陕西省咸阳市2020届高三第一次高考模拟检测数学（文）试题
咸阳市 2020 年高考模拟检测（一）
数学文科试题
注意事项：
1.本试卷共 4 页，满分 150 分，时间 120 分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名.准考证号，并认真核准条形码上的姓名、
准考证号；
3.第 I 卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂，第 II 卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨
水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合 ，然后利用交集的定义可求出集合 .
【详解】 ，因此， .
故选：A.
【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在等式 的两边同时除以 ，利用复数的除法法则可求出复数 .
{ | 2 2}A x x= ∈ − <
【分析】
设 A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜ ,或 x＞0}，判断集合 A，B 的包含关系，根据“谁小谁充分，谁
大谁必要”的原则，即可得到答案．
【详解】设 A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜ ,或 x＞0}，
∵A B，
故“x＞0”是“ ”成立的充分不必要条件．
故选 A．
【点睛】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判
断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．
6.椭圆 的一个焦点坐标为 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数 的方程，解出即可.
【详解】椭圆的标准方程为 ，由于该椭圆的一个焦点坐标为 ，则
，
解得 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要
注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.
7.函数 的单调递增区间是（ ）
A. B.
1−
1−
≠
⊂
2 0x x+ >
2 22 1x my− = ( )0, 2− m =
2
3
2
5
2
3
− 2
5
−
m
2 2
11 1
2
x y
m
+ =
− ( )0, 2−
1 1 22m
− − =
2
5m = −
cos 4y x
ππ = −
1 32 ,24 4k k − + ( )k ∈Z 3 72 ,24 4k k + + ( )k ∈Z
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式 ，可得出函数 的单调递增区间.
【详解】令 ，解得 ，
因此，函数 的单调递增区间是 .
故选：C
【点睛】本题考查余弦型三角函数单调区间的求解，解题时要熟练利用余弦函数的单调性，
考查计算能力，属于中等题.
8.已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最小值.
【详解】 ， 且 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，涉及 的妙用，考查计算能力，属于中等题.
9.设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列四个命题：
3 12 ,24 4k k − + ( )k ∈Z 1 52 ,24 4k k + + ( )k ∈Z
( )2 24k x k k Z
ππ π π π− ≤ − ≤ ∈ cos 4y x
ππ = −
( )2 24k x k k Z
ππ π π π− ≤ − ≤ ∈ ( )3 12 24 4k x k k Z− ≤ ≤ + ∈
cos 4y x
ππ = −
( )3 12 ,24 4k k k Z − + ∈
1 2 1x y
+ = ( 0, 0)x y> > 2x y+
10 9 8 7
1 2
x y
+ 2x y+ 2x y+
0x > 0y > 1 2 1x y
+ =
( ) 1 2 4 42 2 4 4 2 8x y x yx y x y x y y x y x
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
2y x= 2x y+ 8
1
m n α β
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 .
其中真命题的序号为（ ）
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.
【详解】对于命题①，若 ，过直线 作平面 ，使得 ，则 ， ，
， ， ，命题①正确；
对于命题②，对于命题②，若 ， ，则 ，命题②正确；
对于命题③，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，命题③错误；
对于命题④，若 ， ，则 或 ，命题④错误.
故选：A.
【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
10.有编号为 , , 的三个盒子和编号分别为 , , 的三个小球，每个盒子放入一个小球，则
小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事
件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】以 表示编号为 、 、 的盒子分别放编号为 、 、 的小球，则所有的基
本事件有： 、 、 、 、 、 ，共 种，
m α⊥ //n α m n⊥
//α β m α⊥ m β⊥
//m α //n α //m n
m α⊥ α β⊥ //m β
//n α n β aα β∩ = //a n m α⊥
a α⊂ m a∴ ⊥ m n∴ ⊥
//α β m α⊥ m β⊥
//m α //n α m n
m α⊥ α β⊥ m β⊂ //m β
1 2 3 1 2 3
8
27
5
6
2
3
1
3
( )1,2,3 1 2 3 1 2 3
( )1,2,3 ( )1,3,2 ( )2,1,3 ( )2,3,1 ( )3,1,2 ( )3,2,1 6
其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有： 、 ，
共 个，
因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的
基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.
11.设函数 ，则（ ）
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 有极大值 D. 有极小值
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数求出函数 的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.
【详解】 ，定义域为 ， ，令 ，可得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 处取得极小值 ，
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，
考查计算能力，属于中等题.
