于基础题.‎ ‎3.=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ 考点：全诱导公式应用及特殊角的三角函数值．‎ ‎4.下列说法不正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. 为假命题，则均为假命题 C. 若“”是“”的充分不必要条件 D. 若命题：“，使得”，则“，均有”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义、含逻辑连接词命题的真假性、充分条件与必要条件的判定、含量词的命题的否定依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】根据逆否命题的定义可知：“若，则”的逆否命题为：“若，则”，正确；‎ 为假命题，则只要，不全为真即可，错误；‎ 由可得：，充分条件成立；由可得：或，必要条件不成立；则“”是“”的充分不必要条件，正确；‎ 根据含量词命题的否定可知，，使得的否定为：，均有，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查命题真假性的判定，涉及到逆否命题的定义、含逻辑连接词的命题、充分条件与必要条件、含量词命题的否定的知识.‎ ‎5.已知角的终边经过点且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有．‎ 考点：三角函数概念．‎ ‎6.全集，，，则图中阴影部分表示（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中韦恩图知，阴影部分面积为，求出集合，的范围，然后根据运算律求解即可.‎ ‎【详解】由题知阴影部分面积为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算，属于基础题.‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先根据所给的三视图，可以判断外层的轮廓是由一个正方体切割而成的，再者就是里边有一个空洞，是一个球体的八分之一，所以在求其体积时，就等于棱锥的体积减去部分球体的体积，从图中得到相应的线段的长度，代入公式求得结果.‎ 详解：根据题中所给的几何体的三视图，‎ 可以断定该几何体为一个四棱锥里边挖去了八分之一的球体，‎ 并且该四棱锥就是由一个正方体切割而成的，‎ 根据体积公式求得四棱锥的体积为，‎ 而挖去八分之一球体的体积为，‎ 所以该几何体的体积为，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关三视图还原几何体求其体积的问题，在求解的过程中，最关键的一步就是还原几何体，从图中可以发现其为一个棱锥挖去一个部分球体的几何体，一是需要明确棱锥的顶点的特征，二是挖去的是球体的几分之几，之后借助于公式，从图中读出边长求得结果.‎ ‎8.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（　）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环运算：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：，这时符合条件输出，故选A.‎ 考点：算法初步.‎ ‎9.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　‎ A. B. 与相交 C. D. 与所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为．‎ ‎【详解】解：一个正方体的展开图如图所示，‎ 为原正方体的顶点，‎ 还原成正方体如下图，‎ ‎，是与所成角，‎ ‎，，‎ 在原来的正方体中与所成的角为．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题．‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中提示规律，找出的原式方程求解即可.‎ ‎【详解】由题知的值可以通过方程求出，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了运算法则的类比推理，属于基础题.‎ ‎11.等差数列的前项和为，，，则最大时为（ ）‎ A. 1 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列，，求出公差与首项，然后求出代入方程求解最大时的取值.‎ ‎【详解】因为等差数列，有，‎ 解得，因为，所以公差，‎ 所以，‎ 故，‎ 易知当时取最大值.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列取最值，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，若方程有4个实根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把求根的问题转化为函数图像的交点问题，然后求解的取值范围即可.‎ ‎【详解】设，‎ 即方程有个实根，‎ 绘制出的图像如下图，‎ 即的图像与相交于个点，‎ 有，‎ 即，‎ 解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像交点与函数根的关系，属于基础题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知等比数列，，则等于__________．‎ ‎【答案】189‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等比数列的通项公式求公比的平方,再求即可.‎ ‎【详解】解：在等比数列中由,‎ 得 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,是基础题.‎ ‎14.已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】设直线的斜率为，，‎ 直线的斜率为，，‎ 两条直线垂直，，整理得：，‎ ‎，‎ 等号成立当且仅当，的最小值为.‎ ‎【点睛】利用“‎1”‎的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.‎ ‎15.‎ 某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ n为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2：1，所以n为6的倍数，因此 ‎ 因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此 ‎16.已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以A点为原点,建立如图所示平面直角坐标系,不妨设 ,根据向量的坐标运算和向量的模可得 ,再根据三角函数的性质即可求出范围.‎ ‎【详解】解：以点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则 ,‎ ‎ ,不妨设,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,‎ 的取值范围为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本意考查向量的坐标运算和向量的模的取值范围,是中档题.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）‎ ‎17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）12‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为 又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，‎ 而平面PAC，所以.