江苏省泰州市2020~2021学年度第一学期期中调研测试高三数学

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高三数学试题 第 1页 共 6 页 泰州 2020~2021 学年度第一学期期中调研测试 高三数学试题 (考试时间:120 分钟;总分:150 分) 一、选择题:(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,请将答案填涂到答题卡相应区域). 1.设集合  2| log 1M x x  ,集合  | 2 1N x x    ,则 M N  ( ▲ ) A. (0,1) B. 2,2 C. 0,2 D. 2,1 2.已知 , Ra b ,i 为虚数单位,则“ 0ab  ”是“ ba  i 为纯虚数”的( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 欧拉是瑞士著名数学家,他首先发现: i =cos isin  e (e 为自然对数的底数,i 为 虚数单位),此结论被称为“欧拉公式”,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角 函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知, iπe =( ▲ ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 1+i 4. 埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫 金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字 “巧合”.如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度,得到的商为 3.14159,这就是圆周率 较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设 完成后,底座边长大约 230 米.因年久风化,顶端剥落 10 米,则胡夫金字塔现在的高度大 约为( ▲ ) A.128.4 米 B.132.4 米 C.136.4 米 D.110.4 米 5.在平行四边形 ABCD 中,点 ,E F 分别满足 1 2BE BC  , 1 3DF DC  , 高三数学试题 第 2页 共 6 页 若 BD AE AF     ,则实数   的值为( ▲ ) A. 1 5  B. 1 5 C. 7 5  D. 7 5 6.函数 xx xxxf   33 sin)( 的图象大致为( ▲ ) A. B. C . D . 7.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音:“道路千万条,安全第一条.行车不规 范,亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒,喝酒不开车”.2019 年,公安部交通 管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》,对综合治理酒驾醉驾违法犯罪 行为提出了新规定,根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准,车辆驾驶人员饮酒后或 者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒 后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图,且图表所示的函数模型 0.5 40sin 13,0 2( ) 3 90 14, 2x x xf x e x                 ,假设该人喝一瓶啤酒后至少经过 *( )n n N 小时才 可以驾车,则 n 的值为( ▲ )(参考数据: ln15 2.71,ln30 3.40  ) 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值: 高三数学试题 第 3页 共 6 页 驾驶行为类别 阈值( mg /100mL ) 饮酒驾车 [20,80) 醉酒驾车 [80,+∞) A.5 B.6 C.7 D.8 8.若实数 , ,a b c 满足 2 32 log log ,a b c k   其中 (1,2)k  ,则下列结论正确的是 ( ▲ ) A. b ca b B. log loga bb c C. logba c D. b ac b 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分. 9. 已知向量 ( 3,2), ( 1,0)a b     ,则下列选项正确的有( ▲ ) A. ( ) 4a b b     B. ( 3 )a b b    C. 2=a b b   D. 2 2 4a b a b      10. 已知函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx a    的导函数 ( )y f x 的两个零点为1,2 ,则下列 结论正确的有( ▲ ) A. 0abc  B. ( )f x 在区间[0,3]的最大值为 0 C. ( )f x 只有一个零点 D. ( )f x 的极大值是正数 11. 某港口一天 内潮水的高度 (单位: )随时间 (单位: ; )的变化 近似满足关系式 ,则下列说法正确的有( ▲ ) A. 在 上的平均变化率为 B.相邻两次潮水高度最高的时间间距为 24h C.当 6t  时,潮水的高度会达到一天中最低 D. 时潮水起落的速度为 高三数学试题 第 4页 共 6 页 12. 在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,点 P 是棱 BC 的中点,点 Q 是底面 1 1 1 1A B C D 上的动点,且 1AP D Q ,则下列说法正确的有( ▲ ) A. DP 与 1D Q 所成角的最大值为 4  B. 四面体 ABPQ 的体积不变 C. 1AAQ 的面积有最小值 2 55 D. 平面 1D PQ 截正方体所得截面面积不变 三、填空题:(本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,请将答案填写在答题卡相应的位置上). 13.已知 π 1tan( )4 3    ,则 cos2 的值为 ▲ . 14.乒乓球被称为中国的“国球”,目前国际比赛用球的直径为 4cm .