高考理数　导数与积分

高考理数　导数与积分

§3.1 　导数与积分 高考 理 数 ( 课标专用) 考点　导数的概念及其几何意义 1. (2018课标Ⅰ,5,5分)设函数 f ( x )= x 3 +( a -1) x 2 + ax .若 f ( x )为奇函数,则曲线 y = f ( x )在点(0,0)处的切线 方程为   (　　) A. y =-2 x 　    B. y =- x 　    C. y =2 x 　    D. y = x A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案      D 　本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. ∵ f ( x )= x 3 +( a -1) x 2 + ax 为奇函数,∴ a -1=0,解得 a =1,∴ f ( x )= x 3 + x ,∴ f '( x )=3 x 2 +1,∴ f '(0)=1,故曲线 y = f ( x )在点(0,0)处的切线方程为 y = x ,故选D. 解后反思 　求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切点. (2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点代入两者的解析式建 立方程组. (3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件. 2. (2014课标Ⅱ,8,5分,0.660)设曲线 y = ax -ln( x +1)在点(0,0)处的切线方程为 y =2 x ,则 a =   (　　) A.0　    B.1　    C.2　    D.3 答案      D      y '= a -   ,当 x =0时, y '= a -1=2,∴ a =3,故选D. 思路分析 　根据导数的几何意义得 y '| x =0 =2,由此可求得 a . 方法总结 　已知曲线在某点处的切线,求曲线方程中的参数时,常利用“切线的斜率等于曲线 所对应的函数在该点处的导数值”列方程求解. 3. (2018课标Ⅱ,13,5分)曲线 y =2ln( x +1)在点(0,0)处的切线方程为 　　　     . 答案      y =2 x 解析　 本题主要考查导数的几何意义. 因为 y '=   ,所以 y '| x =0 =2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为 y =2 x . 4. (2018课标Ⅲ,14,5分)曲线 y =( ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则 a = 　　　     . 答案 　-3 解析　 本题考查导数的综合应用. 设 f ( x )=( ax +1)e x ,则 f '( x )=( ax + a +1)e x ,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率 k = f '(0)= a +1=-2,解得 a =-3. 5. (2016课标Ⅲ,15,5分)已知 f ( x )为偶函数,当 x <0时, f ( x )=ln(- x )+3 x ,则曲线 y = f ( x )在点(1,-3)处的切 线方程是 　　　     . 答案      y =-2 x -1 解析　 令 x >0,则- x <0, f (- x )=ln x -3 x ,又 f (- x )= f ( x ), ∴ f ( x )=ln x -3 x ( x >0),则 f '( x )=   -3( x >0),∴ f '(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为 y +3=-2( x -1),即 y = -2 x -1. 思路分析 　根据函数 f ( x )是偶函数,求出 x >0时函数 f ( x )的解析式,根据导数的几何意义,用点斜 式求出切线方程. 6. (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线 y = kx + b 是曲线 y =ln x +2的切线,也是曲线 y =ln( x +1)的切线,则 b =      　　     . 答案 　1-ln 2 解析　 直线 y = kx + b 与曲线 y =ln x +2, y =ln( x +1)均相切,设切点分别为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),由 y =ln x +2得 y '=   ,由 y =ln( x +1)得 y '=   ,∴ k =   =   ,∴ x 1 =   , x 2 =   -1,∴ y 1 =-ln k +2, y 2 =-ln k .即 A   , B   ,∵ A 、 B 在直线 y = kx + b 上, ∴   ⇒   思路分析 　先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切 点在切线上列方程组,进而求解. 7. (2014课标Ⅰ,21,12分,0.244)设函数 f ( x )= a e x ln x +   ,曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程为 y =e( x -1)+2. (1)求 a , b ; (2)证明: f ( x )>1. 