北师大版数学九年级上册同步课件-2第二章- 复习课

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第二章 一元二次方程 复习课 一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx ＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二 次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a、b、c为常数，a≠0) 1 3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a、b、c为常数，a≠0) 一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 各种一元二次方程的解法及使用类型 2 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系； （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法； （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题； （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性； （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语； 3 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的 取值范围是（ ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 分析： 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有 二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故 选A. 答案：A A 练习1：方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系 数是 ，常数项是 . 4 -2 0 一元二次方程的定义专题1 例1 分析：根据一元二次方程根的定义可知，将x=0代入原方程一 定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m 为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题 的解题方法我们称之为“有根必代”. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0, 则m= .-1 专题2 一元二次方程的根的应用 例2 练习2： 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值 为 .-1 易错提示：求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程， 所以1不符合，应引起注意. (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ ） A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9 (2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程 x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　） 　A.13 B.15 C.18 D.13或18 A A 专题3 一元二次方程的解法 分析： (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； （2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关 系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 例3 练习3： 1.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24 A 【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1,（a-b)2与（a+ b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相 加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯. 练习4：用公式法和配方法解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要 解题步骤）. 1 -4 -1 .a b c  ( 公 式 法 ) ， ， 2 4 1 .x x ( 配 方 法 ) 移 项 ， 得    22 - 4 = -4 -4 1 -1 = 2 0 0 .b a c      2 -4 2 04 2 5 .2 2 1 b b a cx a 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根        1 22 5 , 2 5 .x x    2 2 24 2 1 2 .x x配 方 , 得       22 5x  即 ， 2 = 5x  由 此 可 得 ， ， 1 22 5 , 2 5 .x x     解： 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数 根，则m的取值范围是（ ） A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<04 3m   A 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式， 这样能帮助我们正确确定a、b、c的值. 分析： 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0, 即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A.4 3m   Δ 专题4 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 练习4：下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 练习5：（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不 相等的实数根，则m的值可能是　　（写出一个即可）． D 0 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m、n，则m－ mn＋n2＝ ．25 分析： 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. ∴m2－mn＋ n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25. 专题5 一元二次方程的根与系数的关系 例5 练习6：已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值 等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. 3 2 3 2  A 【重要变形】 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ;x x x x x x   ① 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x   ② ； 1 2 1 2 1 2 1 1 .x x x x x x    ③ 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为 每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件， 而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28 元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为 多少元？ 专题6 一元二次方程的应用 例6 分析:设公司每天的销售价为x元.本题为销售中的利润问题，其 基本数量关系用表分析如下： 单件利润 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x-20 32-2(x-24) 150 其等量关系是：总利润=单件利润×销售量. 解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x. （2）由题意可得,(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意可知，x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元. 【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根. 128 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批 发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为 了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元 的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是x.根据题意,得 5（1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是20%. 例7 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样 宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪 的面积为540平方米，求道路的宽. 图1 分析： 本题利用图形的变换—— 平移，把零散的图形面积集中化， 再建立方程并求解. 例8 解：设道路宽为x米.由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为 （32-x)米，可列方程 （20-x)(32-x)=540， 整理，得 x2-52x+100=0. 解得 x1=50(舍去），x2=2. 答：道路宽为2米. 图2 图1 解决有关面积问题时，除了要对所学图形面积公式熟悉外，还 要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积 之间的关系，再列方程求解. （注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等） 平移转化 练习7：(易错题）要在一块长52米，宽48米的矩形绿地上， 修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的 设计方案. 52 48x x图1 小亮设计的方案如图1所 示，甬面宽度均为xm,剩 下四块绿地面种共2300m2. 小颖设计的方案如图2所示， BC=HE=xm,AB∥CD,HG∥E F,AB ⊥EF, ∠1=60 °. x x G F H E A D (1 B C 图2 52 48 解:(1)根据小亮的设计方案列方程，得（52-x)(48-x)=2300. 解得x1=2, x2=98(不合题意，舍去）. 答：小亮设计方案中甬路的宽度为2m. (2)在图2中作AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分别是为I、J. ∵AB ∥CD, ∴四边形ADCB是平行四边形. 由（1）得x=2, ∴AD=BC=HE=2 m. 在Rt △ADI中， ∠ADC=∠1=60 °， AD=2m, ∴AI= m,同理HJ= m. ∴小颖设计方案中四块绿地的总面 积=52 ×48-2 ×52-2×48+ =2299（m2). 3 3 2( 3) x x G F H E A D (1 B C 图2 52 48 J I 一元二 次方程 一元二次方 程的定义 概念：①整式方程； ②一元； ③二次 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方 程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 2 24 ( 4 0)2 b b acx b aca      因式分解法 根 的 判 别 式 及 根与系数的关系 根的判别式： Δ=b2-4ac 根与系数的关系 1 2 1 2 bx x a cx x a     一元二次方 程 的 应 用 营 销 问 题 、 平 均 变 化 率 问 题 几何问题、数字问题