2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题 一、选择题（共12小题，共60分）‎ ‎1．角的终边经过点，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎2．若，为第四象限角，则的值等于 A. B. C. D. ‎ ‎3．如图，的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4．‎ A． B． C. D．‎ ‎5．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 A. B. C. D. ‎ ‎6．若，则 A. B. C. D. ‎ ‎7．若，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎8．下列三角函数值大小比较正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象 A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 ‎10．已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则 A. B. C. D. ‎ ‎11．若，，且，，则的值是 A. B. C. 或 D. 或 ‎12．已知函数的一个零点是是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是 A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题（共4小题，共20分）‎ ‎13． ‎ ‎14．已知函数，值域为，则的最大值为______ ‎ ‎15．已知，则 ______‎ ‎16．已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是______‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题10分）‎ 某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+）（ω＞0，| |）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx+‎ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ Asin（ωx+）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（1）请在答题卡上将如表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g（x）图象，求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．‎ ‎18. （本小题12分）‎ 若，，，． （1）求的值； （2）求的值．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 设关于x的函数的最小值为，试确定满足的a的值．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点从水中浮现（图中点）开始计算时间.‎ ‎（1）将点距离水面的高度（米）表示为时间（秒）的函数；‎ ‎（2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点离开水面？‎ ‎21．（本小题12分）‎ 若函数满足且，则称函数为“函数”．‎ ‎（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；‎ ‎（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；‎ ‎（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．‎ ‎22．（本小题12分）‎ 已知，.‎ ‎（1）求当时，的值域；‎ ‎（2）若函数在内有且只有一个零点，求的取值范围.‎ 一、 ‎选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．角的终边经过点，则的值为　　D A. B. C. D. ‎ ‎2．若，为第四象限角，则的值等于　　D A. B. C. D. ‎ ‎3．如图，的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为 C A. B. C. D. ‎ ‎4． D A． B．‎ C． ‎ D．‎ ‎5．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(    )D A. B. C. D. ‎ ‎6．如果，则 C A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．若，且，则     A A. B. C. D. ‎ ‎8．下列三角函数值大小比较正确的是　　C A. B. C. D. ‎ ‎9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象　　A A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 ‎10．已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则(    )A A. B. C. D. ‎ ‎11．若，，且，，则的值是　　B A. B. C. 或 D. 或 ‎12．已知函数的一个零点是是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是（ ）A A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）‎ ‎13． ‎ ‎14．已知函数，值域为，则的最大值为______ ， 【答案】‎ ‎15.已知，则 ______ ．【答案】‎ ‎16．已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是______【答案】‎ ‎17．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+）（ω＞0，| |）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx+‎ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ Asin（ωx+）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（1）请在答题卡上将如表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g（x）图象，求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．‎ ‎【答案】（1）答案见解析，解析式为f（x）＝5sin（2x）．；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中已知数据可得A，可求，，解得ω，的值，即可求得函数解析式，即可补全数据．‎ ‎（2）由三角函数平移变换规律可求g（x）的函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据表中已知数据可得：A＝5，，，‎ 解得．‎ 数据补全如下表：‎ ωx+‎ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Asin（ωx+）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ 且函数表达式为：f（x）＝5sin（2x）．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因此 ．‎ 因为y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．‎ 令，‎ 解得：，k∈Z．‎ 即y＝g（x）图象的对称中心为：，k∈Z，‎ 其中离原点O最近的对称中心为：．‎ ‎18. 若，，，． 求的值； 求的值．‎ ‎【答案】解：Ⅰ， ， 又， ， ；Ⅱ，， 又 ， ， ．‎ ‎19．设关于x的函数的最小值为，试确定满足的a的值．‎ ‎，‎ 令，可得，‎ 换元可得，可看作关于t的二次函数，‎ 图象为开口向上的抛物线，对称轴为，‎ 当，即时，是函数y的递增区间，；‎ 当，即时，是函数y的递减区间，，得，与矛盾；‎ 当，即时，，变形可得，‎ 解得或舍去 ‎ 综上可得满足的a的值为.‎ ‎20．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点从水中浮现（图中点）开始计算时间.‎ ‎（1）将点距离水面的高度（米）表示为时间（秒）的函数；‎ ‎（2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点离开水面？‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据距离水面的高度得到点的坐标.利用三角函数来表示点的坐标，将角速度代入点的纵坐标，在加上，可求得的表达式.（2）令，通过解三角不等式可求得离开水面的时间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以圆心为原点，建立如图所示的直角坐标系，‎ 则，所以以为始边，为终边的角为,‎ 故 点在秒内所转过的角=，所以， ‎ ‎（2）令，得，‎ 所以 即 又，所以即在水轮旋转一圈内，有10秒时间点离开水面.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21．若函数满足且，则称函数为 “函数”．‎ 试判断是否为“函数”，并说明理由；‎ 函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；‎ 在条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．‎ ‎【答案】（1）不是“M函数”；（2），；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不满足，得不是“M函数”，‎ 可得函数的周期，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 在上的单调递增区间：，‎ 由可得函数在上的图象，根据图象可得：‎ 当或1时，为常数有2个解，其和为 当时，为常数有3个解，其和为．‎ 当时，为常数有4个解，其和为 即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，‎ ‎【详解】‎ 不是“M函数”．‎ ‎，‎ ‎，‎ 不是“M函数”．‎ 函数满足，函数的周期 ‎，，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎，‎ 在上的单调递增区间：，；‎ 由可得函数在上的图象为：‎ 当或1时，为常数有2个解，其和为.‎ 当时，为常数有3个解，其和为．‎ 当时，为常数有4个解，其和为 当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，‎ 则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．‎ ‎22．已知，.‎ ‎（1）求当时，的值域；‎ ‎（2）若函数在内有且只有一个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的值域为；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，令，则，，可求的值域；（2），‎ 令，则当时，，，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.因为，∴在内为增函数，分①若在内有且只有一个零点，无零点，和②若为的零点，内无零点两种情况讨论即可.‎ 试题解析：（1）当时，，令，则，，‎ ‎，当时，，当时，，所以的值域为.‎ ‎（2），‎ 令，则当时，，，‎ ‎，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，‎ 无零点.因为，∴在内为增函数，①若在内有且只有一个零点，无零点，故只需得；‎ ‎②若为的零点，内无零点，则，得，经检验，符合题意.‎ 综上，或.‎ 考点：利用换元思想解决三角函数问题，函数的零点