解析 　(1)函数 f ( x )的定义域为(0,+ ∞ ), f '( x )= a e x ln x +   e x -   e x -1 +   e x -1 . 由题意可得 f (1)=2, f '(1)=e.故 a =1, b =2. (2)由(1)知, f ( x )=e x ln x +   e x -1 ,从而 f ( x )>1等价于 x ln x > x e - x -   . 设函数 g ( x )= x ln x ,则 g '( x )=1+ln x . 所以当 x ∈   时, g '( x )<0;当 x ∈   时, g '( x )>0. 故 g ( x )在   上单调递减,在   上单调递增,从而 g ( x )在(0,+ ∞ )上的最小值为 g   =-   . 设函数 h ( x )= x e - x -   ,则 h '( x )=e - x (1- x ). 所以当 x ∈(0,1)时, h '( x )>0;当 x ∈(1,+ ∞ )时, h '( x )<0. 故 h ( x )在(0,1)上单调递增,在(1,+ ∞ )上单调递减,从而 h ( x )在(0,+ ∞ )上的最大值为 h (1)=-   . 综上,当 x >0时, g ( x )> h ( x ),即 f ( x )>1. 思路分析 　(1)利用导数的几何意义及切线过切点求 a , b 的值; (2)利用(1)得 f ( x )的解析式,将 f ( x )>1等价转化为 x ln x > x e - x -   ,构造函数 g ( x )= x ln x , h ( x )= x e - x -   ,再利 用导数分别求出 g ( x ) min , h ( x ) max ,进而得 g ( x )> h ( x ),从而证得原不等式成立. 方法总结 　证明不等式,可构造函数,转化为求解函数最值的问题. 考点一　导数的概念及其几何意义 1. (2016山东,10,5分)若函数 y = f ( x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直,则称 y = f ( x )具有T性质.下列函数中具有T性质的是   (　　) A. y =sin x 　    B. y =ln x 　    C. y =e x 　    D. y = x 3 B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      A 　设函数 y = f ( x )图象上的两点分别为( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ),且 x 1 ≠ x 2 ,则由题意知只需函数 y = f ( x ) 满足 f '( x 1 )· f '( x 2 )=-1即可. y = f ( x )=sin x 的导函数为 f '( x )=cos x ,则 f '(0)· f '(π)=-1,故函数 y =sin x 具有T 性质; y = f ( x )=ln x 的导函数为 f '( x )=   ,则 f '( x 1 )· f '( x 2 )=   >0,故函数 y =ln x 不具有T性质; y = f ( x )=e x 的导函数为 f '( x )=e x ,则 f '( x 1 )· f '( x 2 )=   >0,故函数 y =e x 不具有T性质; y = f ( x )= x 3 的导函数为 f '( x )=3 x 2 ,则 f '( x 1 )· f '( x 2 )=9    ≥ 0,故函数 y = x 3 不具有T性质.故选A. 2. (2014江西,13,5分)若曲线 y =e - x 上点 P 处的切线平行于直线2 x + y +1=0,则点 P 的坐标是 　　         . 答案 　(-ln 2,2) 解析 　令 f ( x )=e - x ,则 f '( x )=-e - x .设 P ( x 0 , y 0 ),则 f '( x 0 )=-   =-2,解得 x 0 =-ln 2,所以 y 0 =   =e ln 2 =2,所以点 P 的坐标为(-ln 2,2). 3. (2015陕西,15,5分)设曲线 y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线 y =   ( x >0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的 坐标为 　　　     . 答案 　(1,1) 解析 　∵函数 y =e x 的导函数为 y '=e x , ∴曲线 y =e x 在点(0,1)处的切线的斜率 k 1 =e 0 =1. 设 P ( x 0 , y 0 )( x 0 >0), ∵函数 y =   的导函数为 y '=-   , ∴曲线 y =   ( x >0)在点 P 处的切线的斜率 k 2 =-   , 由题意知 k 1 k 2 =-1,即1·   =-1, 解得   =1,又 x 0 >0, ∴ x 0 =1. 又∵点 P 在曲线 y =   ( x >0)上, ∴ y 0 =1,故点 P 的坐标为(1,1). 4. (2016北京,18,13分)设函数 f ( x )= x e a - x + bx ,曲线 y = f ( x )在点(2, f (2))处的切线方程为 y =(e-1) x +4. (1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x )的单调区间. 解析 　(1)因为 f ( x )= x e a - x + bx , 所以 f '( x )=(1- x )e a - x + b . 