‎ ‎（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.‎ 由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形ＡＯＤ中，‎ 所以 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积 ‎18.‎ 三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、，设向量，若//．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2） ．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由//知，即得，据余弦定理知 ‎，得 ‎（2） ‎ 因为，所以，得 所以，得，即得取值范围为．‎ 点睛：本题关键是首先要得出向量平行的等式，再结合余弦定理即可得出B，对于三角函数范围问题则通常需要将原式化简为的形式再求解答案（需注意范围的变化），此题属于基础题.‎ ‎19.某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组，第二组，……，第五组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎（1）求价格落在内的地区数；‎ ‎（2）借助频率分布直方图，估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；‎ ‎（3）现从，这两组的全部样本数据中，随机选取两个地区的零售价格，记为，，求事件“”的概率.‎ ‎【答案】（1）16；（2）15.7元；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据总面积为求出价格落在内的地区数；‎ ‎（2）根据中位数两边的面积都是求出中位数；‎ ‎（3）根据古典概型求解即可，首先求出基本事件总数，再求出事件“”的事件数即可求出答案.‎ ‎【详解】（1）价格在内的频率为：‎ ‎，‎ 所以价格在内的地区数为；‎ ‎（2）设价格中位数为，‎ 由，‎ 解得（元）；‎ ‎（3）由直方图知，‎ 价格在的地区数为，‎ 设为，，，‎ 价格在的地区数为，‎ 设为，，，，‎ 若时，‎ 有，，，3种情况，‎ 若时，‎ 有，，，，，，6种情况，‎ 若，分别在和内时，‎ 共有12种情况，‎ 所以基本事件总数为21种，‎ 事件“”所包含的基本事件个数有12种，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，中位数，古典概型的计算，属于一般题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求在的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎【答案】（1）最小值3，最大值；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出函数的单调性，再根据函数的定义域，求区间内的最值即可；‎ ‎（2）首先对函数求导，再对分类讨论，分析导函数的正负，从而讨论出函数的单调性.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ ‎，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以当时，‎ 在的最小值3，最大值；‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ ‎②当时，‎ 或，‎ 在上单调递减，在单调递增，‎ ‎③当时，‎ 若时，‎ 在上单调递增，在和上单调递减，‎ 若时，‎ 在上单调递减，‎ 若时，‎ 在上单调递增，在和上单调递减.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数分析求解函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎21.已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；‎ ‎（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3））当时，易得与相交于点，可猜想：变化时，与相交于点，再证明猜想成立即可.‎ 试题解析：（1）∵过椭圆的右焦点，‎ ‎∴右焦点，即，‎ 又∵的焦点为椭圆的上顶点，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴椭圆的方程；‎ ‎（2）由得，，‎ 设，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 综上所述，当变化时，的值为定值；‎ ‎（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：‎ ‎∵，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即三点共线.‎ 同理可得三点共线，‎ 则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.‎ 点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 作答时请写清题号.‎ ‎22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.‎ ‎（1）求的参数方程；‎ ‎（2）设点在半圆上，半圆在处的切线与直线：垂直，求直线的倾斜角及点的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）（为参数，)；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据的极坐标方程求出的普通方程，然后即可求出的参数方程；‎ ‎（2）根据几何关系求出直线倾斜角，然后利用参数方程求出点的直角坐标.‎ ‎【详解】（1）由半圆的极坐标方程为，，‎ 即，‎ 可得的普通方程为，‎ 可得的参数方程为（为参数，)；‎ ‎（2）由（1）知是以为圆心，1为半径上半圆，‎ 设点，‎ ‎∵直线的斜率与直线的斜率相等，‎ ‎∴，，‎ 故的直角坐标为，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的极坐标方程，圆的参数方程，参数方程的几何意义，属于一般题.‎ ‎23.已知函数f（x）=|2x﹣a|，g（x）=x+1．‎ ‎（1）若a=1，求不等式f（x）≤1的解集；‎ ‎（2）对任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a2+‎2a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|0≤x≤1}．（2）﹣≤a≤2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据绝对值定义得﹣1≤2x﹣1≤1，即得解集；（2）根据恒成立条件得|2x﹣a|+|x+1|的最小值大于或等于a2+‎2a．利用绝对值定义分类讨论|2x﹣a|+|x+1|的最小值为 ，最后解不等式≥a2+‎2a得实数a的取值范围．‎ 试题解析：解：（1）若a=1，不等式f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，即﹣1≤2x﹣1≤1，求得 ‎ 0≤x≤1，‎ 故不等式的解集为{x|0≤x≤1}．‎ ‎（2）对任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a2+‎2a（a＞0）恒成立，即|2x﹣a|+|x+1|≥a2+‎2a，‎ 故|2x﹣a|+|x+1|的最小值大于或等于a2+‎2a．‎ ‎∵|2x﹣a|+|x+1|=，‎ 故当x=时，|2x﹣a|+|x+1|取得最小值为+1，‎ ‎∴+1≥a2+‎2a，求得﹣≤a≤2．‎