江苏省泰州市2020～2021学年度第一学期期中调研测试高三数学

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高三数学试题 第 1页 共 6 页 泰州 2020～2021 学年度第一学期期中调研测试 高三数学试题 (考试时间：120 分钟；总分：150 分) 一、选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）． 1．设集合  2| log 1M x x  ，集合  | 2 1N x x    ，则 M N  （ ▲ ） A． (0,1) B． 2,2 C． 0,2 D． 2,1 2．已知 , Ra b ，i 为虚数单位，则“ 0ab  ”是“ ba  i 为纯虚数”的（ ▲ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现： i =cos isin  e （e 为自然对数的底数，i 为 虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角 函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知， iπe =（ ▲ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 1+i 4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫 金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字 “巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为 3.14159，这就是圆周率 较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设 完成后，底座边长大约 230 米．因年久风化，顶端剥落 10 米，则胡夫金字塔现在的高度大 约为（ ▲ ） A．128.4 米 B．132.4 米 C．136.4 米 D．110.4 米 5．在平行四边形 ABCD 中，点 ,E F 分别满足 1 2BE BC  ， 1 3DF DC  ， 高三数学试题 第 2页 共 6 页 若 BD AE AF     ，则实数   的值为（ ▲ ） A． 1 5  B. 1 5 C. 7 5  D. 7 5 6．函数 xx xxxf   33 sin)( 的图象大致为（ ▲ ） A． B． C ． D ． 7．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条．行车不规 范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019 年，公安部交通 管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪 行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或 者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒 后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 0.5 40sin 13,0 2( ) 3 90 14, 2x x xf x e x                 ，假设该人喝一瓶啤酒后至少经过 *( )n n N 小时才 可以驾车，则 n 的值为（ ▲ ）（参考数据： ln15 2.71,ln30 3.40  ） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值： 高三数学试题 第 3页 共 6 页 驾驶行为类别 阈值（ mg /100mL ） 饮酒驾车 ［20，80） 醉酒驾车 ［80，+∞） A．5 B．6 C．7 D．8 8．若实数 , ,a b c 满足 2 32 log log ,a b c k   其中 (1,2)k  ，则下列结论正确的是 （ ▲ ） A. b ca b B. log loga bb c C. logba c D. b ac b 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9. 已知向量 ( 3,2), ( 1,0)a b     ，则下列选项正确的有（ ▲ ） A． ( ) 4a b b     B． ( 3 )a b b    C． 2=a b b   D． 2 2 4a b a b      10. 已知函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx a    的导函数 ( )y f x 的两个零点为1,2 ，则下列 结论正确的有（ ▲ ） A. 0abc  B. ( )f x 在区间[0,3]的最大值为 0 C. ( )f x 只有一个零点 D. ( )f x 的极大值是正数 11. 某港口一天 内潮水的高度 （单位： ）随时间 （单位： ； ）的变化 近似满足关系式 ，则下列说法正确的有（ ▲ ） A． 在 上的平均变化率为 B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为 24h C．当 6t  时，潮水的高度会达到一天中最低 D． 时潮水起落的速度为 高三数学试题 第 4页 共 6 页 12. 在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 是棱 BC 的中点，点 Q 是底面 1 1 1 1A B C D 上的动点，且 1AP D Q ，则下列说法正确的有（ ▲ ） A. DP 与 1D Q 所成角的最大值为 4  B. 四面体 ABPQ 的体积不变 C. 1AAQ 的面积有最小值 2 55 D. 平面 1D PQ 截正方体所得截面面积不变 三、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）. 13．已知 π 1tan( )4 3    ，则 cos2 的值为 ▲ ． 14．乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为 4cm ．某厂家计划生产乒 乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装 6 个乒乓球．