依题设,知   即   解得 a =2, b =e. (2)由(1)知 f ( x )= x e 2- x +e x . 由 f '( x )=e 2- x (1- x +e x -1 )及e 2- x >0知, f '( x )与1- x +e x -1 同号. 令 g ( x )=1- x +e x -1 ,则 g '( x )=-1+e x -1 . 所以,当 x ∈(- ∞ ,1)时, g '( x )<0, g ( x )在区间(- ∞ ,1)上单调递减; 当 x ∈(1,+ ∞ )时, g '( x )>0, g ( x )在区间(1,+ ∞ )上单调递增. 故 g (1)=1是 g ( x )在区间(- ∞ ,+ ∞ )上的最小值, 从而 g ( x )>0, x ∈(- ∞ ,+ ∞ ). 综上可知, f '( x )>0, x ∈(- ∞ ,+ ∞ ).故 f ( x )的单调递增区间为(- ∞ ,+ ∞ ). 考点二　定积分的运算及应用 1. (2014山东,6,5分)直线 y =4 x 与曲线 y = x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为   (　　) A.2   　    B.4   　    C.2　    D.4 答案      D 　由   得 x =0或 x =2或 x =-2(舍). ∴ S =   (4 x - x 3 )d x =       =4. 评析 　本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”. 2.(2014江西,8,5分)若 f ( x )= x 2 +2   (　　) A.-1　    B.-   　    C.   　    D.1 答案      B      令   m m m 3. (2014湖北,6,5分)若函数 f ( x ), g ( x )满足   f ( x ) g ( x )d x =0,则称 f ( x ), g ( x )为区间[-1,1]上的一组正交 函数.给出三组函数: ① f ( x )=sin   x , g ( x )=cos   x ;② f ( x )= x +1, g ( x )= x -1;③ f ( x )= x , g ( x )= x 2 . 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是   (　　) A.0　    B.1　    C.2　    D.3 答案      C     由①得 f ( x ) g ( x )=sin   x cos   x =   sin x ,是奇函数,所以   f ( x ) g ( x )d x =0,所以①为区间[-1, 1]上的正交函数;由②得 f ( x ) g ( x )= x 2 -1,所以   f ( x ) g ( x )d x =   ( x 2 -1)d x =       =-   ,所以②不 是区间[-1,1]上的正交函数;由③得 f ( x ) g ( x )= x 3 ,是奇函数,所以   f ( x ) g ( x )d x =0,所以③为区间[-1, 1]上的正交函数.故选C. 4. (2014湖南,9,5分)已知函数 f ( x )=sin( x - φ ),且   f ( x )d x =0,则函数 f ( x )的图象的一条对称轴是   (　　) A. x =   　    B. x =   　    C. x =   　    D. x =   答案      A 　由   f ( x )d x =   sin( x - φ )d x =-cos( x - φ )     =-cos   +cos φ =0, 得   cos φ =   sin φ , 从而有tan φ =   ,则 φ = n π+   , n ∈Z, 从而有 f ( x )=sin   =(-1) n sin   , n ∈Z. 令 x -   = k π+   , k ∈Z,得 x = k π+   , k ∈Z,即 f ( x )的图象的对称轴是 x = k π+   , k ∈Z,故选A. 5. (2015湖南,11,5分)   d x = 　　　     . 答案 　0 解析        d x =       =(2-2)-0=0. 6. (2015天津,11,5分)曲线 y = x 2 与直线 y = x 所围成的封闭图形的面积为 　　　     . 答案        解析 　曲线 y = x 2 与直线 y = x 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由   解得 x =0或 x =1,所 以 S =     ( x - x 2 )d x =       =   -   =   .   考点一　导数的概念及其几何意义 1. (2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v ( t )=7-3 t +   ( t 的单位:s, v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是   (　　) A.1+25ln 5　    B.8+25ln   C.4+25ln 5　    D.4+50ln 2 C组    教师专用题组 答案      C 　由 v ( t )=0得 t =4.故刹车距离为 s =     v ( t )d t =       d t =       =4+25ln 5(m). 