陕西省咸阳市2020届高三第一次高考模拟检测数学(文)试题

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文档介绍

陕西省咸阳市2020届高三第一次高考模拟检测数学(文)试题

咸阳市 2020 年高考模拟检测(一) 数学文科试题 注意事项: 1.本试卷共 4 页,满分 150 分,时间 120 分钟; 2.答卷前,考生须准确填写自己的姓名.准考证号,并认真核准条形码上的姓名、 准考证号; 3.第 I 卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂,第 II 卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨 水签字笔书写,涂写要工整、清晰; 4.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出集合 ,然后利用交集的定义可求出集合 . 【详解】 ,因此, . 故选:A. 【点睛】本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题. 2.设 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在等式 的两边同时除以 ,利用复数的除法法则可求出复数 . { | 2 2}A x x= ∈ − < 【分析】 设 A={x|x>0},B={x|x< ,或 x>0},判断集合 A,B 的包含关系,根据“谁小谁充分,谁 大谁必要”的原则,即可得到答案. 【详解】设 A={x|x>0},B={x|x< ,或 x>0}, ∵A B, 故“x>0”是“ ”成立的充分不必要条件. 故选 A. 【点睛】本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件判断,其中熟练掌握集合法判 断充要条件的原则“谁小谁充分,谁大谁必要”,是解答本题的关键. 6.椭圆 的一个焦点坐标为 ,则实数 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将椭圆的方程化为标准方程,结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数 的方程,解出即可. 【详解】椭圆的标准方程为 ,由于该椭圆的一个焦点坐标为 ,则 , 解得 . 故选:D. 【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数,解题时要将椭圆方程化为标准方程,同时要 注意确定椭圆的焦点位置,考查运算求解能力,属于基础题. 7.函数 的单调递增区间是( ) A. B. 1− 1− ≠ ⊂ 2 0x x+ > 2 22 1x my− = ( )0, 2− m = 2 3 2 5 2 3 − 2 5 − m 2 2 11 1 2 x y m + = − ( )0, 2− 1 1 22m − − = 2 5m = − cos 4y x ππ = −   1 32 ,24 4k k − +   ( )k ∈Z 3 72 ,24 4k k + +   ( )k ∈Z C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式 ,可得出函数 的单调递增区间. 【详解】令 ,解得 , 因此,函数 的单调递增区间是 . 故选:C 【点睛】本题考查余弦型三角函数单调区间的求解,解题时要熟练利用余弦函数的单调性, 考查计算能力,属于中等题. 8.已知 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将代数式 与 相乘,展开后利用基本不等式可求出 的最小值. 【详解】 , 且 , 则 , 当且仅当 时,等号成立,因此, 的最小值为 . 故选:C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值,涉及 的妙用,考查计算能力,属于中等题. 9.设 、 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,给出下列四个命题: 3 12 ,24 4k k − +   ( )k ∈Z 1 52 ,24 4k k + +   ( )k ∈Z ( )2 24k x k k Z ππ π π π− ≤ − ≤ ∈ cos 4y x ππ = −   ( )2 24k x k k Z ππ π π π− ≤ − ≤ ∈ ( )3 12 24 4k x k k Z− ≤ ≤ + ∈ cos 4y x ππ = −   ( )3 12 ,24 4k k k Z − + ∈   1 2 1x y + = ( 0, 0)x y> > 2x y+ 10 9 8 7 1 2 x y + 2x y+ 2x y+ 0x > 0y > 1 2 1x y + = ( ) 1 2 4 42 2 4 4 2 8x y x yx y x y x y y x y x  + = + + = + + ≥ + ⋅ =   2y x= 2x y+ 8 1 m n α β ①若 , ,则 ; ②若 , ,则 ; ③若 , ,则 ; ④若 , ,则 . 其中真命题的序号为( ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】A 【解析】 【分析】 逐一分析命题①②③④的正误,可得出合适的选项. 【详解】对于命题①,若 ,过直线 作平面 ,使得 ,则 , , , , ,命题①正确; 对于命题②,对于命题②,若 , ,则 ,命题②正确; 对于命题③,若 , ,则 与 相交、平行或异面,命题③错误; 对于命题④,若 , ,则 或 ,命题④错误. 