现有两种方案，方案甲：6 个乒乓球 放一排；方案乙： 6 个乒乓球并排放置两排，每排放 3 个．乒乓球与盒子、以及乒乓球之 间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多 ▲ 2cm ． 15．已知正实数 ,x y 满足 1x y  ，则 2y x xy  的最小值为 ▲ ． 16. 已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， = 1AB BC  ， 3AC  ，侧棱 1 2AA  ，则该三棱 柱外接球的体积为 ▲ ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分 10 分） 设集合  1 02 xA x x   ，  2 22 4 0B x x mx m     . （1）当 =2m 时，求 A B ； （2）若 =A B B ，求实数 m 的取值范围. 高三数学试题 第 5页 共 6 页 18．（本题满分 12 分） 已知向量  3 cos , 1a x  ，  2sin ,cosb x x ，函数 ( )f x a b   . （1）求函数 ( )f x 的单调递增区间； （2）求函数 ( )f x 在区间 02     ， 上的最大值和最小值，并求出相应的 x 的值. 19．（本题满分 12 分） 已知 的内角 所对的边分别是 ， 为锐角，在以下三个条件中任选 一个：① 3 )cos cos 0b c A a B  （ ；② ； ③ ；并解答以下问题： （1）若选______（填序号），求 cos A的值； （2）在（1）的条件下，若 2a  ，求 面积 S 的最大值． 20．（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中， ， ， 为正三角形， 是 CB 的中点， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 P BC D  的余弦值； （3）求四棱锥 的体积． 21．（本题满分 12 分） 高三数学试题 第 6页 共 6 页 已知函数 ， ( ) ( ) ( )g x f x f x  ． （1）解不等式： ； （2）当 1[ 1, ]2x  时，求函数 ( )g x 的值域； （3）若 ， ，使得 成立，求实 数 的取值范围． 22．（本题满分 12 分） 已知函数 2( ) lnf x x x  ， ( )g x kx ． （1）求函数 ( )f x 的最小值； （2）若 ( )g x 是 ( )f x 的切线，求实数 k 的值； （3）若 ( )f x 与 ( )g x 的图象有两个不同交点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，求证： 1 2 1x x  ． 高三数学试题 第 7页 共 6 页 2020～2021 学年度第一学期期中调研测 试 高三数学试题参考答案 一、单项选择题： 1．A 2．B 3. C 4. C 5．B 6．A 7．B 8．D 二、多项选择题： 9. ABD 10. BC 11. BD 12. BCD 三、填空题： 13． 3 5  14.64 15． 4 2 6 16. 8 2 3 π 三、解答题： 17．（本题满分 10 分） 解：    1 0 = 1 22 xA x x xx      -------------------------2 分    2 22 4 0 = 2 2B x x mx m x m x m         （1）当 =2m 时，  0 4B x x   --------------------------------------4 分 所以  = | 0 2A B x x I -----------------------------------------6 分 （2）因为 =A B BU ，所以 A B ，有： 2 1 2 2 m m     ≤ ≥ ，解得： 0 1m≤ ≤ ， 所以实数 m 的取值范围为 0,1 .-----------------------------------------10 分 18．（本题满分 12 分） 解:(1) 2( ) = 3sin cos cosf x a b x x x    3 cos2 1= sin 22 2 2 xx   1=sin 2 cos cos2 sin6 6 2x x   1=sin 2 )6 2x  （ -------------------------------------4 分 高三数学试题 第 8页 共 6 页 由 2 ,2 6 2k x k k      Z2 ≤ ≤2 ， 解得： ,6 3k x k k    Z≤ ≤ ， 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为：[ , ],6 3k k k    Z .--------6 分 （2）因为 02x      ， ，所以 72 6 6 6x          ， ，---------------------8 分 所以 1sin 2 )6 2x -1≤ （ ≤ ，即 3 1sin 2 ) 02 6 2x  - ≤ （ ≤ ，--------------10 分 当 = 2x  时， ( )f x 有最大值为 0; 当 = 6x  时, ( )f x 有最小值为 3 2 - .----------------------------12 分 19．（本题满分 12 分） 解：（1）若选①，因为 3 )cos cos 0b c A a B  （ ，由正弦定理有： sin 3sin )cos sin cos 0B C A A B  （ , 即 sin cos cos sin 3sin cosB A B A C A  ， 所以 sin 3sin cosC C A ，在 中，sin 0C  ，所以 1cos = 3A .--------6 分 若选②,  9 12cos2sin 2  ACB ，  9 12cos2 )cos(1  ACB ，  ABC 中，  CBA , 9 12cos2 cos1  AA ，  9 11cos22 cos1 2  AA ， 07cos9cos36 2  AA ,  3 1cos A ，或 12 7cos A （舍）,  3 1cos A .---------------------6 分 若选③，因为 ，由正弦定理有： sin 1 cos sin 2 sin A A B B  ，因为在 中，sin 0B  ，所以 2 sin =1 cosA A ， 又 2 2sin cos =1A A ， 为锐角，解得 1cos = 3A .