2. (2012课标,12,5分)设点 P 在曲线 y =   e x 上,点 Q 在曲线 y =ln(2 x )上,则| PQ |的最小值为   (　　) A.1-ln 2　    B.   (1-ln 2) C.1+ln 2　    D.   (1+ln 2) 答案      B 　由 y =   e x 得e x =2 y ,所以 x =ln 2 y ,所以 y =   e x 的反函数为 y =ln 2 x ,所以 y =   e x 与 y =ln 2 x 的 图象关于直线 y = x 对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切 点之间的距离,令(ln 2 x )'=   =1,解得 x 1 =1,令   '=1,解得 x 2 =ln 2,所以两点为(1,ln 2)和(ln 2,1), 故 d =   (1-ln 2),故选B. 3. (2013江西,13,5分)设函数 f ( x )在(0,+ ∞ )内可导,且 f (e x )= x +e x ,则 f '(1)= 　　　     . 答案　 2 解析 　令e x = t ,则 f ( t )=ln t + t ,所以 f ( x )=ln x + x ( x >0),所以 f '( x )=   +1,所以 f '(1)=1+1=2. 4. (2013北京,18,13分)设 L 为曲线 C : y =   在点(1,0)处的切线. (1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 解析　 (1)设 f ( x )=   ,则 f '( x )=   . 所以 f '(1)=1.所以 L 的方程为 y = x -1. (2)证明:令 g ( x )= x -1- f ( x ),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g ( x )>0( ∀ x >0, x ≠ 1). g ( x )满足 g (1)=0,且 g '( x )=1- f '( x )=   . 当0< x <1时, x 2 -1<0,ln x <0,所以 g '( x )<0,故 g ( x )单调递减; 当 x >1时, x 2 -1>0,ln x >0,所以 g '( x )>0,故 g ( x )单调递增. 所以, g ( x )> g (1)=0( ∀ x >0, x ≠ 1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 考点二　定积分的运算及应用 1. (2014陕西,3,5分)定积分   (2 x +e x )d x 的值为   (　　) A.e+2　    B.e+1　    C.e　　D.e-1 答案    C        (2 x +e x )d x =( x 2 +e x )     =1+e 1 -1=e,故选C. 2. (2013江西,6,5分)若 S 1 =   (　　) A. S 1 < S 2 < S 3 　    B. S 2 < S 1 < S 3 　    C. S 2 < S 3 < S 1 　    D. S 3 < S 2 < S 1 答案    B      S 1 =   x 3     =   , S 2 =ln x     =ln 2, S 3 =e x     =e 2 -e. ∵ln 2<1<   ,e 2 -e=e(e-1)>e>   , 故 S 2 < S 1 < S 3 ,选B. 3. (2011课标,9,5分)由曲线 y =   ,直线 y = x -2及 y 轴所围成的图形的面积为   (　　) A.   　    B.4　    C.   　    D.6 答案      C 　如图阴影部分面积即为所求,求得曲线 y =   与直线 y = x -2的交点为 A (4,2),   ∴ S 阴 =   =   . 错因分析　 由被积函数求原函数时出错是致错的主要原因. 评析     本题考查定积分运算及定积分的几何意义,属容易题. 4. (2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物 线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 　　　     .   答案 　1.2 解析 　建立直角坐标系,如图. 过 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E ,∵∠ BAE =45 ° , BE =2,∴ AE =2,又 OE =5,∴ A (3,0), B (5,2).设抛物线的方程为 x 2 =2 py ( p >0),将点 B 的坐标代入,得 p =   ,故抛物线的方程为 y =   x 2 .从而曲边三角形 OEB 的面积 为     x 2 d x =       =   . 又 S △ ABE =   × 2 × 2=2, 故曲边三角形 OAB 的面积为   , 从而图中阴影部分的面积为   . 又易知等腰梯形 ABCD 的面积为   × 2=16, 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为   =1.2 . 5. (2013湖南,12,5分)若   x 2 d x =9,则常数 T 的值为 　　     . 答案 　3 解析          x 2 d x =       =   =9,解得 T =3. 6. (2013福建,15,5分)当 x ∈R,| x |<1时,有如下表达式: 1+ x + x 2 + … + x n + … =   . 