12.已知双曲线 的两个焦点分别为 , ，以 为直径的圆交
双曲线 于 , , , 四点，且四边形 为正方形，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
( )2,3,1 ( )3,1,2
2
2 1
6 3
=
( ) xf x x e= ⋅
( )f x 1
e
( )f x 1
e
−
( )f x e ( )f x e−
( )y f x=
( ) xf x x e= ⋅ R ( ) ( )1 xf x x e′∴ = + ( ) 0f x′ = 1x = −
1x < − ( ) 0f x′ < 1x > − ( ) 0f x′ >
( ) xf x x e= ⋅ 1x = − ( ) 11f e
− = −
2 2
2 2: 1x yC a b
− = ( 0, 0)a b> > 1F 2F 1 2F F
C P Q M N PQMN C
2 2− 2 2− 2 2+ 2 2+
设 、 、 、 分 别 为 第 一 、 二 、 三 、 四 象 限 内 的 点 ， 根 据 对 称 性 可 得 出
，将点 的坐标代入双曲线 的方程，即可求出双曲线 的离心率.
【详解】设双曲线 的焦距为 ，设 、 、 、 分别为第一、二、三、四象
限内的点，
由双曲线的对称性可知，点 、 关于 轴对称， 、 关于原点对称， 、 关于 轴
对称，由于四边形 为正方形，则直线 的倾斜角为 ，可得 ，
将点 的坐标代入双曲线 的方程得 ，即 ，
设该双曲线的离心率为 ，则 ，整理得 ，
解得 ，因此，双曲线 的离心率为 .
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查
计算能力，属于中等题.
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.曲线 在点 处的切线的方程为__________．
【答案】
【解析】
分析】
对 求导，带入 得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.
详解】
带入 得切线的斜率 ，
切线方程为 ，整理得
【
【
P Q M N
2 2,2 2P c c
P C C
C ( )2 0c c > P Q M N
P Q y P M P N x
PQMN PM 4
π 2 2,2 2P c c
P C
2 2
2 2 12 2
c c
a b
− = ( )
2 2
2 2 2 12 2
c c
a c a
− =
−
( )1e e > ( )
2 2
2 12 2 1
e e
e
− =
− 4 24 2 0e e− + =
2 2 2e = + C 2 2+
lny x x= ⋅ (1,0)
1 0x y− − =
( )f x 1x =
lny x x= ⋅
1ln ln +1y x x xx
∴ = + ⋅ =′
1x = 1k =
∴ ( )0 1 1y x− = × − 1 0x y− − =
【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方
程.难度不大，属于简单题.
14.若变量 、 满足约束条件： ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线 ，观察该直线在 轴上的截距最大时对
应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 ，得 ，可得点 ，
平移直线 ，当该直线经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距最
大，此时 取得最大值，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般通过平移直线找出
最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
x y
2 2 0
2 2 0
2 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
+ + ≥
3 2z x y= +
10
3 2z x y= + x
2 2 0
2 2 0
2 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
+ + ≥
2 2 0
2 2 0
x y
x y
− + =
− − = 2x y= = ( )2,2A
3 2z x y= + A 3 2z x y= + x
3 2z x y= + max 3 2 2 2 10z = × + × =
10
15.已知 ，则 _________， =__________．
【答案】 ；1．
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意 得 ， , 所 以
.
考点：1.二倍角公式；2.三角恒等变换.
16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.
秦九韶算法是一种将一元 次多项式的求值问题转化为 个一次式的算法，其大大简化了计算
过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，
在西方被称作霍纳算法.
.
改写成以下形式：
若 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
利 用 霍 纳 算 法 依 次 计 算 ， ， 在
处的取值，由此可得出 ，从而得出结果.
【详解】由霍纳算法可知，当 时， ，
22cos sin 2 sin( ) ( 0)x x A x b Aω ϕ+ = + + > A = b
2
n n
1 2
1 2 1 0( ) n n n
n n nf x a x a x a x a x a− −
− −= + + + + +
1 2
1 2 1 0( ) n n n
n n nf x a x a x a x a x a− −
− −= + + + + +
( )1 2 3
1 2 1 0
n n n
n n na x a x a x a x a− − −
− −= + + + + +
( )( )2 3
1 3 2 1 0
n n
n na x a x a x a x a x a− −
−= + + + + + +
…
( )( )( )1 2 1 0n n na x a x a x a x a− −= + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 1 3 1 3 1f x x x x= + + + + + − ( )2 3f − =
0
( ) ( )1 2 3 1 3v x= + + + ( )2 1 1 3v v x= + + 3 2 1v v x= −
2 3x = − ( ) 32 3f v− =
2 3x = − ( )( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 2 3v = + − + + = +
，
因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查算法思想的应用，解题的关键就是利用题中的算法逐一计算，考查计算能
力，属于中等题.
