黑龙江省实验中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

黑龙江省实验中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

黑龙江省试验中学2019年高三第一次月考数学试题（理科）‎ 一、选择题。‎ ‎1.设全集为，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集定义求出，利用交集定义求得结果.‎ ‎【详解】由题意知： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中交集和补集运算，属于基础题.‎ ‎2.复数满足，则复数等于（）‎ A. B. C. 2 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.‎ ‎【详解】复数满足，‎ ‎∴，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．‎ ‎3.已知非零向量、满足且 则、的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设向量、的夹角为，将转化为，利用平面向量数量积的定义和运算律求出的值，可得出、的夹角.‎ ‎【详解】由于，且，则，‎ 即，得.‎ ‎，，因此，、的夹角为，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，解题的关键在于将向量垂直转化为平面向量的数量积为零，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎4.已知命题，命题，，则成立是成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.‎ ‎【详解】求解不等式可得，‎ 对于命题，当时，命题明显成立；‎ 当时，有：，解得：，‎ 即命题为真时，‎ 故成立是成立的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.设，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断三个数取值范围，再根据范围确定大小.‎ ‎【详解】因为，所以，选D.‎ ‎【点睛】比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小.‎ ‎6.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】令，则，故函数为偶函数，图像关于轴对称，排除C选项.由，解得且.，排除D选项.，故可排除B选项.所以本小题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，属于基础题.‎ ‎7.如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知易得∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，再由正弦定理求得,再由余弦定理AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9，所以AB＝3.‎ ‎【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，‎ 则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，‎ 在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，‎ 则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，‎ 则有，变形可得BC，‎ 在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，‎ 则AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9，‎ 则AB＝3；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查解三角形的实际应用，通过已知的角和边长通过余弦定理容易求得边长或者角度，属于简单题目。‎ ‎8.若函数有两个不同的零点，且，,则实数的取值范围为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法把问题转化为二次函数零点分布的问题，得到不等式组，解之即可.‎ ‎【详解】设t＝2x，函数f（t）＝t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，，,‎ ‎∴，即，解得：‎ 故选：C ‎【点睛】对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：‎ 一是，开口；‎ 二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；‎ 三是，判别式，决定于x轴的交点个数；‎ 四是，区间端点值.‎ ‎9.若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.‎ ‎【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.‎ 又时，，所以函数的图象如图所示.‎ 再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.‎ ‎10.如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量表示以及向量数量积定义化简条件，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，选A.‎ ‎【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11.如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.‎ ‎【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，‎ 设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；‎ 根据三角形面积公式得到，‎ 可得到内切圆的半径为 ‎ 可得到点的坐标为： ‎ ‎ ‎ 故得到 ‎ 故得到 ‎ ‎， ‎ 故最大值为：2.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.‎ ‎12.已知函数的导函数为，为自然对数的底数，对均有成立，且，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式.‎ ‎【详解】原不等式等价于，令，‎ 则恒成立，在上是增函数，‎ 又，，原不等式为，解得，故选.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题.‎ ‎13.已知函数的图像在点处的切线过点，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a的值．‎ ‎【详解】，，‎ 又因为，切点是，‎ 切线方程是：，.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知向量，，若，则实数______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ ‎ ，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.