两边同时积分得:   答案          解析        +   x +   x 2 + … +   x n =(1+ x ) n ,两边同时积分得:   +     x d x +     x 2 d x + … +     x n d x =   (1+ x ) n d x ,从而得到如下等式:   ×   +     ×   +     ×   + … +     ×   =     . 考点一　导数的概念及其几何意义 1. (2018福建福州八县联考,11)已知函数 f ( x )的导函数是 f '( x ),且满足 f ( x )=2 xf '(1)+ln   ,则 f (1)=   (　　) A.-e　　B.2　    C.-2　    D.e 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案      B 　由已知得 f '( x )=2 f '(1)-   ,令 x =1得 f '(1)=2 f '(1)-1,解得 f '(1)=1,则 f (1)=2 f '(1)=2. 2. (2018广东深圳二模,7)设函数 f ( x )= x +   + b ,若曲线 y = f ( x )在点( a , f ( a ))处的切线经过坐标原点, 则 ab =   (　　) A.1　    B.0　    C.-1　    D.-2 答案      D 　由题意可得, f ( a )= a +   + b , f '( x )=1-   ,所以 f '( a )=1-   ,故切线方程是 y - a -   - b =   ( x - a ),将(0,0)代入得- a -   - b =   (- a ),故 b =-   ,故 ab =-2,故选D. 3. (2017山西名校联考,3)若函数 f ( x )的导函数的图象关于 y 轴对称,则 f ( x )的解析式可能为   (    　) A. f ( x )=3cos x 　    B. f ( x )= x 3 + x 2 C. f ( x )=1+sin 2 x 　    D. f ( x )=e x + x 答案      C     A选项中, f '( x )=-3sin x ,其图象不关于 y 轴对称,排除A选项;B选项中, f '( x )=3 x 2 +2 x ,其 图象的对称轴为 x =-   ,排除B选项;C选项中, f '( x )=2cos 2 x ,其图象关于 y 轴对称;D选项中, f '( x )= e x +1,其图象不关于 y 轴对称. 4. (2016安徽安庆二模,7)给出定义:设 f '( x )是函数 y = f ( x )的导函数, f ″( x )是函数 f '( x )的导函数, 若方程 f ″( x )=0有实数解 x 0 ,则称点( x 0 , f ( x 0 ))为函数 y = f ( x )的“拐点”.已知函数 f ( x )=3 x +4sin x - cos x 的拐点是 M ( x 0 , f ( x 0 )),则点 M   (　　) A.在直线 y =-3 x 上　    B.在直线 y =3 x 上 C.在直线 y =-4 x 上　    D.在直线 y =4 x 上 答案      B      f '( x )=3+4cos x +sin x , f ″( x )=-4sin x +cos x ,结合题意知4sin x 0 -cos x 0 =0, 所以 f ( x 0 )=3 x 0 ,故 M ( x 0 , f ( x 0 ))在直线 y =3 x 上.故选B. 5. (2018安徽淮南一模,21)已知函数 f ( x )= x 2 -ln x . (1)求函数 f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (2)在函数 f ( x )= x 2 -ln x 的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横 坐标都在区间   上?若存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由. 解析 　(1)由题意可得 f (1)=1,且 f '( x )=2 x -   , f '(1)=2-1=1,则所求切线方程为 y -1=1 × ( x -1),即 y = x . (2)假设存在两点满足题意,且设切点坐标为( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ),则 x 1 , x 2 ∈   ,不妨设 x 1 < x 2 ,结合题意 和(1)中求得的导函数解析式可得     =-1, 又函数 f '( x )=2 x -   在区间   上单调递增,函数的值域为[-1,1], 故-1 ≤ 2 x 1 -   <2 x 2 -   ≤ 1,据此有   解得 x 1 =   , x 2 =1   , 故存在两点   ,(1,1)满足题意. 考点二　定积分的运算及应用 1. (2018安徽淮南一模,4)求曲线 y = x 2 与 y = x 所围成的封闭图形的面积 S ,正确的是   (　　) A. S =   ( x 2 - x )d x 　    B. S =   ( x - x 2 )d x C. S =   ( y 2 - y )d y 　    D. S =   ( y -   )d y 答案    B 　两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故对 x 积分时,积分上限是1,下限是0,由于在[0, 1]上, x ≥ x 2 ,故曲线 y = x 2 与 y = x 所围成的封闭图形的面积 S =   ( x - x 2 )d x (同理可知对 y 积分时, S =   (   - y )d y ). 