三、.解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共 60 分.
17.在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，
，且 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）如果 ， ，求 的面积.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由 得出 ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数
关系可求得 ，结合 的范围可得出角 的值；
（Ⅱ）利用余弦定理求出 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出 的面积.
【详解】（Ⅰ） ， .
化简得： ，又 ， ；
（Ⅱ）由余弦定理 得， ，
整理得 ，解之得： ， .
( ) ( ) ( )( ) ( )2 12 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3v v= − + + = − + + + = +
( ) ( ) ( )( )22 3 2 3 1 2 3 2 3 1 0f v− = − − = − + − =
0
ABC∆ A B C a b c 2sin , 32
Bm =
cos ,cos2
Bn B =
m n⊥
B
1a = 3b = ABC∆
2
3
π 3
4
m n⊥ 0m n⋅ =
tan 3B = − B B
c ABC∆
m n⊥
2sin cos 3 cos sin 3 cos 02 2
B Bm n B B B∴ ⋅ = + = + =
tan 3B = − 0 B π< < 2
3B
π∴ =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )2 2 2 13 1 2 2c c = + − −
2 2 0c c+ − = 1c = 1 1 3 3sin 1 12 2 2 4ABCS ac B∆∴ = = × × × =
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表
示，考查计算能力，属于基础题.
18.如图，长方体 中， 是棱 的中点， ， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由长方体的性质可得出 平面 ，从而可得出 ；
（Ⅱ）由长方体的性质可得出 平面 ，可得出三棱锥 的高为 ，
由此可计算出三棱锥 的体积.
【详解】（Ⅰ）证明： 是长方体， 平面 .
又 平面 ， ；
（Ⅱ） ， 是棱 的中点， ， ，
在长方体 中，则 平面 ，
.
【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了三棱锥体积的计算，考
查推理能力与计算能力，属于基础题.
19.某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查
了 名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：
得分
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1D C 2AB = 1 1BC BB= =
1 1B C DE⊥
1 1E DB C−
1
6
1 1B C ⊥ 1 1CDD C 1 1B C DE⊥
1DD ⊥ 1111 DCBA 1 1D B C E− 1DD
1 1E DB C−
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C∴ ⊥ 1 1DCC D
DE ⊂ 1 1DCC D 1 1B C DE∴ ⊥
2AB = E 1 1D C 1 1EC∴ =
1 1 1 1 1
1 1
2 2B C ES EC B C∆∴ = ⋅ =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD ⊥ 1111 DCBA
1 1 1 1 1 1 1
1 1 113 2 6
1
3E DB C D B C BE C EV V S DD− − ∆∴ ×⋅ ×= = ==
50
[ )0,10 [ )10,20 [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50
人数
（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在 和 的员工中选取 人.从选取的 人中，再
任选取 人，求得分在 和 中各有 人的概率.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将每组的中点值乘以频数，相加之后再除以总人数即可得出所求平均数；
（Ⅱ）由分层抽样可知， 人中位于 中的有 人，分别记为 、 ，在 中的
有 人，分别记为 、 、 ，列举出所有的基本事件，并确定事件“得分在 和
中各有 人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）记这 名员工学习得分的平均数为 ，
则 ；
（Ⅱ）用分层抽样可知从 中选 人，记这 人分别为 、 ，
从 中选 人，记这 人分别为 、 、 .
从 、 、 、 、 中再任取 人的情况有：
、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种.
其中得分在 和 中各有 人的情况有：
、 、 、 、 、 ，共 种.
记事件 为“得分在 和 中各有 人”，则 .
【点睛】本题考查样本平均数的计算，同时也考考查了利用古典概型的概率公式计算事件的
概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，考查计算能力，属于中等题.
20.已知函数 .
