中考数学证明题集锦及答案

中考数学证明题集锦及答案

中考数学证明题精选 ‎1.如图，两相交圆的公共弦AB为，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。‎ ‎2.已知扇形的圆心角为1500，弧长为，求扇形的面积。‎ ‎3.如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝‎4cm，∠APB＝600，求阴影部分的周长。‎ ‎4.如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝‎2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积。‎ ‎5.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求图中阴影部分的面积。‎ ‎ ‎ ‎6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO＝‎15cm，BO＝‎20cm，求的长。‎ ‎7.如图，有一个直径是‎1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900‎ 的扇形ABC，求：‎ ‎（1）被剪掉（阴影）部分的面积；‎ ‎（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？‎ ‎8.如图，⊙O与⊙外切于M，AB、CD是它们的外公切线，A、B、C、D为切点，⊥OA于E，且∠AOC＝1200。‎ ‎（1）求证：⊙的周长等于的弧长；‎ ‎（2）若⊙的半径为‎1cm，求图中阴影部分的面积。‎ ‎9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.‎ (1) 求证：DC=BC;‎ (2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；‎ (3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值. ‎ ‎10.已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF；‎ ‎（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．‎ ‎11.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．‎ ‎（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；‎ 图13－1‎ A( G )‎ B( E )‎ C O D( F )‎ 图13－2‎ E A B D G F O M N C 图13－3‎ A B D G E F O M N C ‎（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎12.如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。‎ ‎ （1）若，求CD的长；‎ ‎ （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。‎ ‎13.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. ‎（1）求证：点F是BD中点；‎ ‎（2）求证：CG是⊙O的切线；‎ ‎（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．‎ ‎ ‎ ‎14.如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），‎ ‎⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动．‎ ‎（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；‎ ‎（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.‎ C A B D O E ‎15.如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，‎ DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，‎ 垂足为点C.‎ 求证：∠ACB=∠OAC.‎ ‎16.如图１，一架长‎4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．‎ ⑴求AO与BO的长；‎ ⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.‎ ‎①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；‎ ‎②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ ，试求AA’的长．‎ ‎17．如图⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠‎ ABD，求证：AD·CE=DE·DF． ‎ 说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写3步）．（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ‎ ①∠CDB=∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°． ‎18．已知，如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM>MC，连结DE，DE=． ‎ （1）求EM的长；（2）求sin∠EOB的值． ‎19．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB． ‎ （1）求证：DE是⊙O切线； ‎（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长． ‎20．如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，O1O2的延长线交⊙O2于点A，AB切⊙O1于点B，交⊙O2于点C，BE是⊙O1的直径，过点B作BF⊥O1P，垂足为F，延长BF交PE于点G． （1）求证：PB2=PG·PE；（2）若PF=，tan∠A=，求：O1O2的长．‎ ‎ ‎ ‎ 21．如图，P是⊙O外一点，割线PA、PB分别与⊙O相交于A、C、B、D四点，PT切⊙O于点T，点E、F分别在PB、PA上，且PE=PT，∠PFE=∠ABP．‎ ‎ （1）求证：PD·PF=PC·PE；‎ ‎（2）若PD=4，PC=5，AF=，求PT的长．‎ ‎ ‎ ‎22．如图，BC是半圆O的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5‎ ‎（1）求tan∠DCE的值；（2）求AB的长．‎ ‎ ‎ ‎23．如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．‎ ‎ （1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．‎ ‎24．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连结ED．‎ ‎ （1）求证：直线ED是⊙O的切线；‎ ‎ （2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO．‎ ‎25. 如图8．PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB． （1）求证：OP∥CB； （2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．