2. (2018湖北孝感模拟,5)已知     d x =   ,则 m 的值为(　　) A.   　    B.   　    C.-   　    D.-1 答案    B     由微积分基本定理得     d x =(ln x - mx )   = m +1- m e,结合题意得 m +1- m e=   ,解 得 m =   .故选B. 3. (2018河南郑州一模,6)汽车以 v =(3 t +2)m/s做变速运动时,在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路 程是   (　　) A.5 m　　B.   m　　C.6 m　　D.   m 答案      D 　根据题意,汽车以 v =(3 t +2)m/s做变速运动时,汽车在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的 路程 s =   (3 t +2)d t =       =   m,故选D. 4. (2017河南百校联盟4月模拟,7)已知   +   =2   ,若 φ ∈   ,则   =   (　　) A.   　    B.-   　    C.   　    D.-   答案      C 　由   +   =2   ⇒ sin φ +cos φ =2   sin φ ·cos φ ⇒   sin   =   sin 2 φ ,因为 φ ∈   ,所以 φ =   ,所以tan φ =1,故   =   =       =   . 5. (2016山东威海一模,11)曲线 y =sin x (0 ≤ x ≤ π)与 x 轴围成的封闭区域的面积为 　　　     . 答案 　2 解析 　由题意知封闭区域的面积 S =   sin x d x =-cos x   =-cos π-(-cos 0)=1-(-1)=2. 6. (2017江西南城一中、高安中学等9校联考,14)   (2 x +   )d x = 　　　     . 答案　 1+   解析          d x 表示以原点为圆心,以1为半径的圆的面积的   ,∴     d x =   . 又∵   2 x d x = x 2   =1, ∴   (2 x +   )d x =   2 x d x +     d x =1+   . 一、选择题(每题5分,共20分) 1. (2018湖南株洲二模,9)设函数 y = x sin x +cos x 的图象在点( t , f ( t ))处的切线斜率为 g ( t ),则函数 y = g ( t )图象的一部分可以是   (　　)   B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间: 25 分钟　分值: 3 5分) 答案      A 　由 y = x sin x +cos x 可得 y '=sin x + x cos x -sin x = x cos x .则 g ( t )= t cos t , g ( t )是奇函数,排除选 项B,D;当 x ∈   时, y >0,排除选项C.故选A. 思路分析 　求出函数的导函数,得到切线斜率的解析式,然后判断图象. 易错警示 　求导时注意不要计算错误. 2. (2018安徽淮北一模,12)若存在实数 x 使得关于 x 的不等式(e x - a ) 2 + x 2 -2 ax + a 2 ≤   成立,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      A 　存在实数 x 使不等式(e x - a ) 2 + x 2 -2 ax + a 2 ≤   成立,即[(e x - a ) 2 + x 2 -2 ax + a 2 ] min ≤   ,易知(e x - a ) 2 + x 2 -2 ax + a 2 即为(e x - a ) 2 +( x - a ) 2 ,表示点( x ,e x )与( a , a )的距离的平方.由( a , a )在直线 l : y = x 上,设与直线 l 平行且与曲线 y =e x 相切的直线的切点为( m , n ),可得切线的斜率为e m =1,解得 m =0,∴ n =1,切点为 (0,1),由切点到直线 l 的距离为直线 l 上的点与曲线 y =e x 上的点之间的距离的最小值,可得(0- a ) 2 + (1- a ) 2 ≤   ,解得 a =   ,则 a 的取值集合为   .故选A. 解题关键 　将(e x - a ) 2 + x 2 -2 ax + a 2 转化为(e x - a ) 2 +( x - a ) 2 ,得其表示点( x ,e x )与( a , a )的距离的平方是求 解本题的关键. 3. (2018安徽江南十校4月联考,10)若曲线 C 1 : y = x 2 与曲线 C 2 : y =   ( a >0)存在公共切线,则 a 的取值 范围为   (　　) A.(0,1)　    B.   　    C.   　    D.   答案      D 　曲线 y = x 2 在点( m , m 2 )的切线斜率为2 m ,曲线 y =   ( a >0)在点   的切线斜率为   e n ,如果两条曲线存在公共切线,那么2 m =   e n .