5 10 15 13 7
[ )10,20 [ )20,30 5 5
2 [ )10,20 [ )20,30 1
26.4 3
5
5 [ )10,20 2 1a 2a [ )20,30
3 1b 2b 3b [ )10,20
[ )20,30 1
50 x
( )1 5 5 15 10 25 15 35 13 45 7 26.450x = × × + × + × + × + × =
[ )10,20 2 2 1a 2a
[ )20,30 3 3 1b 2b 3b
1a 2a 1b 2b 3b 2
1 2a a 1 1a b 1 2a b 1 3a b 2 1a b 2 2a b 2 3a b 1 2b b 1 3b b 2 3b b 10
[ )10,20 [ )20,30 1
1 1a b 1 2a b 1 3a b 2 1a b 2 2a b 2 3a b 6
A [ )10,20 [ )20,30 1 ( ) 6 3
10 5P A = =
( ) ( )lnf x x ax a R= − ∈
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个零点，求实数 取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数 的定义域和导数 ，然后分 和 两种情况讨
论，分析 在 上导数符号的变化，即可得出函数 的单调区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数 有两个零点，则 且有 ，即可求
出实数 的取值范围.
【详解】（Ⅰ）函数 的定义域为 ， .
①当 时，由 ，知函数 在 内单调递增；
②当 时，由 ，即 得 ；
由 ，即 得 .
所以，函数 在 内单调递增，在 内单调递减.
因此，当 时， 在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递增；在 内单调递减；
（Ⅱ）当 时，则函数 在 上为增函数，函数 最多一个零点，
不合乎题意，舍去；
当 时，由（Ⅰ）知，函数 在 内单调递增，在 内单调递减.
且当 时， ，当 时， ，
的
( )f x
( )f x a
10, e
( )y f x= ( ) 1f x ax
′ = − 0a ≤ 0a >
( )f x′ ( )0, ∞+ ( )y f x=
( )y f x= 0a > 1 0f a
>
a
( ) lnf x x ax= − ( )0, ∞+ ( ) 1f x ax
′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )0, ∞+
0a > ( ) 0f x′ > 1 0ax
− > 10 x a
< <
( ) 0f x′ < 1 0ax
− < 1x a
>
( )y f x= 10, a
1 ,a
+∞
0a ≤ ( )y f x= ( )0, ∞+
0a > ( )y f x= 10, a
1 ,a
+∞
0a ≤ ( )y f x= ( )0, ∞+ ( )y f x=
0a > ( )y f x= 10, a
1 ,a
+∞
0x → ( )f x → −∞ x → +∞ ( )f x → −∞
则 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取
值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21.如图，已知抛物线 的焦点是 ，准线是 .
（1）写出焦点 的坐标和准线 的方程；
（2）已知点 ，若过点 直线交抛物线 于不同的两点 、 （均与 不重合），
直线 、 分别交 于点 、 ，求证： .
【答案】（1） ，准线 的方程为 ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义即可解题；
（2）由（1）知：设直线 的方程为： ，与抛物线方程联立，由根与系
数的关系得： ．直线 方程为： ，
，当 时， ， ，同理得：
，得到 ，所以 ，所以 ．
【详解】解：（1）抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为： ；
的
1 1ln 1 ln 1 0f aa a
= − = − − > ln 1a < − 10 a e
< <
a 10, e
2: 8C y x= F l
F l
( )8,8P F C A B P
PA PB l M N MF NF⊥
( )2,0F l 2x = −
AB 2 ( )x my m R− = ∈
1 2 16y y = − PB
2 2
8 8
8 8
y x
y x
− −=− −
2 2
2
2 2
8 8 8( 8) 8 888
y y xy xy y
− += − + = +− 2x = − 2
2
8 16
8
yy y
−= + ∴ 2
2
8 16( 2, )8
yN y
−− +
1
1
8 16( 2, )8
yM y
−− + 0FN FM =
FN FM⊥ MF NF⊥
2: 8C y x= ( )2,0F l 2x = −
（2）设直线 的方程为： ，令 ， ，
联立直线 的方程与抛物线 的方程 ，消去 得 ，由根与系
数的关系得： .
直线 方程为： ， ，
当 时， ， ，同理得： .
， ,
，
， .