‎ ‎15.已知函数f（x）的值域为R，则a的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论a的取值范围，分别求出两个函数的 取值范围，结合函数的值域是R，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】当a≤0时，不满足条件．‎ 当a＞0时，‎ 若0＜x＜2，则f（x）＝a+log2x∈（﹣∞，a+1），‎ 当x≥2时，f（x）＝ax2﹣3∈[4a﹣3，+∞），‎ 要使函数的值域为R，‎ 则4a﹣3≤a+1，‎ 得a≤，即实数a的取值范围是（0，]，‎ 故答案为：（0，]‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的应用，求出函数的各自的取值范围，结合函数的值域建立不等式关系是解决本题的关键．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者。‎ ‎16.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在上的单调增区间是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由向右平移个单位得到，写出函数解析式；根据单调增区间列出不等式，再对取值，得到上的单调区间.‎ ‎【详解】向右平移个单位后得，令，则，由于，所以取，则，综上：.‎ ‎【点睛】向左（或右）平移个单位即可得到，而不是得到，这里需要注意的就是时，平移是在这个整体上进行的，并不是简单的在括号里加、减.‎ 三、解答题.‎ ‎17.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据三角函数定义求出、、的值，再利用诱导公式将所求代数式化简，将角的三角函数值代入进行计算可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）利用二倍角公式求出的值，利用半角公式求出的值，再代入所求代数式进行计算即可。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得：‎ 原式 ‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎=。‎ ‎【点睛】本题考查三角函数定义、诱导公式、二倍角公式以及半角公式，在三角求值时，充分利用相关公式进行化简，朝着已知角进行化简计算，着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平，属于中等题。‎ ‎18.在中，，，的对边分别为，，，已知．‎ ‎（1）判断的形状；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎【答案】（1）为直角三角形或等腰三角形（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理和题设条件，得 ‎，再利用三角恒等变换的公式，化简得，进而求得或，即可得到答案．‎ ‎（2）在中，利用余弦定理，求得，即可求得的值．‎ ‎【详解】（1）由正弦定理可知，代入，‎ ‎，‎ 又由,‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，则，‎ 则或，所以或，‎ 所以为直角三角形或等腰三角形． ‎ ‎（2）因为，则为等腰三角形，从而，‎ 由余弦定理，得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎19.已知函数 ．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）当时恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数f（x ‎）的最小正周期；（Ⅱ）恒成立问题转化为求最值问题，通过求 的最小值，即可求解的取值范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ 所以最小正周期 ；‎ ‎（Ⅱ）因为 ，所以 ， ‎ 所以当 ，即 时， 有最小值 ，‎ 所以有最小值-1，因为当时， 恒成立，所以 即m的取值范围是 ‎【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查计算能力．‎ ‎20.在中，分别是三个内角的对边，若，且.‎ ‎（Ⅰ）求及的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理可得，再利用二倍角的正弦公式可得，从而根据余弦定理可得；（2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得的值，再由两角和的余弦公式可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，‎ 得，‎ ‎，，即，‎ 解得,‎ 在中，由余弦定理，‎ 得，解得或．‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间及极值；‎ ‎（2）若函数在上有唯一零点，证明：.‎ ‎【答案】（1）的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域以及导数，利用导数求出函数的单调区间，并由单调性得出函数的极值；‎ ‎（2）利用参变量分离法得出关于的方程在上有唯一解，构造函数，得出，构造函数，求出该函数的导数，判断导数的符号，得出函数的单调性，求出函数的最小值转化即可。‎ ‎【详解】（1）的定义域为，∵，‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数，‎ ‎∴有极小值，无极大值，‎ 故的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；‎ ‎（2）函数在上有唯一零点，即当时，方程有唯一解，‎ ‎∴有唯一解，令，则 令，则，‎ 当时，，故函数增函数，‎ 又，，‎ ‎∴在上存在唯一零点，则，且，‎ 当时，，‎ 当时，，∴在上有最小值.ly，∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、以及利用导数研究函数的零点问题，构造新函数是难点，也是解题的关键，考查转化与化归数学思想，属于难题.‎ ‎22.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（I）先求得函数的导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法证得上述不等式成立.‎ ‎【详解】（I）． ‎ ‎∴在内单调递减， ‎ ‎∴在内恒成立， ‎ 即在内恒成立．‎ 令，则，‎ ‎∴当时，，即在内为增函数；‎ 当时，，即在内为减函数． ‎ ‎∴的最大值为，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，‎ 则在内有两根，，‎ 由（I），知． ‎ 由，两式相减，得．‎ 不妨设， ‎ ‎∴要证明，只需证明． ‎ 即证明，亦即证明． ‎ 令函数．‎ ‎∴，即函数在内单调递减．‎ ‎∴时，有，∴．‎ 即不等式成立． ‎ 综上，得．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.‎ ‎ ‎