数学高考二轮考点专题突破检测数学思想方法专题含详细答案
专题达标检测
一、选择题
1．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么 ( )
A．x＋y<0 B．x＋y>0
C．xy<0 D．xy>0
解析：设f(x)＝2x－3－x.
因为2x，－3－x均为R上的增函数，所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函数
又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，
即f(x)>f(－y)，
∴x>－y，即x＋y>0.选B.
答案：B
2．设函数f(x)＝x3＋sin x，若0≤θ≤时，f(mcos θ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取
值范围是
( )
A．(0,1) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D.
解析：易知f(x)为奇函数、增函数，f(mcos θ)＋f(1－m)>0，即f(mcos θ)>f(m－1)，
∴mcos θ>m－1，而0≤θ≤时，cos θ∈[0,1]，
∴得m<1.
答案：C
3．方程x2－x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是 ( )
A．m≤－ B．－
1时，如图，要使在(1,2)上，
f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，
∴11且n∈N*)，则f3(x)的表达式
为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝f(x)和fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1且n∈N*)，得
f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f2[f2(x)]＝＝，…，由此猜想
fn(x)＝(n∈N*)．
答案：
8．若方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)只有一个根，则a的取值范围是________．
解析：
原方程等价于
即，
构造函数y＝－x2＋5x－3(1时，原方程无解．
因此，a的取值范围是14x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围为
________．
解析：∵x2＋px>4x＋p－3，
∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0.
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要，
∴x>3或x<－1.
答案：x>3或x<－1
三、解答题
11．若函数f(x)＝a＋bcos x＋csin x的图象经过点(0,1)和，且当x∈[0，]时，
－2≤f(x)≤2恒成立，试求a的取值范围
解：∵f(x)过(0,1)和，
∴f(0)＝a＋b＝1，f＝a＋c＝1，
即b＝c＝1－a.
∴f(x)＝a＋(1－a)(cos x＋sin x)
＝a＋(1－a)sin.
∵x∈，∴≤x＋≤π.
∴≤sin≤1.
f(x)的取值范围与1－a的正负有关系，从而讨论如下：
①当a≤1时，1≤f(x)≤a＋(1－a)．
∵－2≤f(x)≤2，
∴只要a＋(1－a)≤2
解得a≥－，∴－≤a≤1.
②当a>1时，a＋(1－a)≤f(x)≤1，
∵－2≤f(x)≤2，
只要a＋(1－a)≥－2，
解得a≤4＋3.∴10)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常
数．
(1)试确定a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
解：(1)由题意知f(1)＝－3－c，
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
又对f(x)求导得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)．
由题意f′(1)＝0，因此a＋4b＝0，解得a＝12.
(2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当01时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，
而f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
(3)由(2)知，f(x)在x＝1处取得极小值
f(1)＝－3－c，此极小值也是最小值
要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2.
即2c2－c－3≥0，从而(2c－3)(c＋1)≥0，
解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪.
13．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6ln x＋m.
(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；
(2)是否存在实数m使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.
当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；
当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.
综上，h(t)＝
(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数Φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵Φ(x)＝x2－8x＋6ln x＋m，
∴Φ′(x)＝2x－8＋＝
＝(x>0)
当x∈(0,1)时，Φ′(x)>0，Φ(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，Φ′(x)<0，Φ(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，Φ′(x)>0，Φ(x)是增函数；
当x＝1或x＝3时，Φ′(x)＝0.
∴Φ(x)极大值＝Φ(1)＝m－7，
Φ(x)极小值＝Φ(3)＝m＋6ln 3－15.
∵当x充分接近0时，Φ(x)<0，当x充分大时，Φ(x)>0
∴要使Φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即7
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