‎ ‎26. 如图9．在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点。（1）写出点O到△ABC的三个顶点 A、B、C（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。‎ ‎27.如图9，已知△ABC内接于⊙O，直线DE与⊙O相切于点A．BD∥CA． 求证：AB·DA＝BC·BD．‎ ‎28.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=‎6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=‎4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．‎ ‎ (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ▲ ．‎ ‎ (填“不变”、“变大”或“变小”)‎ ‎ (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：‎ ‎ 问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?‎ ‎ 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?‎ ‎ 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，‎ ‎ 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．‎ ‎ 请你分别完成上述三个问题的解答过程．‎ ‎29.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O ‎30.已知：如图 13，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.‎ ‎⑴求证：BE=DG；‎ ‎⑵若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.‎ A D G C B F E 图 13‎ A C B M D E O N F 图 14‎ ‎31. 如图 14，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，‎ AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB 2＝AF·AC，cos∠ABD＝，AD＝12．‎ ‎⑴求证：△ANM≌△ENM；‎ ‎⑵试探究：直线FB与⊙O相切吗？请说明理由.‎ ‎⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S.‎ ‎32.如图，已知正方形OABC在直角坐标系xoy中，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点O为坐标原点，等腰直角三角板OEF的直角顶点O在坐标原点，E、F分别在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2，将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE‎1F1，的位置，连接AE1、CF1．‎ ‎（1）求证：△AOE1≌△OCF1；‎ ‎（2）将三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，请求出此时E点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎2011年中考冲刺班数学证明题集锦答案 ‎1. 解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为，正六边形外接圆⊙O2的半径为，由题意得：，‎ ‎，∴∶＝∶；∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3。‎ ‎2. 解：设扇形的半径为，则，＝1500，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴。‎ ‎3. 解：连结OA、OB ‎∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点 ‎∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠‎ ‎∠APO＝∠APB＝300‎ 在Rt△PAO中，AP＝‎ OA＝PO＝2，∴PB＝‎ ‎∵∠APO＝300，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠‎ ‎∴∠AOB＝300，∴‎ ‎∴阴影部分的周长＝PA＋PB＋＝＝cm 答：阴影部分的周长为cm。‎ ‎4. 解：连结OP ‎∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP∥OB 又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2‎ ‎∴∠1＝600，∠2＝300‎ ‎∴PM＝‎ 而，‎ 设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为 ‎∴‎ ‎ ＝＝‎ ‎5.；‎ ‎6.；‎ ‎7.（1）平方米，（2）米；‎ ‎8.（1）证明：由已知得∠AO＝600，ABO为直角梯形，设⊙O与⊙的半径分别为、，则cos600＝‎ ‎，即，∴⊙的周长为，而＝＝，∴⊙的周长等于的弧长。（2）cm2。‎ ‎9. [解析] （1）过A作DC的垂线AM交DC于M,‎ 则AM=BC=2.‎ 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.‎ ‎(2)等腰三角形.‎ 证明：因为.‎ 所以，△DEC≌△BFC 所以，.‎ 所以，‎ 即△ECF是等腰直角三角形.‎ ‎（3）设,则，所以.‎ 因为，又，所以.‎ 所以 所以.‎ ‎10. [解析] （1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ‎ ‎∵点E 、F分别是AB、CD的中点，‎ ‎∴AE＝AB ，CF＝CD ．‎ ‎∴AE＝CF ‎∴△ADE≌△CBF ． ‎ ‎（2）当四边形BEDF是菱形时，‎ 四边形 AGBD是矩形．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC ．‎ ‎∵AG∥BD ，‎ ‎∴四边形 AGBD 是平行四边形． ‎ ‎∵四边形 BEDF 是菱形，‎ ‎∴DE＝BE ．‎ ‎∵AE＝BE ，‎ ‎∴AE＝BE＝DE ．‎ ‎∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．‎ ‎∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，‎ ‎∴2∠2＋2∠3＝180°．‎ ‎∴∠2＋∠3＝90°．‎ 即∠ADB＝90°． ‎ ‎∴四边形AGBD是矩形 ‎11. （1）BM=FN． ‎ 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．‎ 又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ．‎ ‎∴ BM=FN． ‎ （1） BM=FN仍然成立． ‎ （2） 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．‎ ‎∴∠MBO=∠NFO=135°．‎ 又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．