【数学】2018届一轮复习苏教版(理)平面向量基本定理及坐标表示教案(江苏专用)

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【数学】2018届一轮复习苏教版(理)平面向量基本定理及坐标表示教案(江苏专用)

第30课 平面向量基本定理及坐标表示 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 平面向量的坐标表示 ‎√‎ ‎1.平面向量基本定理 ‎(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.‎ ‎(2)基底:不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y),其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.‎ ‎3.平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),‎ λa=(λx1,λy1),|a|=.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),‎ ‎||=.‎ ‎4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a,b共线⇔x1y2-x2y1=0.‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(  )‎ ‎(2)在△ABC中,设=a,=b,则向量a与b的夹角为∠ABC.(  )‎ ‎(3)若a,b不共线,且λ‎1a+μ1b=λ‎2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(  )‎ ‎(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|=________.‎  [因为a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2),所以|a+b|==.]‎ ‎3.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=________.‎ ‎(-7,-4) [=(3,2)-(0,1)=(3,1),‎ =-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).]‎ ‎4.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________.‎ ‎-6 [∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b,‎ ‎∴-2m-4×3=0,∴m=-6.]‎ ‎5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.‎ ‎(1,5) [设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),‎ 即解得]‎ 平面向量基本定理及其应用 ‎ 如图301,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,. 【导学号:62172161】‎ 图301‎ ‎[解] ∵=-=a-b,‎ ==a-b,‎ ‎∴=+=a+b.‎ ‎∵=a+b,‎ ‎∴=+=+ ‎==a+b,‎ ‎∴=-=a+b-a-b=a-b.‎ 综上,=a+b,=a+b,=a-b.‎ ‎[规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底来表示其他向量,即用特殊向量表示一般向量.‎ ‎2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算,在解题时,注意方程思想的运用.如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ,μ的方程组.‎ ‎[变式训练1] (1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是________.(填序号)‎ ‎①e1与e1+e2;‎ ‎②e1-2e2与e1+2e2;‎ ‎③e1+e2与e1-e2;‎ ‎④e1+3e2与6e2+2e1.‎ ‎(2)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.‎ ‎(1)④ (2) [(1)①中,设e1+e2=λe1,则无解;‎ ‎②中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;‎ ‎③中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;‎ ‎④中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.‎ ‎(2)选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+,‎ 又=λ+μ=+,‎ 于是得解得 所以λ+μ=.]‎ 平面向量的坐标运算 ‎ 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=‎3c,=-2b,‎ ‎(1)求‎3a+b-‎3c;‎ ‎(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(3)求M,N的坐标及向量的坐标. 【导学号:62172162】‎ ‎[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).‎ ‎(1)‎3a+b-‎3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)‎ ‎=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).‎ ‎(2)∵mb+nc=(-‎6m+n,-‎3m+8n),‎ ‎∴解得 ‎(3)设O为坐标原点.∵=-=‎3c,‎ ‎∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).‎ ‎∴M(0,20).‎ 又∵=-=-2b,‎ ‎∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),‎ ‎∴N(9,2),∴=(9,-18).‎ ‎[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解.‎ ‎2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.‎ ‎[变式训练2] (2017·苏州模拟)设向量=(5+cos θ,4+sin θ),=(2,0),则||的取值范围是________.‎ ‎[4,6] [=-=(-3-cos θ,-4-sin θ).‎ ‎∴||== ‎=(其中tan φ=).‎ ‎∴≤||≤,即||∈[4,6].]‎ 平面向量共线的坐标表示 ‎ (1)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a∥(a+b),则m=________.‎ ‎(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),‎ C(4,2),则点D的坐标为________.‎ ‎(1)-3 (2)(2,4) [(1)由题意可知a+b=(2,1+m),‎ ‎∵a∥(a+b),‎ ‎∴2+(m+1)=0⇒m=-3.‎ ‎(2)∵在梯形ABCD中,DC=2AB,‎ ‎∴=2.设点D的坐标为(x,y),‎ 则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y).‎ =(2,1)-(1,2)=(1,-1),‎ ‎∴(4-x,2-y)=2(1,-1),‎ 即(4-x,2-y)=(2,-2),‎ ‎∴解得 故点D的坐标为(2,4).]‎ ‎[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;(2)若a∥b(a≠0),则b=λa.‎ ‎2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例求解.‎ ‎[变式训练3] (1)已知向量a=(1-sin θ,1),b=,若a∥b,则锐角θ=________.‎ ‎(2)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.‎ ‎(1) (2)k≠1 [(1)由a∥b,得(1-sin θ)(1+sin θ)=,‎ 所以cos2θ=,‎ 所以cos θ=或-,又θ为锐角,所以θ=.‎ ‎(2)若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线.‎ 因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),‎ =-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),‎ 所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理,是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础,用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a=λ1e1+λ2e2的形式.‎ ‎2.利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线,也可以由平行求点的坐标或参数值.