某厂家计划生产乒 乓球包装盒,包装盒为长方体,每盒装 6 个乒乓球.现有两种方案,方案甲:6 个乒乓球 放一排;方案乙: 6 个乒乓球并排放置两排,每排放 3 个.乒乓球与盒子、以及乒乓球之 间紧密接触,确保用料最省,则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多 ▲ 2cm . 15.已知正实数 ,x y 满足 1x y  ,则 2y x xy  的最小值为 ▲ . 16. 已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, = 1AB BC  , 3AC  ,侧棱 1 2AA  ,则该三棱 柱外接球的体积为 ▲ . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分) 设集合  1 02 xA x x   ,  2 22 4 0B x x mx m     . (1)当 =2m 时,求 A B ; (2)若 =A B B ,求实数 m 的取值范围. 高三数学试题 第 5页 共 6 页 18.(本题满分 12 分) 已知向量  3 cos , 1a x  ,  2sin ,cosb x x ,函数 ( )f x a b   . (1)求函数 ( )f x 的单调递增区间; (2)求函数 ( )f x 在区间 02     , 上的最大值和最小值,并求出相应的 x 的值. 19.(本题满分 12 分) 已知 的内角 所对的边分别是 , 为锐角,在以下三个条件中任选 一个:① 3 )cos cos 0b c A a B  ( ;② ; ③ ;并解答以下问题: (1)若选______(填序号),求 cos A的值; (2)在(1)的条件下,若 2a  ,求 面积 S 的最大值. 20.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 中, , , 为正三角形, 是 CB 的中点, , . (1)求证:平面 平面 ; (2)求二面角 P BC D  的余弦值; (3)求四棱锥 的体积. 21.(本题满分 12 分) 高三数学试题 第 6页 共 6 页 已知函数 , ( ) ( ) ( )g x f x f x  . (1)解不等式: ; (2)当 1[ 1, ]2x  时,求函数 ( )g x 的值域; (3)若 , ,使得 成立,求实 数 的取值范围. 22.(本题满分 12 分) 已知函数 2( ) lnf x x x  , ( )g x kx . (1)求函数 ( )f x 的最小值; (2)若 ( )g x 是 ( )f x 的切线,求实数 k 的值; (3)若 ( )f x 与 ( )g x 的图象有两个不同交点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,求证: 1 2 1x x  . 高三数学试题 第 7页 共 6 页 2020~2021 学年度第一学期期中调研测 试 高三数学试题参考答案 一、单项选择题: 1.A 2.B 3. C 4. C 5.B 6.A 7.B 8.D 二、多项选择题: 9. ABD 10. BC 11. BD 12. BCD 三、填空题: 13. 3 5  14.64 15. 4 2 6 16. 8 2 3 π 三、解答题: 17.(本题满分 10 分) 解:    1 0 = 1 22 xA x x xx      -------------------------2 分    2 22 4 0 = 2 2B x x mx m x m x m         (1)当 =2m 时,  0 4B x x   --------------------------------------4 分 所以  = | 0 2A B x x I -----------------------------------------6 分 (2)因为 =A B BU ,所以 A B ,有: 2 1 2 2 m m     ≤ ≥ ,解得: 0 1m≤ ≤ , 所以实数 m 的取值范围为 0,1 .-----------------------------------------10 分 18.(本题满分 12 分) 解:(1) 2( ) = 3sin cos cosf x a b x x x    3 cos2 1= sin 22 2 2 xx   1=sin 2 cos cos2 sin6 6 2x x   1=sin 2 )6 2x  ( -------------------------------------4 分 高三数学试题 第 8页 共 6 页 由 2 ,2 6 2k x k k      Z2 ≤ ≤2 , 解得: ,6 3k x k k    Z≤ ≤ , 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为:[ , ],6 3k k k    Z .--------6 分 (2)因为 02x      , ,所以 72 6 6 6x          , ,---------------------8 分 所以 1sin 2 )6 2x -1≤ ( ≤ ,即 3 1sin 2 ) 02 6 2x  - ≤ ( ≤ ,--------------10 分 当 = 2x  时, ( )f x 有最大值为 0; 当 = 6x  时, ( )f x 有最小值为 3 2 - .----------------------------12 分 19.(本题满分 12 分) 解:(1)若选①,因为 3 )cos cos 0b c A a B  ( ,由正弦定理有: sin 3sin )cos sin cos 0B C A A B  ( , 即 sin cos cos sin 3sin cosB A B A C A  , 所以 sin 3sin cosC C A ,在 中,sin 0C  ,所以 1cos = 3A .--------6 分 若选②,  9 12cos2sin 2  ACB ,  9 12cos2 )cos(1  ACB ,  ABC 中,  CBA , 9 12cos2 cos1  AA ,  9 11cos22 cos1 2  AA , 07cos9cos36 2  AA ,  3 1cos A ,或 12 7cos A (舍),  3 1cos A .---------------------6 分 若选③,因为 ,由正弦定理有: sin 1 cos sin 2 sin A A B B  ,因为在 中,sin 0B  ,所以 2 sin =1 cosA A , 又 2 2sin cos =1A A , 为锐角,解得 1cos = 3A .