高考数学—导数专题

高考数学—导数专题

导数 ‎ ‎(选修2－2P18A7改编)曲线y＝在x＝处的切线方程为(　　)‎ A.y＝0 B.y＝ C.y＝－x＋ D.y＝x 解析　∵y′＝，∴y′|x＝＝－，‎ 当x＝时，y＝，‎ ‎∴切线方程为y－＝－，即y＝－x＋.‎ ‎(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________.‎ 解析　因为f(x)＝(2x＋1)ex，‎ 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，‎ 所以f′(0)＝3e0＝3.‎ ‎(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________.‎ 解析　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，‎ 所以a＝3.‎ ‎(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)‎ A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0‎ C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0‎ 解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，‎ ‎∴设切点为(x0，y0).‎ 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴ 解得x0＝1，y0＝0.‎ ‎∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.‎ ‎∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.‎ ‎(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.‎ 解析　法一　∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.‎ ‎∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ ‎∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，‎ ‎∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).‎ 由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.‎ 由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.‎ 法二　同法一得切线方程为y＝2x－1.‎ 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1).‎ ‎∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2).‎ 由解得 答案　8‎ ‎(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)‎ A.(1，3) B.(－1，3)‎ C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3)‎ 解析　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.‎ ‎(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________.‎ 解析　f′(x)＝a＝a(1＋ln x)，由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.‎ ‎(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.‎ 解析　设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，‎ f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.‎ 答案　2x＋y＋1＝0‎ ‎(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.‎ 解析　y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1) 处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).‎ 答案　(1，1)‎ ‎(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ 解　(1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.‎ 由题意得即 解得a＝2，b＝e.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，‎ 由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.‎ 令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.‎ 当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增，‎ ‎∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，‎ ‎∴f′(x)>0在R上恒成立.‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).‎ ‎(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)‎ A.－4 B.－2 C.4 D.2‎ 解析　f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－22时，‎ f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点.‎ 答案　D ‎(2016·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝ln x－x＋1.讨论f(x)的单调性；‎ 解　依题意，f(x)的定义域为(0，＋∞).‎ f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1，‎ ‎∴当00，f(x)单调递增.‎ 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.‎ ‎(2015·北京卷)设函数f(x)＝－kln x，k>0.求f(x)的单调区间和极值；‎ 解　由f(x)＝－kln x(k>0)，得x＞0且f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去).‎ f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎   所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞).‎ f(x)在x＝处取得极小值f()＝.‎ ‎(2017·西安调研)定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)‎ A.e＋2 B.e＋1 C.e D.e－1‎ 解析　(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e.故选C.‎ ‎(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).讨论f(x)的单调性；‎ 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.‎ 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.‎ 若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；‎ 当x∈时，f′(x)＜0，‎ 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上，知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当a＞0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.‎