故选:A. 【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断,考查推理能力,属于中等题. 10.有编号为 , , 的三个盒子和编号分别为 , , 的三个小球,每个盒子放入一个小球,则 小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 列举出所有的基本事件,并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事 件,利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以 表示编号为 、 、 的盒子分别放编号为 、 、 的小球,则所有的基 本事件有: 、 、 、 、 、 ,共 种, m α⊥ //n α m n⊥ //α β m α⊥ m β⊥ //m α //n α //m n m α⊥ α β⊥ //m β //n α n β aα β∩ = //a n m α⊥ a α⊂ m a∴ ⊥ m n∴ ⊥ //α β m α⊥ m β⊥ //m α //n α m n m α⊥ α β⊥ m β⊂ //m β 1 2 3 1 2 3 8 27 5 6 2 3 1 3 ( )1,2,3 1 2 3 1 2 3 ( )1,2,3 ( )1,3,2 ( )2,1,3 ( )2,3,1 ( )3,1,2 ( )3,2,1 6 其中,事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有: 、 , 共 个, 因此,小球的编号与盒子编号全不相同的概率为 . 故选:D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率,解题的关键就是列举出所有的 基本事件,遵循不重不漏的原则,考查计算能力,属于中等题. 11.设函数 ,则( ) A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数求出函数 的极值点,分析导数符号的变化,即可得出结论. 【详解】 ,定义域为 , ,令 ,可得 . 当 时, ;当 时, . 所以,函数 在 处取得极小值 , 故选:B. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值,在求出极值点后,还应分析出导数符号的变化, 考查计算能力,属于中等题. 12.已知双曲线 的两个焦点分别为 , ,以 为直径的圆交 双曲线 于 , , , 四点,且四边形 为正方形,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 ( )2,3,1 ( )3,1,2 2 2 1 6 3 = ( ) xf x x e= ⋅ ( )f x 1 e ( )f x 1 e − ( )f x e ( )f x e− ( )y f x= ( ) xf x x e= ⋅ R ( ) ( )1 xf x x e′∴ = + ( ) 0f x′ = 1x = − 1x < − ( ) 0f x′ < 1x > − ( ) 0f x′ > ( ) xf x x e= ⋅ 1x = − ( ) 11f e − = − 2 2 2 2: 1x yC a b − = ( 0, 0)a b> > 1F 2F 1 2F F C P Q M N PQMN C 2 2− 2 2− 2 2+ 2 2+ 设 、 、 、 分 别 为 第 一 、 二 、 三 、 四 象 限 内 的 点 , 根 据 对 称 性 可 得 出 ,将点 的坐标代入双曲线 的方程,即可求出双曲线 的离心率. 【详解】设双曲线 的焦距为 ,设 、 、 、 分别为第一、二、三、四象 限内的点, 由双曲线的对称性可知,点 、 关于 轴对称, 、 关于原点对称, 、 关于 轴 对称,由于四边形 为正方形,则直线 的倾斜角为 ,可得 , 将点 的坐标代入双曲线 的方程得 ,即 , 设该双曲线的离心率为 ,则 ,整理得 , 解得 ,因此,双曲线 的离心率为 . 故选:D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标,考查 计算能力,属于中等题. 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.曲线 在点 处的切线的方程为__________. 【答案】 【解析】 分析】 对 求导,带入 得到斜率,通过点斜式得到切线方程,再整理成一般式得到答案. 详解】 带入 得切线的斜率 , 切线方程为 ,整理得 【 【 P Q M N 2 2,2 2P c c       P C C C ( )2 0c c > P Q M N P Q y P M P N x PQMN PM 4 π 2 2,2 2P c c       P C 2 2 2 2 12 2 c c a b − = ( ) 2 2 2 2 2 12 2 c c a c a − = − ( )1e e > ( ) 2 2 2 12 2 1 e e e − = − 4 24 2 0e e− + = 2 2 2e = + C 2 2+ lny x x= ⋅ (1,0) 1 0x y− − = ( )f x 1x = lny x x= ⋅ 1ln ln +1y x x xx ∴ = + ⋅ =′ 1x = 1k = ∴ ( )0 1 1y x− = × − 1 0x y− − = 【点睛】本题考查导数的几何意义,通过求导求出切线的斜率,再由斜率和切点写出切线方 程.