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
(二)选考题：共 10 分，考生从 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡.上将所选题目对应的题号涂黑.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 ( 为参数)，直线 的参数方程
AB ( )2x my m R= + ∈ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
AB C 2
2
8
x my
y x
= +
=
x 2 8 16 0y my− − =
1 2 16y y = −
PB
2 2
8 8
8 8
y x
y x
− −=− −
( )2 2
2
2 2
8 8 88 8 888
y y xy xy y
− += − + = +−
2x = − 2
2
8 16
8
yy y
−= +
2
2
8 162, 8
yN y
−∴ − +
1
1
8 162, 8
yM y
−− +
2
2
8 164, 8
yFN y
−∴ = − +
1
1
8 164, 8
yFM y
−= − +
( )( ) ( )( )
( )( )2 1 2 12 1
2 1 2 1
16 8 8 8 16 8 168 16 8 1616 8 8 8 8
y y y yy yFN FM y y y y
+ + + − −− −∴ ⋅ = + × =+ + + +
( )
( )( )
( )
( )( )1 2
2 1 2 1
80 16 80 16 16 08 8 8 8
y y
y y y y
+ − += = =+ + + +
FN FM∴ ⊥ MF NF∴ ⊥
xOy C 2 3
2
x cos
y sin
β
β
= =
β l
( 为参数).
（1）求曲线 在直角坐标系中的普通方程；
（2）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线 截直线 所得线段
的中点极坐标为 时，求直线 的倾斜角.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）消去参数 后化简整理即可得到曲线 的普通方程；
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程中，可得到关于 的一元二次方程，由韦达定
理并结合参数 的几何意义可得 ，从而求得 ，
最后写出直线的倾斜角即可.
【详解】（1）由曲线 的参数方程 ( 为参数)， 可得： ，
由 ，得： ，
曲线 的参数方程化为普通方程为： ；
（2）中点的极坐标 化成直角坐标为 ，
将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程中，得： ，
化简整理得： ，
，
3 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= + = +
t
C
O x C l
2, 6
π
l
2 2
112 4
x y+ = 5
6
π
β C
l C t
t 1 2 2 2
6 2 3 03
sin cost t cos sin
α α
α α
++ = − =+
3
3tanα = −
C 2 3
2
x cos
y sin
β
β
= =
β
cos
2 3
sin 2
x
y
β
β
=
=
2 2 1sin cosβ β+ =
2 2
112 4
x y+ =
∴ C
2 2
112 4
x y+ =
2, 6
π
( )3,1
l C ( ) ( )2
23 1 112 4
tcos tsinα α+ ++ =
( ) ( )2 2 23 6 2 3 6 0cos sin t sin cos tα α α α+ + + − =
∴
1 2 2 2
6 2 3 03
sin cost t cos sin
α α
α α
++ = − =+
即 ，
，
即 ，
又 ，
直线 的倾斜角为 .
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数方程中 的几何意义的应用，
考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
23.已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 时， ，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将 代入函数 的解析式，分 和 解不等式 ，即可得
出不等式 的解集；
（Ⅱ）由 可得出 ，由 可得出 ，结合
，即可得出实数 的取值范围.
【详解】（Ⅰ）当 时， ，由 得 .
①当 时，原不等式可化为： ，解之得： ；
②当 时，原不等式可化为： ，解之得： 且 ， .
因此，不等式 的解集为 ；
（Ⅱ）当 时， ，
6 2 3 0sin cosα α− − =
∴ 3
cos 3
sinα
α = −
3
3tanα = −
(0, )α π∈
∴ l 5
6
π
t
( ) ( ) ( )2 2f x x a x x x a= − − + − −
2a = ( ) 0f x <
( )0,2x∈ ( ) 0f x ≥ a
{ }2x x < ( ],0−∞
2a = ( )y f x= 2x ≥ 2x < ( ) 0f x <
( ) 0f x <
( )0,2x∈ ( ) ( ) ( )2f x x x a x a= − − − − ( ) 0f x ≥ a x≤
0 2x< < a
2a = ( ) ( )2 2 2f x x x= − − ( ) 0f x < ( )2 2 0x x− − <
2x ≥ ( )22 0x − < x∈∅
2x < ( )22 0x− − < x∈R 2x ≠ 2x∴ <
( ) 0f x < { }2x x <
( )0,2x∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2f x x a x x x a x x a x a= − − + − − = − − − −
由 得 ， ， ，
， ，因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关
键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题.
( ) 0f x ≥ ( ) ( )2 0x x a x a− − − − ≥ x a x a∴ − ≤ − 0x a∴ − ≥
( )0 2a x x∴ ≤ < < 0a∴ ≤ a ( ],0−∞
