陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考文科数学试题（B卷） Word版含解析

陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考文科数学试题（B卷） Word版含解析

‎2020届高三年级数学(文科)试题 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若集合，集合，则下列各式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项.‎ ‎【详解】，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系.‎ ‎2. 若，则所对应的的象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据，利用复数的模和除法运算求得复数，再利用复数的几何意义求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎∴，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题.‎ - 21 -‎ ‎3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 最低气温与最高气温为正相关 B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温 C. 最低气温低于的月份有4个 D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：的数据的折线图，得最低气温低于的月份有3个．‎ ‎【详解】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：的数据的折线图，得：‎ 在中，最低气温与最高气温为正相关，故正确；‎ 在中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故正确；‎ 在中，最低气温低于的月份有3个，故错误．‎ 在中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故正确；‎ 故选：． ‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．‎ - 21 -‎ ‎4. 如果消息发生的概率为，那么消息所含的信息量为，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ）‎ A. 王教授在第4排 B. 王教授在第4排第5列 C. 王教授在第5列 D. 王教授在某一排 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 信息量最大时，最小，因为王教授在第4排第5列发生的概率最小，所以选B.‎ ‎5. 函数的图像的大致形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 21 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.‎ ‎【详解】根据 ‎，‎ 是减函数，是增函数.‎ 在上单调递减，在上单调递增 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎6. 在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　)‎ A. 2 B. 2‎ C. 4 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造△PCM，根据面面垂直以及线面垂直的性质，△PCM是直角三角形，根据点到直线的垂线段最短，当M是AB的中点时，CM的长最小，此时PM的长最小.‎ ‎【详解】如图，连接CM，‎ - 21 -‎ 则由题意PC⊥平面ABC，‎ 可得PC⊥CM，所以PM＝ ，‎ 要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可.‎ 在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，‎ 此时有CM= ‎ 所以PM的最小值为 ‎【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质，考查了点到直线的距离中垂线段最短；已知面面垂直时，一般先从现有的线段中寻找平面的垂线，若图中不存在，再作辅助线.‎ ‎7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝ .若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　　)‎ A. B. 2 C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由正弦定理得，且，代入面积公式得.‎ 点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论.‎ - 21 -‎ ‎8. 如果，那么的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据，求得的取值范围，进而求得的取值范围即可.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数相关不等式，考查了绝对值不等式，同时考查了三角函数的值域，需要一定的计算能力，属于中档题.‎ ‎9. 已知双曲线的左焦点为，左、右顶点为、，为双曲线上任意一点，则分别以线段，为直径的两个圆的位置关系为（ ）‎ A. 外切或外离 B. 相交或内切 C. 内含或外离 D. 内切或外切 ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 设线段的中点为，，分在双曲线的左支和在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.‎ ‎【详解】设线段的中点为，，则：‎ ‎①当在双曲线的左支时，如图所示：‎ ‎，∴两圆外切；‎ ‎②当在双曲线的右支时，如图所示：‎ ‎，∴两圆内切；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎10. 设点､分别为椭圆：的左､右焦点，点为椭圆 - 21 -‎ 上任意一点，若使得成立的点的个数是（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 0 D. 2或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出焦点坐标，由已知可得点在以为圆心，半径为的圆上，进而选出正确答案.‎ ‎【详解】由题意知，，∵，‎ ‎∴点在以为圆心，半径为的圆上，∵，‎ ‎∴使得成立的点的个数是4个，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题.‎ ‎11. 若函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，即可得有两个不同正根，进而可得关于参数的不等式，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意：有两个不同正根，∴，‎ 即：，‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ - 21 -‎ 本题考查了函数导数的求解，考查了已知极值情况求参数的取值范围，考查了转化的思想.本题的关键是由极值情况分析出一元二次方程根的情况.‎ ‎12. 如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 正方形的边长为2，可得对角线的一半为，设正四棱锥边长为，高为，可得，正四棱锥体积最大时，求解的值，可得正四棱锥边长和高的值，即可求解正四棱锥外接球的表面积．‎ ‎【详解】解：由题意，正方形的边长为2，可得对角线的一半为，折成正四棱锥后，‎ 设正四棱锥边长为，高为，可得：，．‎ 正四棱锥体积最大时，即．‎ 由，‎ 则，‎ 令，可得，‎ 即当体积取得最大值；‎ ‎．‎ 正四棱锥底面正方形外接圆．‎ - 21 -‎ 正四棱锥外接球的半径，可得 解得：‎ 正四棱锥外接球的表面积．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．‎ 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若函数为奇函数，则______.‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数，由为偶函数求解.‎ ‎【详解】∵函数为奇函数，‎ ‎∴函数为偶函数，‎ ‎∴.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题.‎ ‎14. 设为单位向量，且，若以向量为邻边的三角形的面积为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】两端平方得，‎ 又，‎ 得,即夹角为,所以，‎ - 21 -‎ 即，又 ，‎ 所以.‎ ‎15. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行､三列､两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.‎ 一般地，将连续的正整数1，2，…，填入个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上数的和为，例如，，，那么______.