------------------------6 分 高三数学试题 第 9页 共 6 页 (2)由(1)可知, 3 1cos A ,由 2 2sin cos =1A A , 为锐角,得 2 2sin = 3A , 由余弦定理可知, 3 1 2 222  bc acb  2a , bccb 21233 22   2 22 12 3 3 6bc b c bc   ≥  3bc≤ ,当且仅当 = 3b c 时等号成立.---------------------------9 分  面积: 1= sin 22S bc A≤ . 所以 面积 S 的最大值为 2 .------------------------------12 分 20.(本题满分 12 分) 解:(1)因为 为正三角形, 是 CB 的中点, 所以 , 因为 , , 平面 , 平面 , 所以 平面 , 因为 平面 所以平面 平面 .----------------------------------4 分 (2)由(1)中 平面 ,则 , 又 ,所以 是二面角 的平面角, 因为 , ,所以 , , 因为 , , 所以 , 即二面角 的余弦值为 .-------------------------------8 分 (3)在 中,过 作 于 , 由(1)中得 平面 ,又因为 平面 , 所以平面 平面 , 又 平面 , 故 平面 ,-------------------------------10 分 由 为正三角形,得 的面积 , 的面积 ,四边形 的面积 为 在 中, 高三数学试题 第 10页 共 6 页 所以四棱锥 的体积 . ----------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 21.(本题满分 12 分) 解:(1)由 得 , 即 , 所以 ,又 2 1 0x   所以 ,即不等式的解集为 ;-------------------------3 分 (2) ( ) ( ) ( ) 2 2 xxg x f x f x    , ①当 时, ; ②当 [ 1,0)x  时, , 令 ,则 , , 即 在 上为减函数,故 ; 综上得:当 时,函数 ( )g x 的值域为[2,2 2] ;-----------------------------------7 分 (3)由题意得, , , 当 ,由(2)得 ,所以 , 所以 恒成立, 即 恒成立,------------------------------------------------10 分 又 ,当且仅当 时取等号, 所以实数 的取值范围为 .----------------------------------12 分 高三数学试题 第 11页 共 6 页 22.(本题满分 12 分) 解:(1)∵ 2( ) lnf x x x  ,∴ 21 2 1( ) 2 ( 0)xf x x xx x      , 当 2(0, )2x 时, ( ) 0f x  ,∴ ( )f x 在 2(0, )2 上单调递减; 当 2( , )2x  时, ( ) 0f x  ,∴ ( )f x 在 2( , )2  上单调递增. 故函数 ( )f x 的最小值为 22 2 2 1 1( ) ( ) ln ln 22 2 2 2 2f     .--------------3 分 (2)若 ( )g x 是 ( )f x 的切线,设切点为 0 0( , ( ))x f x , 则过点 0 0( , ( ))x f x 的切线方程为 0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x   , 即 2 0 0 0 0 0 1(2 )( ) lny x x x x xx      ,即 2 0 0 0 0 1(2 ) 1 lny x x x xx      , 由题意知 2 0 0 0 0 12 , 1 ln 0x k x xx       ,----------------------------------------5 分 令 2( ) 1 ln ( 0)h x x x x     ,则 0x  时, 1( ) 2 0h x x x      , ∴ 2( ) 1 lnh x x x    在 (0, ) 上单调递增,又 (1) 0h  , ∴ 2 0 01 ln 0x x    有唯一的实根 0 1x  ,则 0 0 12 2 1 1k x x      .----7 分 (3)由题意知 2 2 1 1 1 2 2 2ln , lnx x kx x x kx    , 两式相加得 2 2 1 2 1 2 1 2ln ( )x x x x k x x    , 两式相减得 2 2 2 2 1 2 1 1 ln ( )xx x k x xx     ,即 2 1 2 1 2 1 ln x xx x kx x    , 高三数学试题 第 12页 共 6 页 ∴ 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 ln ln ( )( ) x xx x x x x x x xx x       ,即 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ln 2 lnx x xx x x x x x x    , 不妨令 1 20 x x  ,记 2 1 1xt x   ,则 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ln 2 lnx x xx x x x x x x    1ln1 t tt   , 令 2( 1)( ) ln ( 1)1 tF t t tt    ,则 2( 1)( ) 0( 1) tF t t t    , ∴ 2( 1)( ) ln 1 tF t t t    在 (1, ) 上单调递增,则 2( 1)( ) ln (1) 01 tF t t Ft     , ∴ 2( 1)ln 1 tt t   ,因而 1 2 1 2ln 2x x x x  1 1 2( 1)ln 21 1 1 t t ttt t t        , 令 ( ) ln 2G x x x  ,则 0x  时, 1( ) 2 0G x x     ,∴ ( )G x 在 (0, ) 上单调递增, ∵ 1 2 1 2 1 2( ) ln 2 2 (1)G x x x x x x G    ,∴ 1 2 1x x  .--------------------12 分
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