‎ ‎3.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量=a,点A的位置被向量a唯一确定,此时点A的坐标与a的坐标统一为(x,y).但表示形式与意义不同,如点A(x,y),向量a==(x,y),向量坐标中既有大小信息又有方向信息.‎ ‎2.若a,b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形致误.‎ ‎3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成=,因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.‎ 课时分层训练(三十)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、填空题 ‎1.如图302,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:‎ 图302‎ ‎①与;②与;③与;④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________.(填序号)‎ ‎①③ [①中,不共线;③中,不共线.]‎ ‎2.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于________.(用a,b表示) 【导学号:62172163】‎ a-b [设c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),‎ ‎∴∴∴c=a-b.]‎ ‎3.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为______.‎ ‎-3 [∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),‎ ‎∴∴∴m-n=2-5=-3.]‎ ‎4.(2017·苏州模拟)设x∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),且a+2b=(5,-3),则x+y=________.‎ ‎-1 [∵a=(x,1),b=(2,y),‎ ‎∴a+2b=(x+4,1+2y),‎ ‎∴即 ‎∴x+y=-1.]‎ ‎5.(2017·南京模拟)已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(‎2a+b),则实数m的值为________.‎ ‎2 [∵a=(1,2),b=(m,4),‎ ‎∴2a+b=(2+m,8).‎ 又a∥(2a+b),故8=4+2m,即m=2.]‎ ‎6.(2017·无锡期中)如图303,在△ABC中,==,若=λ+μ,则λ+μ=________.‎ 图303‎  [∵==,‎ ‎∴=,=.‎ ‎∴=-=-=(+)- ‎=-+=+ 又=λ+μ,∴λ=μ=.‎ ‎∴λ+μ=.]‎ ‎7.如图304,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,则=________,=________,=________(用向量a,b表示).‎ 图304‎ b-a b-a a-b [=++=-b-a+b=b-a,=+=-b+=b-a,=+=-b-=a-b.]‎ ‎8.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=________.‎ ‎(-6,21) [∵Q是AC的中点,‎ ‎∴=(+),‎ ‎∴=2-=(2,10)-(4,3)‎ ‎=(-2,7).‎ 又=2=(-4,14),‎ ‎∴=+=(-4,14)+(-2,7)=(-6,21).]‎ ‎9.(2017·南京模拟)如图305,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________. 【导学号:62172164】‎ 图305‎  [设=k,k∈R.‎ 因为=+=+k ‎=+k(-)‎ ‎=+k ‎=(1-k)+,‎ 且=m+,‎ 所以1-k=m,=,‎ 解得k=,m=.]‎ ‎10.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是________.‎ ‎8 [∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,‎ 化简得2x+3y=3.又∵x,y均为正数,‎ ‎∴+=×(2x+3y)‎ ‎=≥×=8,‎ 当且仅当=时,等号成立,‎ ‎∴+的最小值是8.]‎ 二、解答题 ‎11.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b). ‎ ‎(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;‎ ‎(2)若=2,求点C的坐标. 【导学号:62172165】‎ ‎[解] (1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1).‎ ‎∵A,B,C三点共线,∴∥.‎ ‎∵2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.‎ ‎(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2).‎ ‎∴解得 ‎∴点C的坐标为(5,-3).‎ ‎12.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).‎ ‎(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.‎ ‎[解] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),‎ 所以解得 ‎(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),‎ 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图306所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.‎ 图306‎ ‎4 [以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),‎ 则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),‎ ‎∴a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).‎ ‎∵c=λa+μb,‎ ‎∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),‎ 即 解得∴=4.]‎ ‎2.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图307所示,点C在以O为圆心的上运动.若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值为________.‎ 图307‎ ‎2 [以O为坐标原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,‎ 则A(1,0),B.‎ 设∠AOC=α,则C(cos α,sin α),‎ 由=x+y,‎ 得 所以x=cos α+sin α,y=sin α,‎ 所以x+y=cos α+sin α=2sin,‎ 又α∈,所以当α=时,x+y取得最大值2.]‎ ‎3.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;‎ ‎(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线.‎ ‎[解] (1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)‎ ‎=(4t2,2t1+4t2).‎ 当点M在第二或第三象限时,有 故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.‎ ‎(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).‎ ‎∵=-=(4,4),‎ =-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,‎ ‎∴与共线,又有公共点A,∴A,B,M三点共线.‎ ‎4.已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.‎ ‎(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值;‎ ‎(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.‎ ‎[解] (1)因为四边形OACB是平行四边形,‎ 所以=,即(a,0)=(2,2-b),‎ 解得 故a=2,b=2.‎ ‎(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),‎ 由A,B,C三点共线,得∥,‎ 所以-a(2-b)-2b=0,‎ 即2(a+b)=ab,‎ 因为a>0,b>0,‎ 所以2(a+b)=ab≤2,‎ 即(a+b)2-8(a+b)≥0,‎ 解得a+b≥8或a+b≤0.‎ 因为a>0,b>0,‎ 所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.‎ 当且仅当a=b=4时,“=”成立.‎
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