又由直线的斜率公式得到2 m =   ,则有 m =2 n -2,则由题意知4 n -4=   e n 有解,即 y =4 x -4, y =   e x 的图象有交点.若直线 y =4 x -4与曲线 y =   e x 相切,设 切点为( s , t ),则   e s =4,且 t =4 s -4=   e s ,可得切点为(2,4),此时   =   ,故要使满足题意,需   ≤   ,则 a ≥   ,故 a 的取值范围是 a ≥   .故选D. 解题关键　 将原问题转化为方程有解问题,进而转化为两函数图象有交点问题是解题的关键. 方法总结 　解有关公切线问题的一般步骤:①设出切点坐标( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 );②由 f '( x 1 )= f '( x 2 )建立 方程关系结合公切线知识求解. 4. (2017江西南昌联考,11)已知函数 f ( x )是定义在(0,+ ∞ )上的可导函数, f '( x )为其导函数,当 x >0 且 x ≠ 1时,   >0,若曲线 y = f ( x )在 x =1处的切线的斜率为-   ,则 f (1)=   (　　) A.0　    B.1　    C.   　    D.   答案    C 　当 x >0且 x ≠ 1时,   >0,可得 x >1时,2 f ( x )+ xf '( x )>0;0< x <1时,2 f ( x )+ xf '( x )<0. 令 g ( x )= x 2 f ( x ), x ∈(0,+ ∞ ), 则 g '( x )=2 xf ( x )+ x 2 f '( x )= x [2 f ( x )+ xf '( x )]. 可得 x >1时, g '( x )>0;0< x <1时, g '( x )<0. 则函数 g ( x )在 x =1处取得极值, ∴ g '(1)=2 f (1)+ f '(1)=0,又 f '(1)=-   , ∴ f (1)=-   ×   =   . 解题关键 　由   >0构造函数 g ( x )= x 2 · f ( x ),进而判断出 x =1是 g ( x )的极值点是解题的关键. 二、填空题(每题5分,共5分) 5. (2017安徽六安第一中学模拟,14)已知 a >0,   展开式的常数项为240,则   ( x 2 + x cos x +   )d x = 　　　     . 答案        +2π 解析        展开式的常数项为   · a 4 =240,得 a 4 =16, a =2,故所求式子为   ( x 2 + xcos x +   ) dx =   x 2 d x+   x cos x d x +     d x .∵     d x =2     d x =2π,   x 2 d x =   x 3     =   ,   x cos x d x =( x sin x +cos x )   =0,∴   ( x 2 + x cos x +   )d x =   +2π. 思路分析        展开式常数项为   a 4 =240,得 a 4 =16, a =2,进而代入定积分求值. 解题关键 　本题考查的知识点较多,关键是利用二项展开式的通项公式求出 a ,利用积分的几 何意义求得     d x =2π;利用微积分基本原理求得   x cos x d x =( x sin x +cos x )   =0. 三、解答题(共10分) 6. (2017福建漳州八校2月联考,21)已知函数 f ( x )= x 2 + ax -3, g ( x )=   ,当 a =2时, f ( x )与 g ( x )的图象 在 x =1处的切线相同. (1)求 k 的值; (2)令 F ( x )= f ( x )- g ( x ),若 F ( x )存在零点,求实数 a 的取值范围. 解析 　(1)当 a =2时, f ( x )= x 2 +2 x -3, f '( x )=2 x +2,则 f '(1)=4, 又因为 f ( x )和 g ( x )的图象在 x =1处的切线相同, g '( x )=   , 所以 g '(1)= k = f '(1)=4.   (4分) (2)因为 F ( x )= f ( x )- g ( x )有零点, 所以方程 x 2 + ax -3-   =0有实根, 即 a =   有实根. 令 h ( x )=   =   - x +   , 则 h '( x )=   -1-   =   . 令 φ ( x )=4-8ln x - x 3 -3 x ( x >0), 则 φ '( x )=-   -3 x 2 -3<0恒成立, 所以 φ ( x )为减函数,又 φ (1)=0, 所以当 x >1时, φ ( x )<0;当 x ∈(0,1)时, φ ( x )>0; 所以当 x >1时, h '( x )<0;当 x ∈(0,1)时, h '( x )>0. 故 h ( x )在(1,+ ∞ )上为减函数,在(0,1)上为增函数, 即 h ( x ) max = h (1)= 2 . 易知当 x →+ ∞ 时, h ( x )→- ∞ ,当 x →0时, h ( x )→- ∞ . 根据 h ( x )的大致图象可知 a ≤ 2.   (10分) 思路分析 　(1)根据导数几何意义得 f '(1)= g '(1),由此即可求解. (2)利用参变量分离法将零点问题转化为相应函数的值域问题. 方法总结 　已知函数有零点求参数取值范围的常用方法: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出两相应函数的图象,然后数形 结合求解.