------------------------6 分 高三数学试题 第 9页 共 6 页 （2）由（1）可知， 3 1cos A ，由 2 2sin cos =1A A ， 为锐角，得 2 2sin = 3A ， 由余弦定理可知， 3 1 2 222  bc acb  2a ， bccb 21233 22   2 22 12 3 3 6bc b c bc   ≥  3bc≤ ，当且仅当 = 3b c 时等号成立.---------------------------9 分  面积： 1= sin 22S bc A≤ . 所以 面积 S 的最大值为 2 .------------------------------12 分 20．（本题满分 12 分） 解：（1）因为 为正三角形， 是 CB 的中点， 所以 ， 因为 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 所以平面 平面 ．----------------------------------4 分 （2）由（1）中 平面 ，则 ， 又 ，所以 是二面角 的平面角， 因为 ， ，所以 ， ， 因为 ， ， 所以 ， 即二面角 的余弦值为 ．-------------------------------8 分 （3）在 中，过 作 于 ， 由（1）中得 平面 ，又因为 平面 ， 所以平面 平面 ， 又 平面 ， 故 平面 ，-------------------------------10 分 由 为正三角形，得 的面积 ， 的面积 ，四边形 的面积 为 在 中， 高三数学试题 第 10页 共 6 页 所以四棱锥 的体积 ． ----------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 21．（本题满分 12 分） 解：（1）由 得 ， 即 ， 所以 ，又 2 1 0x   所以 ，即不等式的解集为 ；-------------------------3 分 （2） ( ) ( ) ( ) 2 2 xxg x f x f x    ， ①当 时， ； ②当 [ 1,0)x  时， ， 令 ，则 ， ， 即 在 上为减函数，故 ； 综上得：当 时，函数 ( )g x 的值域为[2,2 2] ；-----------------------------------7 分 （3）由题意得， ， ， 当 ，由（2）得 ，所以 ， 所以 恒成立， 即 恒成立，------------------------------------------------10 分 又 ，当且仅当 时取等号， 所以实数 的取值范围为 ．----------------------------------12 分 高三数学试题 第 11页 共 6 页 22．（本题满分 12 分） 解：（1）∵ 2( ) lnf x x x  ，∴ 21 2 1( ) 2 ( 0)xf x x xx x      ， 当 2(0, )2x 时， ( ) 0f x  ，∴ ( )f x 在 2(0, )2 上单调递减； 当 2( , )2x  时， ( ) 0f x  ，∴ ( )f x 在 2( , )2  上单调递增． 故函数 ( )f x 的最小值为 22 2 2 1 1( ) ( ) ln ln 22 2 2 2 2f     ．--------------3 分 （2）若 ( )g x 是 ( )f x 的切线，设切点为 0 0( , ( ))x f x ， 则过点 0 0( , ( ))x f x 的切线方程为 0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x   ， 即 2 0 0 0 0 0 1(2 )( ) lny x x x x xx      ，即 2 0 0 0 0 1(2 ) 1 lny x x x xx      ， 由题意知 2 0 0 0 0 12 , 1 ln 0x k x xx       ，----------------------------------------5 分 令 2( ) 1 ln ( 0)h x x x x     ，则 0x  时， 1( ) 2 0h x x x      ， ∴ 2( ) 1 lnh x x x    在 (0, ) 上单调递增，又 (1) 0h  ， ∴ 2 0 01 ln 0x x    有唯一的实根 0 1x  ，则 0 0 12 2 1 1k x x      ．----7 分 （3）由题意知 2 2 1 1 1 2 2 2ln , lnx x kx x x kx    ， 两式相加得 2 2 1 2 1 2 1 2ln ( )x x x x k x x    ， 两式相减得 2 2 2 2 1 2 1 1 ln ( )xx x k x xx     ，即 2 1 2 1 2 1 ln x xx x kx x    ， 高三数学试题 第 12页 共 6 页 ∴ 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 ln ln ( )( ) x xx x x x x x x xx x       ，即 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ln 2 lnx x xx x x x x x x    ， 不妨令 1 20 x x  ，记 2 1 1xt x   ，则 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ln 2 lnx x xx x x x x x x    1ln1 t tt   ， 令 2( 1)( ) ln ( 1)1 tF t t tt    ，则 2( 1)( ) 0( 1) tF t t t    ， ∴ 2( 1)( ) ln 1 tF t t t    在 (1, ) 上单调递增，则 2( 1)( ) ln (1) 01 tF t t Ft     ， ∴ 2( 1)ln 1 tt t   ，因而 1 2 1 2ln 2x x x x  1 1 2( 1)ln 21 1 1 t t ttt t t        ， 令 ( ) ln 2G x x x  ，则 0x  时， 1( ) 2 0G x x     ，∴ ( )G x 在 (0, ) 上单调递增， ∵ 1 2 1 2 1 2( ) ln 2 2 (1)G x x x x x x G    ，∴ 1 2 1x x  ．--------------------12 分