难度不大,属于简单题. 14.若变量 、 满足约束条件: ,则 的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域,平移直线 ,观察该直线在 轴上的截距最大时对 应的最优解,代入目标函数计算即可. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示: 联立 ,得 ,可得点 , 平移直线 ,当该直线经过可行域的顶点 时,直线 在 轴上的截距最 大,此时 取得最大值,即 . 故答案为: . 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值,一般通过平移直线找出 最优解,考查数形结合思想的应用,属于中等题. x y 2 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + + ≥ 3 2z x y= + 10 3 2z x y= + x 2 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + + ≥ 2 2 0 2 2 0 x y x y − + =  − − = 2x y= = ( )2,2A 3 2z x y= + A 3 2z x y= + x 3 2z x y= + max 3 2 2 2 10z = × + × = 10 15.已知 ,则 _________, =__________. 【答案】 ;1. 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 , , 所 以 . 考点:1.二倍角公式;2.三角恒等变换. 16.秦九韶是我国古代的数学家,他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元 次多项式的求值问题转化为 个一次式的算法,其大大简化了计算 过程,即使在现代,利用计算机解决多项式的求值问题时,秦九韶算法依然是最优的算法, 在西方被称作霍纳算法. . 改写成以下形式: 若 ,则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 利 用 霍 纳 算 法 依 次 计 算 , , 在 处的取值,由此可得出 ,从而得出结果. 【详解】由霍纳算法可知,当 时, , 22cos sin 2 sin( ) ( 0)x x A x b Aω ϕ+ = + + > A = b 2 n n 1 2 1 2 1 0( ) n n n n n nf x a x a x a x a x a− − − −= + + + + + 1 2 1 2 1 0( ) n n n n n nf x a x a x a x a x a− − − −= + + + + + ( )1 2 3 1 2 1 0 n n n n n na x a x a x a x a− − − − −= + + + + + ( )( )2 3 1 3 2 1 0 n n n na x a x a x a x a x a− − −= + + + + + + … ( )( )( )1 2 1 0n n na x a x a x a x a− −= + + + + +  ( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 1 3 1 3 1f x x x x= + + + + + − ( )2 3f − = 0 ( ) ( )1 2 3 1 3v x= + + + ( )2 1 1 3v v x= + + 3 2 1v v x= − 2 3x = − ( ) 32 3f v− = 2 3x = − ( )( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 2 3v = + − + + = + , 因此, . 故答案为: . 【点睛】本题考查算法思想的应用,解题的关键就是利用题中的算法逐一计算,考查计算能 力,属于中等题. 三、.解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题,每个试题考生都必须作答.第 22.23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.在 中,内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,已知 , ,且 . (Ⅰ)求角 的大小; (Ⅱ)如果 , ,求 的面积. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由 得出 ,利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数 关系可求得 ,结合 的范围可得出角 的值; (Ⅱ)利用余弦定理求出 的值,然后利用三角形的面积公式即可求出 的面积. 【详解】(Ⅰ) , . 