高考数学专题复习练习：考点规范练14

高考数学专题复习练习：考点规范练14

考点规范练14　导数的概念及运算 ‎　考点规范练B册第8页　 ‎ 基础巩固 ‎1.已知函数f(x)=‎3‎x+1,则limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎Δx的值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.0‎ 答案A 解析limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎Δx=-‎limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎‎-Δx ‎=-f'(1)=-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎-‎‎2‎‎3‎=-‎1‎‎3‎.‎ ‎2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(　　)‎ A.e B.-e C.‎1‎e D.-‎‎1‎e 答案C 解析由题意可得y=ln x的定义域为(0,+∞),且y'=‎1‎x.‎ 设切点为(x0,ln x0),则切线方程为y-ln x0=‎1‎x‎0‎(x-x0).‎ 因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为‎1‎e.‎ ‎3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是(　　)‎ A.x+y+1=0 B.x+y-1=0‎ C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0‎ 答案B 解析由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)上的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).‎ 因为y'=-2x+1,所以y'|x=1=-1,‎ 故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.‎ ‎4.‎ 已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=(　　)‎ A.-1 B.0‎ C.2 D.4‎ 答案B 解析由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-‎1‎‎3‎,故f'(3)=-‎1‎‎3‎.‎ ‎∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),‎ ‎∴g'(3)=f(3)+3f'(3).‎ 又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×‎-‎‎1‎‎3‎=0.‎ ‎5.(2016河南郑州二模)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为(　　)‎ A.(1,3) B.(-1,3)‎ C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)‎ 答案C 解析∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.‎ 设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,‎ 故P(1,3)或(-1,3).‎ 经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.‎ ‎6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于(　　)‎ A.-8 B.-6 C.-1 D.5‎ 答案A 解析由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.‎ ‎∵y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.‎ 将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,‎ 即ab=(-2)3=-8.故选A.‎ ‎7.(2016山东,文10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3‎ 答案A 解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2),若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.‎ A项,f'(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;‎ B项,f'(x)=‎1‎x(x>0),显然k1·k2=‎1‎x‎1‎‎·‎‎1‎x‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T;‎ C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex‎1‎‎·‎ex‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T;‎ D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x‎1‎‎2‎×3x‎2‎‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T.‎ 综上,选A.‎ ‎8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+‎15‎‎4‎x-9都相切,则a等于(　　)‎ A.-1或-‎25‎‎64‎ B.-1或‎21‎‎4‎ C.-‎7‎‎4‎或-‎25‎‎64‎ D.-‎7‎‎4‎或7‎ 答案A 解析因为y=x3,所以y'=3x2.‎ 设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x‎0‎‎3‎),‎ 则在该点处的切线斜率为k=3x‎0‎‎2‎,所以切线方程为y-x‎0‎‎3‎=3x‎0‎‎2‎(x-x0),即y=3x‎0‎‎2‎x-2x‎0‎‎3‎.‎ 又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=‎3‎‎2‎.‎ 当x0=0时,由y=0与y=ax2+‎15‎‎4‎x-9相切,可得a=-‎25‎‎64‎;‎ 当x0=‎3‎‎2‎时,由y=‎27‎‎4‎x-‎27‎‎4‎与y=ax2+‎15‎‎4‎x-9相切,可得a=-1.‎ ‎9.已知函数f(x)=‎(x+1‎)‎‎2‎+sinxx‎2‎‎+1‎,其导函数记为f'(x),则f(2 016)+f'(2 016)+f(-2 016)-f'(-2 016)=　　　　　.〚导学号74920448〛 ‎ 答案2‎ 解析∵f(x)=1+‎2x+sinxx‎2‎‎+1‎,‎ ‎∴f'(x)=‎2x‎2‎+2+x‎2‎cosx+cosx-4x‎2‎-2xsinx‎(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎,‎ 可知f'(x)是偶函数,‎ ‎∴f'(2 016)-f'(-2 016)=0.‎ 又f(2 016)+f(-2 016)‎ ‎=‎‎(2 016+1‎)‎‎2‎+sin2 016‎‎2 01‎6‎‎2‎+1‎‎+‎‎(1-2 016‎)‎‎2‎+sin(-2 016)‎‎(-2 016‎)‎‎2‎+1‎ ‎=‎2(2 01‎6‎‎2‎+1)‎‎2 01‎6‎‎2‎+1‎=2,‎ ‎∴f(2 016)+f'(2 016)+f(-2 016)-f'(-2 016)=2.‎ ‎10.已知直线ax-by-3=0与f(x)=xex在点P(1,e)处的切线互相垂直,则ab=　　　　　. ‎ 答案-‎‎1‎‎2e 解析对函数f(x)=xex求导可得f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex(x+1),则函数f(x)=xex在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f'(1)=e1×(1+1)=2e.又直线ax-by-3=0与切线垂直,则有ab=-‎1‎‎2e.‎ ‎11.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎2‎log2e 解析∵y'=‎1‎xln2‎,∴k=‎1‎ln2‎,‎ ‎∴切线方程为y=‎1‎ln2‎(x-1),‎ ‎∴所围三角形的面积为S△=‎1‎‎2‎×1×‎1‎ln2‎‎=‎1‎‎2ln2‎=‎‎1‎‎2‎log2e.‎ ‎12.若函数f(x)=‎1‎‎2‎x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. ‎ 答案[2,+∞)‎ 解析∵f(x)=‎1‎‎2‎x2-ax+ln x,∴f'(x)=x-a+‎1‎x.‎ ‎∵f(x)存在垂直于y轴的切线,‎ ‎∴f'(x)存在零点,∴x+‎1‎x-a=0有解,‎ ‎∴a=x+‎1‎x≥2(x>0).‎ 能力提升 ‎13.‎ 函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　)‎ 答案D 解析由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ 说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A,C.‎ 又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,‎ 说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.‎ ‎14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=‎1‎‎3‎x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.-‎‎2‎‎3‎ C.‎7‎‎3‎ D.-‎‎1‎‎3‎或‎5‎‎3‎ 答案D 解析∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,‎ ‎∴f'(x)的图象开口向上,故②④排除.若f'(x)的图象为①,‎ 则a=0,f(-1)=‎5‎‎3‎;‎ 若f'(x)的图象为③,则a2-1=0.‎ 又对称轴x=-a>0,∴a=-1,‎ ‎∴f(-1)=-‎1‎‎3‎.‎ ‎15.(2016四川,文10)设直线l1,l2分别是函数f(x)=‎-lnx,01‎图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交 于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是(　　)‎ A.(0,1) B.(0,2)‎ C.(0,+∞) D.(1,+∞)〚导学号74920449〛‎ 答案A 解析由题意得P1,P2分别位于两段函数的图象上.‎ 设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x1>1,01,∴S△PAB=‎1‎‎2‎|yA-yB|·|xP|‎ ‎=‎2‎x‎1‎‎1+‎x‎1‎‎2‎‎<‎‎1+‎x‎1‎‎2‎‎1+‎x‎1‎‎2‎=1.‎ ‎∴0

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