‎ ‎【答案】111‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合等差数列的求和公式求出的大小，进而可求出.‎ ‎【详解】由题意：，∴.‎ 故答案为:111.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列前项和的求解，属于基础题.‎ ‎16. 设当时，函数取得最大值，则______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式先对函数化简，可得，其中，‎ 由题意得，得，从而可求出的值 ‎【详解】解：‎ - 21 -‎ ‎ 令，则，‎ 因为当时，函数取得最大值，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以 所以 故答案为：，‎ ‎【点睛】此题考查辅助角公式的应用，属于基础题 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的前99的项.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由和两式相减可得 ‎，再结合，可得是等差数列，即可求出的通项公式.‎ ‎（2）由（1）可以求出，即得 通项，再利用奇偶并项求和即可求.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ ‎∴ ，即：，‎ ‎∵，∴，‎ - 21 -‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴；‎ ‎（2），∴，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了由递推关系式求通项公式，奇偶并项求和，属于中档题 ‎18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵与刍童的组合体中，.台体体积公式：，其中､分别为台体上､下底面面积，为台体高.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，，三棱锥的体积为，求该组合体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面 - 21 -‎ MAC． （2）设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）由题可知是底面为直角三角形的直棱柱，平面 , 又，,平面，‎ ‎ , 又，四边形为正方形，,‎ 又,平面，平面.‎ ‎（2）设刍童的高为，则三棱锥体积 ‎，所以,故该组合体的体积为 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥体积的求解，考查了几何体体积的求解.本题的第二问关键是求出刍童的高.‎ ‎19. “难度系数”反映试题难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小.“难度系数”的计算公式为，其中为难度系数，为样本平均失分，为试卷总分(一般为100分或150分).某校高三年级的杨老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高三年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：‎ 试卷序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预估难度系数 ‎0.7‎ ‎0.64‎ ‎0.6‎ ‎0.6‎ ‎0.55‎ 测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：‎ 试卷序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测平均分 ‎102‎ ‎99‎ ‎93‎ ‎93‎ ‎87‎ - 21 -‎ ‎（1）根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；‎ ‎（2）从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，求抽取2套试卷中恰有一套学生的平均分超过96分的概率；‎ ‎（3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设为第套试卷的实测难度系数，并定义统计量，若，则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理，否则认为不合理，试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）本专题的5套试卷对难度系数的预估合理.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题目已知条件即可求出平均分.‎ ‎(2)列举出5套试卷中随机抽取2套试卷的所有可能性，结合古典概型概率求解公式即可求出平均分超过96分的概率.‎ ‎(3)由已知数据和公式求出，进而可判断.‎ ‎【详解】（1）估计这480名学生第2套试卷的平均分的估计值为：；‎ ‎（2）5套试卷中随机抽取2套试卷，共有10种可能，分别是：‎ ‎，，，，，，，，，，‎ 恰有一套学生的平均分超过96分的有：，，，，，，‎ 共6种，∴；‎ ‎（3）‎ ‎，故本专题的5套试卷对难度系数的预估合理.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，考查了数据的处理，属于基础题.‎ ‎20. 已知点是抛物线的焦点，过的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ - 21 -‎ ‎（2）是抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，（，是切点），两切线分别交轴于，，直线交抛物线对称轴于点，求证四边形是平行四边形.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设过的弦所在直线方程为：，其与抛物线交于，证明，则可求解.‎ ‎（2）设，，根据切线分别表示出直线、的方程，则、的坐标能表示出，联立直线、的方程，则的坐标可表示出，表示出直线的方程，则的坐标可表示出，最后说明即可.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 设过的弦所在直线方程为：，其与抛物线交于，‎ 联立，即，，‎ 所以，‎ 不妨设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴此抛物线的方程为：；‎ - 21 -‎ ‎（2）设，，，‎ ‎∴直线的方程为：，‎ 即：；令，所以，‎ 同理，直线的方程为：；令，所以，‎ 直线的方程为：，即：；‎ 令，所以，‎ ‎，所以，‎ ‎，，所以，‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，证明.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数导数，令，再利用导数求得函数 - 21 -‎ 的单调性与最值，即可求解；‎ ‎（2）由（1）可知当时，当时，，转化为，进而转化为，构造新函数，利用导数即可求解.‎ ‎【详解】（1）由条件得，令，则.‎ ‎①当时，在上，，单调递增 ‎∴，即，‎ ‎∴在上为增函数，∴∴时满足条件.‎ ‎②当时，令 解得，在上，，单调递减，‎ ‎∴当时，有，即，‎ 在上为减函数，∴，不合题意.‎ 综上实数的取值范围为．‎ ‎（2）由（1）得，当，时，，即，‎ 要证不等式，只需证明，只需证明，‎ 只需证，‎ 设，则，‎ ‎∴当时，恒成立，故在上单调递增，‎ 又，∴恒成立．∴原不等式成立．‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，圆：，以为极点、轴非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线：与曲线交于、两点，其中，.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）本题首先可将圆直角坐标方程转化为，然后通过直角坐标方程与极坐标方程的互化即可得出结果；‎ ‎（2）本题首先可根据得出，然后联立圆的极坐标方程以及得出，最后通过韦达定理以及即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为圆的直角坐标方程为，即，‎ 所以圆的极坐标方程为：；‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 联立，可得，‎ 则，，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，可通过 - 21 -‎ 以及进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查韦达定理的应用，是中档题.‎ ‎23. 已知，，且.‎ ‎(1)若恒成立，求的取值范围；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得+的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；‎ ‎（2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．‎ 详解：（1）设 由，得.‎ 故 .‎ 所以.‎ 当时，，得；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故；‎ 综上，.‎ ‎（2）‎ - 21 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ - 21 -‎