化简得: ,又 , ; (Ⅱ)由余弦定理 得, , 整理得 ,解之得: , . ( ) ( ) ( )( ) ( )2 12 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3v v= − + + = − + + + = + ( ) ( ) ( )( )22 3 2 3 1 2 3 2 3 1 0f v− = − − = − + − = 0 ABC∆ A B C a b c 2sin , 32 Bm  =     cos ,cos2 Bn B =     m n⊥  B 1a = 3b = ABC∆ 2 3 π 3 4 m n⊥  0m n⋅ =  tan 3B = − B B c ABC∆ m n⊥   2sin cos 3 cos sin 3 cos 02 2 B Bm n B B B∴ ⋅ = + = + =  tan 3B = − 0 B π< < 2 3B π∴ = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )2 2 2 13 1 2 2c c = + − −   2 2 0c c+ − = 1c = 1 1 3 3sin 1 12 2 2 4ABCS ac B∆∴ = = × × × = 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算,涉及平面向量垂直的坐标表 示,考查计算能力,属于基础题. 18.如图,长方体 中, 是棱 的中点, , . (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求三棱锥 的体积. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由长方体的性质可得出 平面 ,从而可得出 ; (Ⅱ)由长方体的性质可得出 平面 ,可得出三棱锥 的高为 , 由此可计算出三棱锥 的体积. 【详解】(Ⅰ)证明: 是长方体, 平面 . 又 平面 , ; (Ⅱ) , 是棱 的中点, , , 在长方体 中,则 平面 , . 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直,同时也考查了三棱锥体积的计算,考 查推理能力与计算能力,属于基础题. 19.某单位利用“学习强国”平台,开展网上学习,实行积分制.为了了解积分情况,随机调查 了 名员工,得到这些员工学习得分频数分布表: 得分 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1D C 2AB = 1 1BC BB= = 1 1B C DE⊥ 1 1E DB C− 1 6 1 1B C ⊥ 1 1CDD C 1 1B C DE⊥ 1DD ⊥ 1111 DCBA 1 1D B C E− 1DD 1 1E DB C− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C∴ ⊥ 1 1DCC D DE ⊂ 1 1DCC D 1 1B C DE∴ ⊥ 2AB = E 1 1D C 1 1EC∴ = 1 1 1 1 1 1 1 2 2B C ES EC B C∆∴ = ⋅ = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD ⊥ 1111 DCBA 1 1 1 1 1 1 1 1 1 113 2 6 1 3E DB C D B C BE C EV V S DD− − ∆∴ ×⋅ ×= = == 50 [ )0,10 [ )10,20 [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50 人数 (Ⅰ)求这些员工学习得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (Ⅱ)用分层抽样的方法从得分在 和 的员工中选取 人.从选取的 人中,再 任选取 人,求得分在 和 中各有 人的概率. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)将每组的中点值乘以频数,相加之后再除以总人数即可得出所求平均数; (Ⅱ)由分层抽样可知, 人中位于 中的有 人,分别记为 、 ,在 中的 有 人,分别记为 、 、 ,列举出所有的基本事件,并确定事件“得分在 和 中各有 人”所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式计算即可. 【详解】(Ⅰ)记这 名员工学习得分的平均数为 , 则 ; (Ⅱ)用分层抽样可知从 中选 人,记这 人分别为 、 , 从 中选 人,记这 人分别为 、 、 . 从 、 、 、 、 中再任取 人的情况有: 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ,共 种. 其中得分在 和 中各有 人的情况有: 、 、 、 、 、 ,共 种. 记事件 为“得分在 和 中各有 人”,则 . 【点睛】本题考查样本平均数的计算,同时也考考查了利用古典概型的概率公式计算事件的 概率,解题的关键就是列举出所有的基本事件,考查计算能力,属于中等题. 20.已知函数 . 5 10 15 13 7 [ )10,20 [ )20,30 5 5 2 [ )10,20 [ )20,30 1 26.4 3 5 5 [ )10,20 2 1a 2a [ )20,30 3 1b 2b 3b [ )10,20 [ )20,30 1 50 x ( )1 5 5 15 10 25 15 35 13 45 7 26.450x = × × + × + × + × + × = [ )10,20 2 2 1a 2a [ )20,30 3 3 1b 2b 3b 1a 2a 1b 2b 3b 2 1 2a a 1 1a b 1 2a b 1 3a b 2 1a b 2 2a b 2 3a b 1 2b b 1 3b b 2 3b b 10 [ )10,20 [ )20,30 1 1 1a b 1 2a b 1 3a b 2 1a b 2 2a b 2 3a b 6 A [ )10,20 [ )20,30 1 ( ) 6 3 10 5P A = = ( ) ( )lnf x x ax a R= − ∈ (Ⅰ)讨论 的单调性; (Ⅱ)若 有两个零点,求实数 取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)求出函数 的定义域和导数 ,然后分 和 两种情况讨 论,分析 在 上导数符号的变化,即可得出函数 的单调区间; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,函数 有两个零点,则 且有 ,即可求 出实数 的取值范围. 