‎ ‎∴ BM=FN． ‎ ‎12. （1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5‎ ‎ 所以∠ADB＝90°，AB＝10 ‎ ‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎ 又，所以，所以 ‎ ‎ ‎ 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ （2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD ‎ 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO ‎ 所以∠CDB＝∠ADO ‎ 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x ‎ 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x ‎ 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°‎ ‎ 所以 ‎ 所以x＝10°‎ ‎ 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°‎ ‎ 所以∠AOC＝∠AOD＝100°‎ ‎ ‎ ‎13. (1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF ‎∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD ‎ ‎(2)方法一：连接CB、OC，‎ ‎∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，‎ ‎∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ‎∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′‎ 方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)‎ ‎ (3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC ‎ 可证得：FA＝FG，且AB＝BG 由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2　 由、得：FG2-4FG-12=0‎ 解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）‎ ‎∴AB＝BG＝‎ ‎∴⊙O半径为2‎ ‎14. 解: ⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）‎ ⑵作AC⊥OP,C为垂足.‎ ‎∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1‎ ‎∴△ACP∽△OBP ‎ ‎∴ ‎ ‎ 在中,,又AP=12-4=8, ∴‎ ‎∴AC=≈1.94 ‎ ‎∵1.94<2‎ ‎∴OP与⊙A相交. ‎ ‎15. 证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F， （3分）‎ ‎∵DE是圆的一条切线，E是切点，‎ ‎∴OE⊥DC，‎ 又∵BC⊥DE,‎ ‎∴OE∥AF∥BC. ‎ ‎ ∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.‎ ‎∵OA=OE，‎ ‎∴∠4=∠3. ‎ ‎∴∠4=∠2. ‎ 又∵点A是OB的中点，‎ ‎∴点F是EC的中点. ‎ ‎∴AE=AC. ‎ ‎∴∠1=∠2. ‎ ‎∴∠4=∠2=∠1. ‎ ‎ 即∠ACB=∠OAC.‎ ‎16. 米.‎ 米. -------------- (3分)‎ ⑵设在中,‎ ‎ ‎ ‎ 根据勾股定理:‎ ‎∴ ------------- (5分) ‎ ‎∴‎ ‎∵　　∴‎ ‎ ∴ ------------- (7分)‎ AC=2x=‎ 即梯子顶端A沿NO下滑了米. ---- (8分)‎ ⑶∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点 ‎∴， ------------- (9分)‎ ‎∴------- (10分)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ----------------------- (11分)‎ ‎∴----- (12分)‎ ‎∴米. -------- (13分)‎ ‎17．证明：连结AF，则∠ABD=∠F．‎ ‎ ∵∠ADG=∠ABD，∴∠ADG=∠F．‎ ‎ ∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90°，‎ ‎ ∴∠ADF+∠F=90°，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，‎ ‎ ∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，‎ ‎ ∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，‎ ‎ ∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，‎ ‎∴∠CBE=90°．取EC中点M，连结DM、BM，则DM=BM=CM=EM，‎ 即D、E、B、C在以EC为直径的圆上，‎ ‎ ∴∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠F，‎ ‎ ∴△DAF∽△EDC，∴，‎ ‎ ∴AD·CE=DE·DF，以下略；‎ ‎18．（1）DC为⊙O的直径，DE⊥EC，‎ ‎ EC==7．‎ ‎ 设EM=x，由于M为OB的中点，‎ ‎ ∴BM=2，AM=6，∴AM·MB=x·（7-x），即6×2=x（7-x），‎ ‎ 解得x1=3，x2=4，∵EM>MC，∴EM=4．‎ ‎（2）∵OE=EM=4，∴△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，垂足为F，‎ 则OF=1，∴EF==．‎ ‎ ∴sin∠EOB=．‎ ‎19．（1）连结CO，则AO=BO=CO，‎ ‎ ∴∠CAO=∠ACO，又∵∠EAC=∠CAO，‎ ‎ ∠ACO=∠EAC，∴AE∥OC，‎ ‎ ∴DE是⊙O的切线．‎ ‎ （2）∵AB=6，∴AO=BO=CO=3．‎ ‎ 由（1）知，AE∥OC，‎ ‎ ∴△DCO∽△DEA，‎ ‎ =．‎ ‎ 又∵AE=，∴，‎ ‎ 解得BD=2．‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．‎ 又∵∠EAC=∠CAB，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，‎ ‎∴，即AC2=AB·AE=6×=．‎ ‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎ 由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-=．‎ ‎ ∵BC>0，BC==．‎ ‎20．（1）∵BE是⊙O1的直径，∴∠BPE=90°．‎ ‎ ∵BF⊥O1P，∴∠BPF+∠FBP=90°．‎ ‎ ∵∠GPE+∠BPF=90°，∴∠GPF=∠BPF．‎ ‎ ∵O1E=O1P，‎ ‎ ∴∠E=∠GPF=∠PBF，又∠BPG=∠EPB=90°，‎ ‎ ∴△GPB∽△BPE，∴PB2=PE·PG．‎ ‎ （2）∵AB是⊙O1的切线，∴O1B⊥AB，‎ ‎ ∴△O1BF∽△O1AB，∴∠O1BF=∠A．‎ ‎ ∵tan∠A=，∴tan∠O1BF=．‎ ‎ 设O‎1F=‎3m，则BF=‎4m．‎ ‎ 由勾股定理得：O1B=‎5m=O1P，∴PF=‎5m-3m=‎2m．