【详解】(Ⅰ)函数 的定义域为 , . ①当 时,由 ,知函数 在 内单调递增; ②当 时,由 ,即 得 ; 由 ,即 得 . 所以,函数 在 内单调递增,在 内单调递减. 因此,当 时, 在 内单调递增; 当 时, 在 内单调递增;在 内单调递减; (Ⅱ)当 时,则函数 在 上为增函数,函数 最多一个零点, 不合乎题意,舍去; 当 时,由(Ⅰ)知,函数 在 内单调递增,在 内单调递减. 且当 时, ,当 时, , 的 ( )f x ( )f x a 10, e      ( )y f x= ( ) 1f x ax ′ = − 0a ≤ 0a > ( )f x′ ( )0, ∞+ ( )y f x= ( )y f x= 0a > 1 0f a   >   a ( ) lnf x x ax= − ( )0, ∞+ ( ) 1f x ax ′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )0, ∞+ 0a > ( ) 0f x′ > 1 0ax − > 10 x a < < ( ) 0f x′ < 1 0ax − < 1x a > ( )y f x= 10, a      1 ,a  +∞   0a ≤ ( )y f x= ( )0, ∞+ 0a > ( )y f x= 10, a      1 ,a  +∞   0a ≤ ( )y f x= ( )0, ∞+ ( )y f x= 0a > ( )y f x= 10, a      1 ,a  +∞   0x → ( )f x → −∞ x → +∞ ( )f x → −∞ 则 ,即 ,解得 . 因此,实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解,同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取 值范围,考查分类讨论思想的应用,属于中等题. 21.如图,已知抛物线 的焦点是 ,准线是 . (1)写出焦点 的坐标和准线 的方程; (2)已知点 ,若过点 直线交抛物线 于不同的两点 、 (均与 不重合), 直线 、 分别交 于点 、 ,求证: . 【答案】(1) ,准线 的方程为 ;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)由抛物线的定义即可解题; (2)由(1)知:设直线 的方程为: ,与抛物线方程联立,由根与系 数的关系得: .直线 方程为: , ,当 时, , ,同理得: ,得到 ,所以 ,所以 . 【详解】解:(1)抛物线 的焦点为 ,准线 的方程为: ; 的 1 1ln 1 ln 1 0f aa a   = − = − − >   ln 1a < − 10 a e < < a 10, e      2: 8C y x= F l F l ( )8,8P F C A B P PA PB l M N MF NF⊥ ( )2,0F l 2x = − AB 2 ( )x my m R− = ∈ 1 2 16y y = − PB 2 2 8 8 8 8 y x y x − −=− − 2 2 2 2 2 8 8 8( 8) 8 888 y y xy xy y − += − + = +− 2x = − 2 2 8 16 8 yy y −= + ∴ 2 2 8 16( 2, )8 yN y −− + 1 1 8 16( 2, )8 yM y −− + 0FN FM =   FN FM⊥  MF NF⊥ 2: 8C y x= ( )2,0F l 2x = − (2)设直线 的方程为: ,令 , , 联立直线 的方程与抛物线 的方程 ,消去 得 ,由根与系 数的关系得: . 直线 方程为: , , 当 时, , ,同理得: . , , , , . 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质,以及直线与抛物线的位置关系,属于中档题. (二)选考题:共 10 分,考生从 22.23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡.上将所选题目对应的题号涂黑. 22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程 ( 为参数),直线 的参数方程 AB ( )2x my m R= + ∈ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB C 2 2 8 x my y x = +  = x 2 8 16 0y my− − = 1 2 16y y = − PB 2 2 8 8 8 8 y x y x − −=− − ( )2 2 2 2 2 8 8 88 8 888 y y xy xy y − += − + = +− 2x = − 2 2 8 16 8 yy y −= + 2 2 8 162, 8 yN y  −∴ − +  1 1 8 162, 8 yM y  −− +  2 2 8 164, 8 yFN y  −∴ = − +   1 1 8 164, 8 yFM y  −= − +   ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 2 12 1 2 1 2 1 16 8 8 8 16 8 168 16 8 1616 8 8 8 8 y y y yy yFN FM y y y y + + + − −− −∴ ⋅ = + × =+ + + +   ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 2 1 2 1 80 16 80 16 16 08 8 8 8 y y y y y y + − += = =+ + + + FN FM∴ ⊥  MF NF∴ ⊥ xOy C 2 3 2 x cos y sin β β  = = β l ( 为参数). (1)求曲线 在直角坐标系中的普通方程; (2)以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,当曲线 截直线 所得线段 的中点极坐标为 时,求直线 的倾斜角. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)消去参数 后化简整理即可得到曲线 的普通方程; (2)将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程中,可得到关于 的一元二次方程,由韦达定 理并结合参数 的几何意义可得 ,从而求得 , 最后写出直线的倾斜角即可. 【详解】(1)由曲线 的参数方程 ( 为参数), 可得: , 由 ,得: , 曲线 的参数方程化为普通方程为: ; (2)中点的极坐标 化成直角坐标为 , 将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程中,得: , 化简整理得: , , 3 cos 1 sin x t y t α α  = + = + t C O x C l 2, 6 π     l 2 2 112 4 x y+ = 5 6 π β C l C t t 1 2 2 2 6 2 3 03 sin cost t cos sin α α α α ++ = − =+ 3 3tanα = − C 2 3 2 x cos y sin β β  = = β cos 2 3 sin 2 x y β β  =  = 2 2 1sin cosβ β+ = 2 2 112 4 x y+ = ∴ C 2 2 112 4 x y+ = 2, 6 π     ( )3,1 l C ( ) ( )2 23 1 112 4 tcos tsinα α+ ++ = ( ) ( )2 2 23 6 2 3 6 0cos sin t sin cos tα α α α+ + + − = ∴ 1 2 2 2 6 2 3 03 sin cost t cos sin α α α α ++ = − =+ 即 , , 即 , 又 , 直线 的倾斜角为 . 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,考查直线参数方程中 的几何意义的应用, 考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题. 23.已知函数 . (Ⅰ)当 时,求不等式 的解集; (Ⅱ)若 时, ,求 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)将 代入函数 的解析式,分 和 解不等式 ,即可得 出不等式 的解集; (Ⅱ)由 可得出 ,由 可得出 ,结合 ,即可得出实数 的取值范围. 【详解】(Ⅰ)当 时, ,由 得 . ①当 时,原不等式可化为: ,解之得: ; ②当 时,原不等式可化为: ,解之得: 且 , . 因此,不等式 的解集为 ; (Ⅱ)当 时, , 6 2 3 0sin cosα α− − = ∴ 3 cos 3 sinα α = − 3 3tanα = − (0, )α π∈ ∴ l 5 6 π t ( ) ( ) ( )2 2f x x a x x x a= − − + − − 2a = ( ) 0f x < ( )0,2x∈ ( ) 0f x ≥ a { }2x x < ( ],0−∞ 2a = ( )y f x= 2x ≥ 2x < ( ) 0f x < ( ) 0f x < ( )0,2x∈ ( ) ( ) ( )2f x x x a x a= −  − − −   ( ) 0f x ≥ a x≤ 0 2x< < a 2a = ( ) ( )2 2 2f x x x= − − ( ) 0f x < ( )2 2 0x x− − < 2x ≥ ( )22 0x − < x∈∅ 2x < ( )22 0x− − < x∈R 2x ≠ 2x∴ < ( ) 0f x < { }2x x < ( )0,2x∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2f x x a x x x a x x a x a= − − + − − = −  − − −   由 得 , , , , ,因此,实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解,同时也考查了利用不等式恒成立求参数,解题的关 键就是要结合自变量的取值范围去绝对值,考查运算求解能力,属于中等题. ( ) 0f x ≥ ( ) ( )2 0x x a x a−  − − −  ≥  x a x a∴ − ≤ − 0x a∴ − ≥ ( )0 2a x x∴ ≤ < < 0a∴ ≤ a ( ],0−∞
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