‎ ‎ 又∵PF=，∴m=，∴O1B=O1P，∴BF=×4=3．‎ ‎ 由tan∠A=，∴AF==4，∴AP=4-=，‎ ‎ ∴PO2= ，∴O1O2=++==5．‎ ‎21．（1）连CD，因A、B、D、C四点共圆，‎ ‎ ∴∠DCP=∠ABP，而∠PFE=∠ABP，‎ ‎ ∴∠DCP=∠PFE，CD∥EF，∴，即PD·PF=PC·PE．‎ ‎ （2）设PT长为x，∴PE=PT，由（1）结论得PF=x，‎ ‎ 由PT2=PC·PA得x2=5（x+），解之得x1=7，x2=-，∴PT=7．‎ ‎22．（1）由已知得EC2=ED（ED+）， 解之得ED=2或ED=-（舍去）．‎ ‎ ∵BC为直径，∴CD⊥BE，由勾股定理得CD=，∴tan∠DCE=．‎ ‎ （2）连AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=，BC=．‎ ‎ 可证△ADF∽△BCF，∴=．‎ ‎ 设DF=2x，则CF=3x．由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，∴DF=2，CF=3，∴BF=．‎ ‎ 由相交弦定理得AF=， ∴AB== ．‎ ‎23．（1）由勾股定理，列方程可求AD=3．‎ ‎（2）过A作AG⊥EF于G，由勾股定理得CE=，‎ 由切割线定理得CF=，由△BCE∽△GAE，得AG=． S△AFC=．‎ ‎24．证明：（1）连结OD易得∠EDA=45°，∠ODA=45°，‎ ‎∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，∴直线ED是⊙O的切线 ‎ （2）作OM⊥AB于M，∴M为AB中点，‎ ‎ ∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴=2，∴EF=2FO.‎ ‎25.‎ ‎26.‎ ‎27.证明：∵ DE与⊙O相切， ‎ ‎∴ ∠C＝∠1， ‎ C ‎∵ BD∥CA，‎ B ‎·‎ ‎∴ ∠2＝∠3 ……6分 ‎3‎ O ‎∴ △ABC∽△BDA． ……9分 ‎2‎ ‎1‎ E D A ‎∴ ． ……12分 ‎∴ AB·DA＝BC·BD． ‎ ‎28. 【答案】‎ ‎29. （1）由题意得B（3，1）．‎ 若直线经过点A（3，0）时，则b＝‎ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝‎ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，‎ 图1‎ ‎ 此时E（2b，0）‎ ‎∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2‎ 图2‎ 此时E（3，），D（2b－2，1）‎ ‎∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )‎ ‎＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝‎ ‎∴‎ ‎（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！‎ 图3‎ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．‎ 过点D作DH⊥OA，垂足为H，‎ 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，‎ 设菱形DNEM 的边长为a，‎ 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴‎ ‎∴S四边形DNEM＝NE·DH＝‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ ‎30.证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.‎ ‎∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.‎ ‎∴CG⊥AD.∴∠AEB=∠CGD=90°.‎ ‎∵AE=CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG.‎ ‎∴BE=DG. 3分 ‎⑵当BC=AB时，四边形ABFC是菱形.‎ ‎∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形.‎ ‎∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB.‎ ‎∵BE=CF，BC=AB，∴EF=AB.‎ ‎∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形 ‎31.证明：⑴∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°‎ 又∵ME⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM＝ME，∠AMN＝∠EMN 又∵MN＝MN，∴△△ANM≌△ENM． 3分 ‎⑵∵AB 2＝AF·AC，∴＝‎ 又∵∠BAC＝∠FAB＝90°，∴△ABF∽△ACB ‎∴∠ABF＝∠C，∴∠FBC＝∠ABC＋∠ABF＝∠ABC＋∠C＝90°‎ ‎∴FB是⊙O的切线． 6分 ‎⑶由⑴得AN＝EN，AM＝EM，∠AMN＝EMN 又∵AN∥ME，∴∠ANM＝∠EMN ‎∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM ‎∴AM＝ME＝EN＝AN ‎∴四边形AMEN是菱形……………………………………………………………………7分 ‎∵cos∠ABD＝，∠ADB＝90°，∴＝‎ 设BD＝3x，则AB＝5x，由勾股定理，得 AD＝＝4x，而AD＝12，∴x＝3‎ ‎∴BD＝9，AB＝15． 8分 ‎∵MB平分∠AME，∴BE＝AB＝15，∴DE＝BE－BD＝6．‎ ‎∵ND∥ME，∴∠BND＝∠BME 又∵∠NBD＝∠MBE，∴△BND∽△BME，∴＝ …………………………10分 设ME＝x，则ND＝12－x ‎∴＝，解得x = ……………………………………………………………11分 ‎∴S ＝ME·DE＝×6＝45………………………………………………………………12分 ‎32.（1）证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA，∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE1＝OF1，又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时，∠AOE1＝∠COF1，∴△OAE1≌△OCF1；‎ ‎（2）存在，∵OE⊥OF，过点F与OE平行的直线有且只有一条，并且与OF垂直，又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，则点F与OF垂直的直线必是⊙O的切线，又点C为⊙O外一点，过点C与⊙O相切的直线只有2条，不妨设为CF1和CF2，此时，E点分别在E1和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2，点切点F1在第二象限时，点E1在第一象限，在Rt△CF2O中，OC＝4，OF1＝2，cos∠COF1＝，∴∠COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°，∴点E1的横坐标为2cos60°＝1，点E1的纵坐标为2sin60°＝，∴E1的坐标为（1，），当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限，同理可求E2（1，－），∴三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，此时点E的坐标分别为E1（1， 或者E2（1，－）．‎